2022年五级奥数__二进制问题_讲义

1、专题二 二进制问题知识要点用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是 60 进制的，即 60 秒是一分，60 分时 1 小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。 现代计算机上大多用二进制， 即满二进一，退一当二， 这种进位制只用两个数字0 和 1，如“ 1” 在二进制中记作1，“ 2”就要满二进一， 记作 10，“ 3” 记作 11，“ 4” 又一次满二进一， 记作 1

2、00， 。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上 2 或 10 即可。任何一个十进制正整数 N 都可以写成各数位上的数字与 10 的次方数的乘积的和的形式，如 9758（10）=9 10 3+7 10 2+5 10 1+8 10 0（注： 10 0=1）。任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与2的次方数的乘积的和的形式， 如 110101（2）=1 2 5+1 2 4+0 2 3+1 2 2+0 2 1+10 2典例评析例 1 将 139（10）化成二进制【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以 2. 因为 139=692+1，即有 69 个“2” 及

3、1 个“ 1” ，故应向第二位上进“69” ，个位则有 1 个1；而 69=34 2+1，即第二位 69 又要向第三位进“34”，而本位数字为“1” 。但 34=17 2，即第三位上的 34 还应向第四位进“17” ，且本位数字为“0” ；接下去 17=8 2+1，即第四位为 1；8=4 2，即第五位为 0；4=2 2，即第六位为 0；2=2 1，即第七位为 0，第八位为 1；所以 139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“ 短除法” 求得。解 因为说明 十进制数 139（10）的下标 10，是为了与其它进位制区别开来，同理小学五年级奥数 第 1 页 共 5 页100010

4、11（2）的下标 2 是表示的二进制， 有时十进制的下标可以省略， 但其余的进制，则下标不可省。特别提出的是，在用“ 短除法” 求得数时，要将每次除以 2 所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是 1 为止。例 2 将 101101（2）改成十进制数。【分析】我们可以思考一下二进制数 101101（2）上各个数位上的 1 是怎么进上来的，从右往左数第 6 位是 1，是从第 5 位上满 2 才进上去是，这个数可以看做 21101，第 5 位上是 2，是因为第 4 位上满 2 个 2 才进过来的，可以看作 5101，同理第 4 位上 5，是因为第 3 位上满 5 个 2 才进过来的，应是（11,0

5、1 ），同理得出（ 22,1 ），（22,1 ）得 45。对于一个十进制数，如果是7385，可以写成 7385=7 10 3+3 10 2+8 10 1+5 10 0。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2 的次方数与 0 或 1 的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。解 101101 （2）=1 2 5+0 2 4+1 2 3+1 2 2+0 2 1+1 =2 5+2 3+2 2+1 =32+8+4+1 =45 说明 对于任意一个二进制数 amam-1am-2 a2a1(2) 改写成十进制数， 都有如下的方法： amam-1am-2 a2a1(2) =am 2 m-1

6、+a m-1 2 m-2+ a2 2 1+a1 2 0。例 3 计算： 10110（2）+1010（2）。【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算解 10110（2）+ 1010（2） 100000 （2）10110（2）+1010（2）=100000（2）说明 在将相同数位上的数相加时， 与十进制加法有所不同， 十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第 2 位开始，便连续出现了 4 次“ 满二进一” 。例 4 计算 1101101（2）-1011110（2），并要求验算。【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。解 1101101 （2）

7、 1011110（2） -1011110 （2）验算 + 1111（2） 1111（2） 1101101（2）说明 在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中，出现不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第 2 位不够减时向前一位借一当二，得2-1=1，其余数位上则依次类推。为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。例 5 计算： 11101（2） 11（2）【分析】二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点： （1）1 乘任何数仍得原数； （2）0 乘任何数都 得零。解 1

8、1101（2） 11（2）=1010111（2）小学五年级奥数 第 2 页 共 5 页11101（2） 11101 11（2）（2） 11101（2） 1010111（2）说明 通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数加法的方法计算出结果。例 6 计算： 1001011（2） 1111（2）。【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。解 1001011（2） 1111（2）=101（2）101 ( 2 )1111 ( 2 ) 1001011 ( 2 )1111 ( 2 )1111 (

9、2 )巩 1111 ( 2 ) 固练习1. 将下列二进制数化成十进制的数0（1） 1101101（2）解：原式 1 2 6+1 2 5+1 2 3+1 2 2+1 64+32+8+4+1 109 （2） 111101101（2）解：原式 1 2 8+1 2 7+1 2 6+1 2 5+1 2 3+1 2 2+1 256+128+64+32+8+4+1 493 2. 将下列十进制数化成二进制数。（1）28 解：短除法可得： 11100（2）（2）63 解：短除法可得： 111111（2）3计算（1） 1100110（2）+10011（2）1100110（2） + 10011（2） 1111001

