数学分析课程设计的论文汇总

1、河南科技大学课程设计说明书课程名称 数学分析课程设计目函数项级数的一致收敛性学院数学与统计学院班级数学与应用数学121班学生姓名常惠丽 一指导教师冯爱芬日 期 2015年1月9号课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称 数学分析课程设计学生姓名常惠丽专业班级基数121设计题目函数项级数的一致收敛性一、课程设计目的数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。 通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学 分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数 学学习和应用打好基础。二、设计内容、技术条件和要求运用级数理论解决一定的

2、实际问题。由此对级数收敛的判别方法形成深刻 的认识，从而利用函数的级数展开分析问题和解决问题。掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定 的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。三、时间进度安排第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。第五天, 提交实习成果及文档。四、主要参考文献1陈纪修数学分析第二版北京：高等教育出版社，20042陈传璋，欧阳光中数学分析第二版北京：高等教育出版社，2003 3华东师大数学

3、系编.数学分析第三版北京：高等教育出版社，20014.费定晖.E.I吉米多维奇数学分析习题集题解（16册）.第四版.济 南：山东科学技术出版社，2012指导教师签字：2015年1 月5日函数项级数的一致收敛性摘要函数项级数的一致收敛性是数项级数中一个重要的性质，对于数项级数一 致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数一致收敛 性判别的原因，经过定义函数项级数一致收敛性及相关辅助概念，找到了判别函 数项级数一致收敛性的判别方法，主要有定义判别法，柯西判别法，阿贝尔判别 法，狄利克雷判别法，将其推广后得到其它的一些判别法，比如：余项判别法， 比式判别法，根式判别法，对数判别法

4、，导数判别法以及一些推论，旨在完善这 方面的理论知识，并帮助学习者更好的理解和学习这方面的知识。关键词 ：函数项级数,一致收敛性,判别法 1引言函数项级数作为数项级数级数的推广，在研究内容上同数项级数有许多极 其相似的地方，比如它们的收敛性，和的问题，但是函数项级数还有一点不同于 数项级数，就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和数项级数的一致 收敛性的判别法，不难发现，它们在判别方法上极其相似，特别是判别法的名称 上。比如它们都有Cauchy判别法，Abel判别法等，对于函数项级数的一致收敛 性，有没有类似于数项级数收敛性判别的其他方法，是一个值得研究的课题。函 数项级数在一致收敛的条

5、件下，可以讨论其和函数的连续性，可微性以及可积性。 函数项级数在一致收敛时，求和和求导，求和和求积分的顺序可以交换顺序，并 且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题，这个应用非 常的重要，因此，本文将对函数项级数的一致收敛性以及判别方法进行全面总结。2.1函数项级数及其一致收敛性的定义定义1设u (x)是定义在数集E上的一个函数列，表达式 u (x) + u (x) +. + u (x) + .,x G E称为定义在E上的函数项级数,简记为Z un (x).称s (x) = u (x), x g E,n = 1,2,.k=1为函数项级数的部分和函数列.定义2若函数项级数u (

6、X)的部分和函数列k (X)在数集D上一致收敛于nnS(X)，则称函数项级数u (X)在D上一致收敛于S(X)或称u (X)在D上一致收敛.nn =1nn=1我们可以看到，函数项级数 un (X)的一致收敛性归结到其部分和函数列n =1*(X)的一致收敛性的研究上，下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子.例1考察级数X2e-nX(0 X 8)的一致收敛性。n =1证明：由等比级数求和公式知当X0时S (X) = n=1X 2X 2 e - nX =1 e - xS (X) - S (X) = X 2 e - kx =n下面证明此函数列k=n+1X 2 e - nx1 -e-X是一致收敛于零

7、的.由于 lim -2- = 0 所以 f ( x) = X 2x-01 - e-X1 e - x在0 X 1有界且对于任意给定的0,存在50,当X G (0,6 )时,X 2e - (n-2) xe - (n-2) 6e-nx 0 (n - 8) 1 e - x1 e - x1 e-6 ,于是对所有自然数n,x g (0,6 )，有 一e-nx e ,而当1 e 一 x1 e - x1 e 一 xX26 x 8时，由x 2时,e -依在6 x N时，对所有x gL ,+8，e-nx e-n6 e ,这样当 1 e - x1 e-6nN时，对所有0 x 8 ,有 x 2 e -履=土！ ,因此

8、级数X 2 e - nx在1 e - x k=nn =10 X N时,对一切x e D和一切正整数 p 都有 15n+p (x) sn ( x )| 或 | u 1(x) uu 2(x) + + up (x)| .例2讨论函数项级弋Z户|D = L 1,1在所给区间D上是否%2 un2 A2 +(n-6 n=2一致收敛.I S(x) - S (x) 1=1 中k=+11 - 2 k(x2 + k2)x2 + (k - 1)2=| gp ( x 2 + k 2k=n+1x 2 + (n + p )2x 2 + (k - 1)21-)|所以，-0，取 | S(x) - S (x )| N = +1

