二重积分计算(2)

1、关于二重积分的计算 (2)第一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体：第二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月柱体体积=底面积高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体曲顶柱体的体积第三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月演示文稿1.ppt播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示第四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月2。直角坐标系下的积分微元

2、我们利用直角坐标网分割D让分割充分细，取D的被坐标网割出的一个典型子区域，设它是如图的矩形，其面积为第六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月 先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.第七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、 在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域则 D 称为 x型 区域 .x型区域的特点：穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的曲顶柱体体积的计算第九张，PPT共八

3、十三页，创作于2022年6月如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、 在区间 上连续.2、y型区域则 D 称为 y型 区域 .y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月例1解 将 D 看作 x 型区域, 则D=(x , y)| 0 y x ，0 x 1 ,第十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月例1解 将 D 看作 y 型区域, 则D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , 第十三张，PPT共八十三页，创

4、作于2022年6月如果积分区域 D 可表示为 x型 区域又可表示为 y型 区域 ，且 f(x,y)在D 上连续，则有：为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构. 必要时还可以交换积分次序. 第十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解 将 D 看作 y 型区域 , 则D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , 第十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第十六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月3、一般情形如果积分区域 D 不是 x型 区域也不是 y型 区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个x型或y型区域，在每个小区域上计算

5、二重积分，在各个小区域上的积分之和就是D 上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月计算二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域 D 的图形.2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.第十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解将 D 看作 y 型区域, 则两

6、曲线的交点第十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月例4解 将 D 看作 x 型区域, 则第二十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解注意：正确选择积分次序相当重要 . 第二十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解积分区域如图如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分.如何变换积分次序：根据所给积分写出 D 的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分.第二十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解积分区域如图第二十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解原式第二十四张，PPT共八十三页，创作于2

7、022年6月解: 积分域由两部分组成:视为y 型区域 , 则练习： 交换下列积分顺序第二十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第二十六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第二十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月 当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数 (max 或 min ) 等特殊函数时，如何计算二重积分的值？ 一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算.第二十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月例

8、10解先去掉绝对值符号，如图第二十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第三十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月小结：用直角坐标计算二重积分x型y型确定积分次序时要注意:1、考虑积分区域的特点，分块越少越好 .2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件.第三十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分第三十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第三十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月A

9、第三十六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第三十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月二、利用极坐标系计算二重积分第三十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月一、重积分的换元积分法 定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数把D映射为uv平面的区域D，其逆变换记成又设 行列式 则第三十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月例1 f(x，y)在闭区域Dxy连续，则极坐标变换它把 变成 ， 行列式故第四十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月三、利用极坐标系计算二重积分第四十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月二重积分化为二次积分

10、的公式（）1、极点O在D的外部区域特征如图第四十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月区域特征如图第四十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图2、极点O在D的边界上第四十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图3、极点O在D的内部第四十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问 的变化范围是什么?(1)(2)第四十六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第

11、四十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月法二:积分区域关于 x 轴对称,第四十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解第五十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解第五十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解第五十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解第五十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解由于 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.第五十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解利用例7可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式第五十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月同理 第五十六张，PPT共八十三页，创

12、作于2022年6月第五十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月解第五十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）三、小结y型x型（在积分中注意使用对称性）第六十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）第六十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分次序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(可利用

13、对称性)第六十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分次序 写出积分限 计算要简便积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(可利用对称性)第六十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第六十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月三、二重积分的应用曲顶柱体的体积为：2求非均匀薄片的质量第六十五张，PPT共八十三页，创作于2022年6月利用二重积分可以计算空间立体的体积.例1 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为第六十六张，PPT共八十三页，创作于2022年6月则所求体积为第六十七张，PPT共八十三页，创作于2022年6月被圆柱面所截得的解: 设由对称性可知例2 求球体(含在柱面内的)立体的体积.第六十八张，PPT共八十三页，创作于2022年6月思考题1第六十九张，PPT共八十三页，创作于2022年6月思考题解答第七十张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第七十一张，PPT共八十三页，创作于2022年6月思考题2第七十二张，PPT共八十三页，创作于2022年6月思考题解答第七十三张，PPT共八十三页，创作于2022年6月练 习 题第七十四张，PPT共八十三页，创作于2022年6月第七十五张，PPT共八十三页，创作于2