数列测试题答案高考数学专项训练

1、蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇

2、薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂

3、螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆

4、薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀

5、袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇

6、蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁

7、蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆

8、螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀

9、薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄

10、袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈

11、蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇膀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚄蝿肁薄蚀螈芃莇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈袇羄肇膁螃羃腿蒆虿羃节艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇 1、设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：1、 解: ()由 Sn= eq f(4,3)an eq f(1,3)2n+1+ eq f(2,3), n=1,2,3， ,

12、得 a1=S1= eq f(4,3)a1 eq f(1,3)4+ eq f(2,3) 所以a1=2 再由有 Sn1= eq f(4,3)an1 eq f(1,3)2n+ eq f(2,3), n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= eq f(4,3)(anan1) eq f(1,3)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= eq f(

13、4,3)(4n2n) eq f(1,3)2n+1 + eq f(2,3) = eq f(1,3)(2n+11)(2n+12) = eq f(2,3)(2n+11)(2n1) Tn= eq f(2n,Sn) = eq f(3,2) eq f(2n, (2n+11)(2n1) = eq f(3,2)( eq f(1,2n1) eq f(1,2n+11)所以, = eq f(3,2) eq f(1,2i1) eq f(1,2i+11) = eq f(3,2)( eq f(1,211) ) 0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立 证法2: 当时,

14、 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立 证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立 【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力 10、已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 （ = 1 * ROMAN I）求，；（ = 2 * ROMAN II）求数列的前项和；（）记，求证： 10、本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及

15、推理能力 满分15分 （I）解：方程的两个根为，当时， 所以；当时， 所以；当时， 所以时；当时， 所以 （II）解： （III）证明：，所以， 当时，同时， 综上，当时， 11、 已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为 ()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列 求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零 (注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)11、解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155 () =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=2

16、12、 A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有 ； 存在常数，使得对任意的，都有（）设，证明：()设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;()设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式12、解：对任意,所以对任意的，所以0,令=，所以反证法:设存在两个使得,则由，得，所以，矛盾，故结论成立 ，所以+13、 已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；当时，证明13、 （ = 1 * ROMAN I）由已知，且若、成等比数列，则，即。 而， 解得。（ = 2 * ROMAN II）由已知及，可得由不等式的性质，有另一方

17、面，因此，故（ = 3 * ROMAN III）当时，由（ = 2 * ROMAN II）可知又由（ = 2 * ROMAN II）则从而因此 14、已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，()x （）14、本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力 证明：（ = 1 * ROMAN I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（ = 2 * ROMAN II）因为函数当时单调递增，而，所以，即

18、因此又因为 令则因为 所以因此 故15、已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证，求证，；（III）求出满足等式的所有正整数15、本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）证：当时，由（）得，于是，（）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情

19、形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有解法2：（）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，16、 已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1()求数列ak的通项公式;()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1求b1+b2+bn16、解：（）当，由及，得当时，

20、由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故17、 已知函数, 数列满足: 证明 () ; () 17、证明: （I） 先用数学归纳法证明，1,2,3, ( = 1 * roman i) 当n=1时,由已知显然结论成立 ( = 2 * roman ii) 假设当n=k时结论成立,即 因为0 x0成立 于是 故 18、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，证明数列lg(1+an)是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 18、解：（）由已知， ，两边取

21、对数得，即 是公比为2的等比数列 （）由（）知 （*）=由（*）式得（） 又 又 19、设正整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，；（3）求数列的通项19、解：（1）据条件得 当时，由，即有，解得因为为正整数，故当时，由，解得，所以（2）方法一：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，（2）方法二：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得即由左式，得，即，因为两端为整数，则于是又由右式，则因为两端为正整数，则，所以又因时，为正整数，则据，即时，成立由

22、1，2知，对任意，20、 已知函数f(x)=x3x2+ eq f(x,2) + eq f(1,4) , 且存在x0(0, eq f(1,2) ) ,使f(x0)=x0 （I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1= eq f(1,2), yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn; （III）证明： eq f(yn+1xn+1,ynxn) 0 ， f(x)是R上的单调增函数 （II）0 x0 eq f(1,2) ， 即x1x0y1 又f(x)是增函数， f(x1)f(x0)f(y1) 即x2x00 =x1， y2=f

23、(y1)=f( eq f(1,2)= eq f(3,8) eq f(1,2)=y1，综上， x1x2x0y2y1 用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时，上面已证明成立 (2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk 当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk)，xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1，2，都有xnxn+1x0yn+1yn （III） eq f(yn+1xn+1,ynxn) = eq f(f(yn)f(xn),ynxn) = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ eq f(1,2)

24、 (yn+xn)2(yn+xn)+ eq f(1,2) =(yn+xn) eq f(1,2)2+ eq f(1,4) 由()知 0yn+xn1 eq f(1,2) yn+xn eq f(1,2) eq f(1,2) ， eq f(yn+1xn+1,ynxn) ( eq f(1,2)2+ eq f(1,4) = eq f(1,2)21、已知数列，与函数，满足条件：，（I）若，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，证明对任意，（用表示）21、本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力满分12分()解法一：由题设知得，又已知,可

