高考二轮复习考点透析4-运用导数研究函数的图象与性质

1、2009高考二轮复习考点透析4-运用导数研究函数的图象与性质考点:1。初等函数的导数； 2。导数的运算法则； 3.导数与切线；4.导数与函数的单调性（隐含不等式）； 5.用导数研究函数的零点与极值点。一导数的几何意义及其考查1.曲线过点（1，1）的切线方程为（ ）ABCD2.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD3.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D04曲线y=x过点(, 0)的切线的方程是 ( ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=05已知函数的解析式可能为（ ）ABC

2、D6.曲线y=sinx在点()处的切线方程是 .7曲线y= x+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函数的图象在点处的切线方程是，则9. 对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列eq f(an,n+1)的前n项和的公式是 10.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 11.直线是曲线的一条切线，则实数b ln2112.已知抛物线通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切。则实数的值为 例1.已知抛物线C1：y=x

3、2+2x和C：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.二研究函数的单调性14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ ）A.f（0）f（2）2f（1） B. f（0）f（2）2f（1） C. f（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1）15设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件16.若函数y=x3+bx

4、有三个单调区间，则b的取值范围是_17设函数，已知是奇函数，则求、的值为 18.求函数的单调增区间是 。例2. (2006山东)设函数，其中，求f(x)的单调区间.例3.已知函数，.是否存在实数，使在上是增函数，且在上是减函数？若存在，求出；若不存在，请说明理由.例4.（广东卷19）设，函数，试讨论函数的单调性三构造函数证明不等式.例5当时,证明不等式成立.例6.（08天津卷21）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围四研究函数的零点和极值点18.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）AB

5、CD19方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根例7.已知函数是否存在实数使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。例8.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：例9.已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。例10已知f(x)=x2+,问是否存在正实数a,使得关于x的方程f(x)= f（a）有且仅有两实数解.若有求出这个实数a，若没有请说明理

6、由。例11.（08四川）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。例12.（陕西）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围例13.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式例14.已知椭圆方程为。问在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请给

7、予证明例15设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.考点透析4运用导数研究函数的图象与性质考点:1。初等函数的导数； 2。导数的运算法则； 3.导数与切线；4.导数与函数的单调性（隐含不等式）； 5.用导数研究函数的零点与极值点。一导数的几何意义及其考查1.曲线过点（1，1）的切线方程为（ ）ABCD【错解】 ，所求切线方程为：【错因剖析】误以为点（1， 1）在曲线上。求曲线上某点处的切线方程方程，与求曲线过某点处的切线方程的意义不同。前者所给点本身就是切点

8、，而后者有可能是切点，也有可能不是切点，而是曲线在另一点处的切线经过了这个点。【正解】点（1，1）不满足曲线，因此点（1， 1）不在曲线上，设切点为,则有 ，过点P的切线方程：将点（1， 1）代入上式得所以切点为P（0，1），所以所求切线方程为：y=1.故选C2.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）A2BCD3.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D0解：，故选D4曲线y=x过点(, 0)的切线的方程是 ( C ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=0解：设P（x0,y0）为曲线

9、y=x上的一点，则过P点切线的方程为：令得，又因为P（x0,y0）为曲线y=x上所以，解得，可得切线的方程是y=0或3xy2=0，选C5已知函数的解析式可能为（ ）ABCD6.曲线y=sinx在点()处的切线方程是 .解：切线方程是，即7曲线y= x+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函数的图象在点处的切线方程是，则39. 对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列eq f(an,n+1)的前n项和的公式是2n+12 10.设

10、曲线在点处的切线与直线垂直，则 211.直线是曲线的一条切线，则实数b ln2112.已知抛物线通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切。则实数的值为 解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以 因为过切点Q（2，-1）的切线的斜率又因为切点Q（2，-1）在抛物线上联立可解得【点评】理清曲线F（x,y）=0、切点P(x0,y0)、切线L:三因素之间的关系是解决这类问题的关键，即联立方程组求解。例1.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a取什么值时，C1和C

11、2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 解：（）函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：y(x+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx 函数y=x2+a的导数y=2x, 曲线C2 在点Q（x2,x+a）的切线方程是即y(x+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x+a . 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，所以 消去x2得方程 2x+2x1+1+a=0.若判别式=442（1+a）=0时，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合.即当a=时C1

12、和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 y=x . （）证明：由（）可知.当a0答案：b016设函数，已知是奇函数，则求、的值为 解：，。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；17.求函数的单调增区间是 。错解：在上是减函数，在上是增函数。又是减函数，所以函数的递增区间是，递减区间是。错因分析：上述错解忽略了函数的定义域是，而不是。正解：函数的定义域是。在上是减函数，在上是增函数。又上是减函数，所以根据复合函数的单调性，函数的递增区间是，递减区间是。例2. (2006山东)设函数，其中，求f(x)的单调区间.解：由已知得函数f(x)的定义域为，且（1）当时，f(x)0函数f(x)在上单

13、调递减，（2）当时，由f(x)=0解得若，则f(x)0函数f(x)在上单调递增.综上所述：当时，函数f(x)在(-1,+)上单调递减.当时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增.例3.已知函数，.是否存在实数，使在上是增函数，且在上是减函数？若存在，求出；若不存在，请说明理由.解：由，可得，先假设存在实数使在是增函数，且在上是减函数，由于是可导函数，所以，因为当时，说明函数在是增函数；当时，说明函数在上是减函数.综上所述，满足条件的存在，且.【点评】三次函数是高考命题的热点之一，因为三次函数的导数是二次函数，以此为切入点，将二次函数、二次不等式、二次方程紧密联系在一起。例4.（广

14、东卷19）设，函数，试讨论函数的单调性【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。三构造函数证明不等式.例5当时,证明不等式成立.证明:设,则,令,因为,当时, ,所以在上为增函数,而,所以,所以在上恒为正,即在上恒为正.所以在上为增函数,且.所以.即时, 成立.【点评】利用单调性证明不等式的常用思路是先构造函数,再借助导数确定单调性.一般地,证明,可以构造函数如果则在上是增函数,同时若由增函数的定义可知,时,有.即证明了例6.（08天津卷21）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（

15、）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分14分（）解：当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是四研

16、究函数的零点和极值点18.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）ABCD19方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根解：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）0. 方程x+a=0化为ax2+a2x16=0, 由=a4+64a0,得 x2=0, x20, x1 x2,且x2 x3.又方程有且只有二个不等实根 则x1= x3,即a=,则3a2=, a4=8a, 得a=0(舍)或a=20, 故当a=2时原方程f(x)=f(a)有且仅有两个不同的实数解.例11.（08四川）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线

17、与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解】：（）因为 所以 因此（）由（）知， 当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。例12.（陕西卷21）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，

18、解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为例14.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故例16.已知椭圆方程为。问在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若