10、（2）（2） 1010011（2）-11011 （2）（要求验算）解： 1010011（2）小学五年级奥数第 3 页 共 5 页 - 11011（2） 111000（2）（3） 101101（2） 1101（2）解： 101101（2） 1101（2） 101101 101101 101101 1001001001（2）（4） 11011101(2) 1011(2) 解： 10100（2） 1011（2）11011101（2） 1011 1011 1011 1 4. 150 粒糖果需至少装在几个盒子，就能保证150 以内所有糖果都可以几只盒子凑齐，而不必打开盒子？此时每只盒子里面多少粒糖果？分

11、析与解： 先用 1+2 1+2 2+2 3+ +2 n150，找出 n 最大是多少， 然后计算出 1+2 1+2 2+2 3+ +2 n 的结果。把每一个加数作为一个盒子的糖果数，最后一盒用 150 减去前面所有盒子中糖果数的和。1+2 1+22+2 3+ +26=127150（粒）150-127=23（粒）150=1+2 1+2 2+2 3+ +2 6+23 答：这 8 个盒子，每个盒子中分别是1,2,4,8,16,32,64,23粒即可。5. 一位老大爷带上了1000 元钱上街买东西。东西的价格都是整元数，为了保证至少 1000 元的东西都能立即付钱，他把钱包分成若干包。付钱时只要拿出几包

12、而无需折散也无需找零便行。他应如何包这些钱？解：应分别包成 1 元、2 元、4 元、8 元、16 元、32 元、64 元、128 元、256 元及 489 元功 10 包。支付不超过 511 元时，把钱化为二进制数， 易知取前九包中的若干包可按要求支付；超过 化为二进制数再选取若干包支付。511 元，可支付 489 元，再把余钱转6. 有 1、2、4、8 克的砝码各 1 个，每次从中取 3 个称重，如果天平的两边都可以放砝码，能称出多少种重量？解：由于每次取 3 个砝码和天平两边可以同时放，可知：用 1、2、4 三种砝码，可称出 用 1、2、8 三种砝码，可称出 用 1、4、8 三种砝码，可称

13、出 用 2、4、8 三种砝码，可称出4 2 1 克，即 1、3、5、7 克；8 2 1 克，即 5、7、9、11 克；8 4 1 克，即 3、5、11、13 克；8 4 2 克，即 2、6、10、14 克；答：可称出 1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14 共 11 种重量。7. 欢欢、迎迎各有4 张卡片，每张卡片上各写有一个正整数，两人各 小学五年级奥数 第 4 页 共 5 页出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到 16 个不同的和，那么，两人卡片上所写数中最大最小是多少？（全国第二届两岸四地“ 华罗庚金杯” 少年数学精英邀请赛总决赛试题）分析与解：因为涉及的4

14、 和 16 是 2 的次方数，所以想到二进制。两张卡片的和至少是 2,16 个不同的和中的最大的至少是 17。这样考虑不方便，所以假设两张卡片上是非负整数，可以包含0，和是 0 到 15，也就是二进制的 0000 到 1111。那么，显然了，每个人控制其中两位的开关，两个人就能 控制全部四位的开关了。为了使得最大的数最小，控制最高位的那个人再控制最低位就行了。一个人控制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另一个人控制中间两位： 0000,0010,0100,0110 。最大数最小是 1001 也就是 9，容易发现 8 不行。原题要求正整数，所以每个数再加1，答案是 10 8

15、市中心的建设大厦高26.5 米，先将一张足够大的厚度均匀且为0.01厘米的纸，进行“ 对折裁开叠放整齐” 算作一次操作，至少要进行多少次这样的操作后，所有纸片叠放的总高度比建设大厦还高？解； 26.5 米=2650厘米 2650 0.01=265000（层）210 28262144 26144265000 218265000 18+1=19（次）18 次，即至少 答：所有纸片叠放的总高度要比建设大厦高，必需超过 19 次。9. 有一批规格相同的圆棒，每根划分为长度相同的五节，每节用红黄 蓝三种颜色来涂，问可以得到多少种着色不同的圆棒。分析与解：用 2 表示“ 红” 、1 表示“ 黄” 、0 表示“ 蓝” ，于是一种涂色 对应着一个五位数，如“ 红红黄蓝黄” 对应“22101” 。由于这种五位数只用三个数码，即为三进制数。 这种五位数中最大是 22222，而 22222（3）=2 3 4+2 3 3+2 3 2+2 3+2242，再加上“00000” 共计 243 种。但像“22101” 与“ 10122” 互为反序数， 表示了同