25、得由 其首项为于是又liman存在，可得01,所以-2t2且解法二由题设知tbn+1=2bn+1,且可得由可知,所以是首项为,公的等比数列由 可知，若存在，则存在于是可得01,所以-1t=2解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即于是有-得由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是（b2-b1）+2b又存在，可得01,所以-2t2且说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准()证明：因为下面用数学归纳法证明(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且1,得11，即，结论成立（2）假设n=k时结论成立，即由f(x)为增函数，得f即进而得f()即这就是说当n=k+1时，

26、结论也成立根据（1）和（2）可知，对任意的，22、已知函数,设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数 ()用表示；()若是数列的前项和，证明 ()若记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式 22、本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力 解：（）由题可得所以过曲线上点的切线方程为，即令，得，即显然 （）证明：（必要性）若对一切正整数，则，即，而，即有（充分性）若，由用数学归纳法易得，从而，即又 于是，即对一切正整数成立（）由，知，同理，故从而，即所以，数列成等比数列，故，即，从而所以23、已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；证明

27、：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！23、 解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1证：据1得，a1a2an为证a1a2an2n！只要证nN时有2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有1（）3用数学归纳法证明3式：n1时，3式显然成立，设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立 故对一切nN，3式都成立 利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立 24、 已知有穷数列共有2项（整数2），首项2 设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1 （1）求证：数列是等比数列；

28、（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值 24、(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列 (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k) （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) = 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k

29、2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立 25、已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，25、解：（）由题设：，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，（）用数学归纳法证明（）当时，因，所以，结论成立（）假设当时，结论成立，即，也即当时，又，所以也就是说，当时，结论成立根据（）和（）知，26、在数列中，其中 （）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立 26、 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力 满分14分

30、（）解法一：， 由此可猜想出数列的通项公式为 以下用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立 （2）假设当时等式成立，即，那么 这就是说，当时等式也成立 根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立 解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为 （）解：设，当时，式减去式，得， 这时数列的前项和 当时， 这时数列的前项和 （）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： 由知，要使式成立，只要，因为 所以式成立 因此，存在，使得对任意均成立 27、设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：27、解 (1) 必要性 ： ，

31、 又 ，即充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，.假设 则，且，由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 ，当时，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 28、设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式.28、 解：()因 由此有，故猜想的通项为 （）令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立，有 下用反证法证明： 由得 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 又由知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 由-得 对n求和得 由题设知 即不等式 22k+1对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.因

32、此x2,结合式知x2=,因此a2=2*2=将x2=代入式得Sn=2(nN*),所以bn=2Sn=22(nN*)29、已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n, Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1, a）内的极值.29、本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. ()证明：因为所以(x)=x2+2x, 由点在函数y=f(x)的图象上,得，即 又所以，又因为， 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故

33、点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.30、已知数列an和bn满足：a1=,an+1=其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,Sn为数列bn的前n项和。是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.30、本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分

34、类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(1)n+1an+13(n+1)+21=(1)n+1(an2n+14)=(1)n（an3n+21）=bn又b1=(+18),所以当18，bn=0(nN*),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN*).故当18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=18时, bn=0,Sn=0,不满足题目要求.18，故知bn= （+18）（）n1，于是可得Sn=要使aSnb对任意正整

35、数n成立，即a(+18)1（）nb(nN*) (nN*) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a(+18) 当a3a时，存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb，且的取值范围是（b18,3a18）.31、数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当31、 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， 得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，

36、即 则当n = k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时， 32、设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：32、解：（I）当0 x0所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，（II）当0 xx又由（I）有f(x)在x=1处连续知，当0 x1时，f(x)f(1)=1因此，当0 x1时，0 xf(x)1 下面用数学归纳法证明： 0anan+11 (i)由0a11, a2=f(a1)，应用式得0a1a21，即当n=1时，不等式成立(ii)假设n=k时，不等式成立，即0akak+11则由

37、可得0ak+1f(ak+1)1，即0ak+1ak+21故当n=k+1时，不等式也成立综合(i)(ii)证得：anan+1amb否则，若amb(mk)，则由0a1amb1(mk)知，amlnama1lnama1lnb0 ak+1=ak-aklnak =ak-1-ak-1lnak-1-aklnak =a1-amlnam由知amlnama1+k|a1lnb|a1+(b-a1)=b33、已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：33、解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，

38、则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一 袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃

39、莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀

40、莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈

41、芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅

42、腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃

43、膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈衿肄莂薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羃袃莆莂薀肅腿莈蕿膈蒅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薇肂芆莅薆膄聿蚄蚅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃膈节蒂蚂袈膅莈蚁羀莁蚆蚁肃膄薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆薅螅羁芈蒁螅肄蒄莇螄膆芇蚅螃袅肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