计量理论课课件disizhang

1、第4章 非线性模型的线性化 4.1 变量间的非线性关系4.2 线性化方法 4.3 不可线性化非线性模型的线性化估计方法4.1变量间的非线性关系 4.1.1 线性模型的含义 4.1.2 非线性模型的含义4.1.1 线性模型的含义（1）变量的线性（2）参数的线性4.1.2 非线性模型的含义（1）变量的非线性（2）参数的非线性5.1.2 非线性模型的类型第一种：与不存在线性关系，但与未知参数存在线性关系。例如：4.1.2 非线性模型的含义第二种：与解释变量不存在线性关系，与 未知参数也不存在线性关系。例如：4.1.2 非线性模型的含义第三种：与不存在线性关系，与未知参数也不存在线性关系，而且也不能通

2、过适当的变换将其化为标准的线性回归模型。4.2 线性化方法4.2.1 对数线性模型4.2.2 半对数模型 4.2.3 双曲函数模型4.2.4 多项式回归模型 4.2.5 S型曲线模型4.2.1 对数线性模型考察：Yi=AXiB2在这个模型中，变量Xi是非线性的，但可通过变换表示成另一种形式。两边取自然对数：Yi=A+B2Xi令A=B1则：Yi=B1+B2Xi4.2.1 对数线性模型为了估计，可将模型写为：Yi=B1+B2Xi+ui称为双对数模型（因为两变量都以对数形式出现），或对数线性模型现令Y*i=Yi， X*i =Xi 则上式可写为： Y*i =B1+B2 X*i +ui4.2.1 对数线

3、性模型如果它满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，并且得到的估计量是最优线性无偏估计量。三变量对数模型表示如下：Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui在这个模型中，偏斜率系数B1 、 B2又称为弹性系数。即：B2是Y对X2的弹性。（在X3为常量时，X2每变动1%，Y变化的百分比，由于此时X3为常量，所以我们称此弹性为偏弹性。类似的，B3是Y对X3的弹性。）4.2.1 对数线性模型双对数模型应用非常广泛，其原因在于，它有一个特性：斜率B2度量了Y对X的弹性，即给X一个很小的变动所引起的Y的变动的百分比。定义E=Y的变动%/X的变动%因此，如果代表了商品的需求量，代表

4、了单位价格，则就是需求的价格弹性。注： 即是对的弹性。 4.2.1 对数线性模型需求量Y价格XYX4913.89180.00005523.80670.69314433.78421.09863943.66361.38633853.63761.60943763.61091.79183473.52641.94593383.49652.07943093.40122.197229103.36722.3026OLS回归结果如下：lnYi=3.9617-0.2272lnXise=(0.0416)(0.0250)t=(95.233)(-9.0880) R2=0.9116从回归结果可知，价格弹性约为-0.23，

5、表明提高1个百分点，平均而言，需求量将下降0.23个百分点。这里3.9617没有什么具体的经济含义：R2=0.9166表示lnX解释了变量lnY的91%的变动。4.2.1 对数线性模型观察复利计算公式：Yt=Y0(1+r)tY0本金 Yt第t期的Y值 日利率 t时期将上式变形，对等式两边取对数，得：lnYt=lnY0+tln(1+r)令lnY0=B1，B2=ln(1+r) 则lnYt=B1+B2t若引进随机误差项，得到：lnYi=B1+B2 Xi +Ui半对数模型或对数线性模型4.2.2 半对数模型 4.2.2 半对数模型 现考虑下面模型：Yi=B1+B2LnXi+Ui对数线性模型例如： 双曲

6、函数模型这个模型的一个显著特征：X无限增大，1/X接近于0，Y将逐渐接近B1渐进值或极值。4.2.3 双曲函数模型4.2.3 双曲函数模型YB10XB10B204.2.3 双曲函数模型Y0B1XB10B20Yi=B0+ B1Xi+B2X2i+ BnXni+ Ui注意：在这类多项式函数中，等式右边只有一个解释变量，却以不同的次幂出现，因而，可把它们看作多元回归模型。4.2.4 多项式回归模型 4.25 S型曲线模型移项变换： 令： 原式变为： 4.3不可线性化的非线性模型的估计如果非线性回归模型无论采取什么样的变换都不可能实现线性化，则称之为不可线性化的非线性回归模型常用非线性估计方法有三种：第

7、一种方法是直接搜索法第二种方法是直接优化化第三种方法迭代线性化法第一种方法：直接搜索法基本思路：将模型的每一个参数都选择一组数值，代入残差平方和达到最小的哪一组参数值组合，即作为未知参数的估计值。适用性评价：估计参数少可行；估计参数多不可行。第二种方法：直接优化法基本思路：根据残差平方和极小的必要条件，得出正规方程组，解正规方程组，得到未知参数的估计值。适用性评价：计算上难度大，很少采用。第三种方法：迭代线性化法假设非线性回归模型的一般形式为： 估计式： 残差平方和： 这种方法的基本思想是，首先通过泰勒级数展开，将模型的非线性函数在某一组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性化的函数应用普通

8、最小二乘法，得到一组新的参数估计值。接着是使非线性函数在新的参数的估计值附近线性化，对新的线性化模型应用普通最小二乘法，又得到一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至参数估计值收敛为止。即第L+1组参数估计值与第L组参数估计值没有明显差别为止。 第三种方法：迭代线性化法不可线性化的非线性模型一般形式：Yi=f（Xi，）+u式中，f是非线性函数， Xi=（x1i，x2i，xki），=（1，2，k） u为随机扰动项第三种方法：迭代线性化法相对应的残差平方和：S（）=第三种方法：迭代线性化法迭代法的基本步骤：第一步，将上式在处 进行泰勒级数展开，取二阶近似得：第三种方法：迭代线性化法第二步：由于最小二乘法的根本是求残差最小，根据极值理论，对上式求关于 的导数，并令其为0，得：第三种方法：迭代线性化法移项得：第三种方法：迭代线性化法第三步：将上式得出的 作为第一次迭代估计值，重复上述步骤，知道收敛为止。注意一：在应用迭代线性化时，迭代过程有可能不收敛。这与参数初始值的选择有关，如果出现这种情况，就需要换一组参数初始值。第三种方法：迭代线性化法注意二：迭代