9、，当心 N 时，对n+pnL 一切x e -1,1,和一切自然数p,都有由函数项级数一致收敛的柯西准则知所给级数在-1,1上一致收敛.柯西收敛准则是我们在判断函数项级数一致收敛时 的常用方法定理2 (阿贝尔判别法)设(1)Zun(x)在区间I上一致收敛；(2)对于每一个x e I,*(x)是单调的；(3)vn (x)在I上一致有界，即对一切x e I和正整数n,存在正数M,使 | v (x)| 0,使得对一切|x| M ,有 (-1) nJ,在I上11nn-1x 2 + n x 2 + n x 21 x 21对 x g I 一致收敛，Vx e I,- + 调,+ 一 I+ Ix - 11 -

10、nn + 1-n (-n-)n-1 9 9)(n 9 9)n +1可知级数在(-1,1)内不一致收敛，实际上，余项判别法本质上可看做是柯西一致收 敛准则的推论定理4 (狄利克雷判别法)(1) un(x)的部分和函数列 U (x )- ujx)(n=1,2,)k =1在I上一致有界；对于每一个x G I, (x)是单调的;(3)在I上v (x) n 0(n -，则级数(3)在I上一致收敛.中 (-1)(n-1) X2/、2,x g (s, +8)(1 + X 2)nn=1(注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时,三个条件都应满足 定理5(比式判别法)设u (x)为定义在数集D上的函数列，且u

11、(x ) 0,n=1,2,记 q (x)=意的nN,u ( x)nnft右存在正整数N及实数4，乂,使得q (x) q 1, u (x) M对任u ( x )nNx4 D成立,则函数项级数上un(x)在D上一致收敛.n=1证明易知u ( x ) u ( x ) u ( x ) = n n-1n u ( x ) u ( x )n-1n-2 TOC o 1-5 h z =q (x) q (x)q (x) - u (x)n -1n-2NN qn-N+1M而等比级数当0 q 1时收敛，从而qn Mq 1-n收敛，由M判别法知，u (x)在 n3+，由于u ( x)D上一致收敛.n=Nn=1(极限形式)

12、设u (x)为定义在数集D上正的函数列，若q (x)=lim q (x) = q (x) q 1,且un ( x)在D上一致有界,则函数项级数 un(x)在D上一 n 8n=1致收敛.定理6 (根式判别法)设un(x)为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使nIu (x) I q N ,xG D成立,则函数项级数u (x)在D上一致收敛. n n =1证明 由定理条件,I un (x)I W qn对V nN成立，而几何级数 qn收敛,由 优级数判别法知，函数项级数 un (x)在D上一致收敛.(注:当定理6条件成立时, n =1级数un(x)在D上收敛且绝对收敛) n=1(极限形式)un(

13、x)为定义在数集D上的函数列,lim n，jTTXTi=q(x) q 1，对 n1n16Vx e D成立，则函数项级数在D上一致收敛例5 xn在b,b上一致收敛(0 b 1)n=1解 Ji即yr = nG1 =1 x I b = q p 1 ,则函数项级数 u (x)在D上一致收敛； nn =1(2)若对V x e D, p(x) p 0 , 3 N，使得对V nN,有p (x) s 1n U (x) p (x) + 8,i u (x) i则当p(x) p 1对x e D成立时,有u (x) p 1时 nnpnp收敛，由优级数判别法知函数项级数u (x)在D上一致收敛；而当p(x)p L且由p

14、级数当p1时发散，从而函数项级数u (x)在D上不一致收 n nnn =1敛.n =1例6 lln(1+ n3x)在2,+8)上不一致收敛 n 3解 lim ln un(x)= limln nn告gn告g-ln ln(1 + n 3 x)一 ln - + ln(1 + n 3 x)n二 limnln nln n二 lim 3 - 1n(1 + n3x) lim 3 - ln( n3x) 二 lim (- lnx) ln nln nln nnfgnfgnfg lim (- ln2) 0= p 1ln nnfg定理8(两边夹判别法)对任意自然数n和x e D，都有u (x) v (x) w (x)

15、成立且u (x), w (x) 均在点集D上一致收敛于s (x)，则 v (x)也在点集D一致收敛于1s (x). n=1 ”n TOC o 1-5 h z 证明n:1设U(x) = u(x), V(x)= v(x), W(x)= w(x).Vn e N ,Vxe I 都 有nk nknk+k=1k =1k =1u (x) v (x) w (x),所以对 Vn e N十,Vx e I 有 u (x) v (x) w (x),又级数gun(x),g wn(x)在I上一致收敛于s(x)，即 n =1n=1s(x)-8 U (x) V (x) W (x) 0 ,存在N( )，使得n N (e )时,

16、对任意p e N + ,有 u (x ) e对任意 11k ok=n+1x e a, b ，有 隽u( x) N+,任意p e N +，任意 kk=n+1x e a, b ,有Sn+pu (x)一乙 u (x )kk 0k=n+1k=n+1 u，也)(x - x )k0k=n+1 N +，任意p e N +，任意x e a,b, u (x)=kk=n+12 u (x)-kk=n+1 u (x ) + u (x ) k0k0k=n+1k = n+1隽 u (x)-kk=n+1 u (x ) +k 0k=n+1 u (x ) k 0k = n+1e (b - a) + e =8 (b - a +1).即u (x)在a,b上一致收敛.nn =1例 7 sin1nn-1解：令f (x) = sin x，显然在x = 0处可导连续，但f (0) = 1中f(0),所