2022年河南省十所重点名校高考数学二模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）ABCD52设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知数列，是首项为8，公比为得等比数列

2、，则等于（ ）A64B32C2D44设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）ABCD5如图，中，点D在BC上，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，则，的大小关系是（ ）ABC，两种情况都存在D存在某一位置使得6某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）ABCD7已知复数，则（ ）ABCD28关于函数，下列说法正确的是（ ）A函数的定义域为B函数一个递增区间为C函数的图像关于直线对称D将函数图像向左平移个单位可得函数的图像9设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条

3、件是（ ）A且B且C且D且10M、N是曲线y=sinx与曲线y=cosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()ABCD211已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：，.其中满足条件的所有直线的编号有（ ）ABCD12设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，满足，则的取值范围为_.14已知，且，则_15若正实数x，y，满足x+2y=5，则x2-3x+1+2y2-1y的最大值是_16现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成

4、一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面（1）证明：；（2）求二面角的正弦值18（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积19（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数，满足？并说明理由.20（12分）在直角坐标系中，

5、直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.21（12分）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.22（10分）已知函数，函数.（）判断函数的单调性；（）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由于，且为单位向量，所以可令，再设出单位向量

6、的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果【详解】解：设，则，从而，等号可取到故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题2C【解析】化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.3A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，故，.故选：.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.4C【解析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面

7、积比.【详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.5A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案【详解】由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，设，则有，可得，；，；，综上可得，故选：【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平6C【解析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1

8、，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7C【解析】根据复数模的性质即可求解.【详解】,故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.8B【解析】化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.【详解】，故函数的定义域为，故错误；当时，函数单调递增，故正确；当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，

9、三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.9B【解析】由且可得，故选B.10C【解析】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=+=,|MN|=.故选C.11D【解析】求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.【详解】解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，则圆心到直线的距离为：，而，与的面积相等，或，即到直线的距离或时满足条件，根据点到直线距离可知，满足条件.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的

10、位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.12D【解析】构造函数，令，则，由可得，则是区间上的单调递减函数，且，当x(0,1)时,g(x)0,lnx0,f(x)0;当x(1,+)时,g(x)0,f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0.综上所述,使得(x2-1)f(x)0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用因此对函数的单调性进行全面、准确

11、的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】设，由，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.【详解】设，如图所示：因为，所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，则即的距离，由图可知，.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的

12、方法，属于中档题.14【解析】试题分析：因,故,所以，,应填.考点：三角变换及运用1583【解析】分析：将题中的式子进行整理，将x+1当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解：x2-3x+1+2y2-1y=(x+1)2-2(x+1)-2x+1+2y-1y=x+1-2+2y-(2x+1+1y)=x+2y-1-16(2x+1+1y)(x+1+2y)=4-16(2+2+4yx+1+x+1y)4-16(4+24)=83，当且仅当2y=x+1=3等号成立，故答案是83.点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子

13、进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-相乘，即可得结果.16【解析】由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积，则，由得或（舍去），令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.故答案为：【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析（2）【解析】（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.【详解】（1）在中，由正弦定理

14、可得：， ，底面，平面， ； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面的法向量为，由可得：，令，则， 设平面的法向量为，由可得:，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角，则， ，故二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18（1），；（2）.【解析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积【详解】（1）曲线的极坐标方程为： ，因为曲线的普通方程为： ， 曲线的极坐标方程为；（2） 由（1）得：点的极坐标为，

15、 点的极坐标为，点到射线的距离为 的面积为 .【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.19（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析【解析】（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OAOB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得，代入，化简即可求解.【详解】（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点，故设由可得，.，故所以直线l的方程为故直线l恒过定点.（2）由（1）知设由可得，即存在常数满足题意.【点睛】本题主要考查了直线与抛

16、物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（1）：，：；（2）【解析】（1）由直线参数方程消去参数即可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线的直角坐标方程；（2）由即可得的底，由点到直线的距离的最大值为即可得高的最大值，即可得解.【详解】（1）由消去参数得直线的普通方程为，由得，曲线的直角坐标方程为；（2）曲线即，圆心到直线的距离，所以，又 点到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.21（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详

17、见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.试题解析：（1），当时，.解得当时，解得所以单调减区间为，单调增区间为（2）设，当时，由题意，当时，恒成立，当时，恒成立，单调递减又，当时，恒成立，即对于，恒成立（3）因为由（2）知，当时，恒成立，即对于，不存在满足条件的；当时，对于，此时，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，单调递减当时，即恒成立综上，的取值范围为点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.22 (1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2). 【解析】试题分析：（）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导