《点集拓扑学》第5章 §51 第一与第二可数性公理

1、第5章有关可数性的公理5.1第一与第二可数性公理本节重点：掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系；掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性 等问题；掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间，哪些是第二可数性公理空间.从2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有 着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便.因此我们试图对拓扑空间 的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常 见的拓扑空间，如：欧氏空间、

2、度量空间等.以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个 数”限定为可数是恰当的.某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之 为一个可数基和一个可数邻域基.定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数 性公理的空间，或简称为&空间.定理5.1.1实数空间R满足第二可数性公理证明 令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族.显然B是一个可数族.设U是R中的一个开集，对于每一个xU，存在实数 0，使得以x为中心以弓为半 径的球形邻域B (x, % ) =(x-Wx+F 匚 U、土口切 口 x - ev . x . bv =BC

3、Y|BeB是子空间Y的一个基，它明显是可数族.本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.定理5.1.6设是n个满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间.则积空间满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.证明我们只要证明n=2的情形.设芍站都是满足第二可数性公理的空间，瑶为分别是它们的可数基.根据定理3. 2. 4,集族是积空间5 的一个基，它明显是一个可数族.本定理当n=2时关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.根据定理5.1.1,定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即可知：（事实上，这个推论也容 易直接证明（参见习题1）.）推论5.1.7 n维欧氏空

4、间衣”的每一个子空间都满足第二可数性公理.本节的余下部分我们讨论满足第一可数性公理的空间中序列的性质.读者将会看到在这 种拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中见到过的有着较多的类似之处，特别是定理 2.7.2和定理2.7.3的逆命题对于这类拓扑空间成立.定理5.1.8设X是一个拓扑空间.如果在xeX处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域基耳，以+使得对于任何iu Z+有 S+1，即U2n 证明 设*是点xX处的一个可数邻域基.对于每一个i，+，令 容易直接验证耳藏+便是点X处的满足定理要求的一个可数邻域基.(即皿点+是个邻域基套，一个套一个的.这个定理常用来选取趋向于x的序列中的 点

5、.)定理5.1.9设X是一个满足第一可数性公理的空间，AUX.则点xX是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A x中有一个序列收敛于x.证明 定理的充分性部分的证明已见于第二章定理2.7.2,以下完成必要性部分的证 明.设xX是集合A的一个凝聚点，并且根据定理5.1.8可设皿点+是点x处的一个可 数邻域基套，满足条件：对于每一个，O使得 奴匚.于是当iAN时，我们有定理5.1.10设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理；xX.则 映射f:XfY在点xX处连续的充分必要条件是：如果X中的序列互收敛于x，则Y 中的序列f (勺收敛于f(x).证明 定理的必要性部分的证明已见于定理2

6、.7.3，以下完成充分性部分的证明.假设定理中陈述的条件成立，我们要证明映射f：X-Y在点x处连续.用反证法.假设 映射f在点x处不连续，这也就是说f(x)有一个邻域V,使得厂)不是x的邻域.而这 又意味着，x的任何一个邻域U都不能包含在了 1 (V)中，即对于x的任何一个邻域U，包 a*玄。匚了才术工 出普曰咨 如) 含关系 不成立，也就是说 7总括上一段的论证可见：f (x)有一个邻域V使得对于x的任何一个邻域U有现在设皿点+是点x处的一个可数邻域基，满足条件：对于每一个i e+,”CL、.选取&司 使得f(七)Ef(U)cW,即(叫)隹矿.明显地，序列气 收敛于X.然而序列f(%)在f (x)的邻域V中却没有任何一个点，所以不收敛于f (x).这 与反证假设矛盾.因此反证假设不成立，所以映射f在点x处连续.定理5.1.11设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理.则映射 f：X-Y是一个连续映射的充分必要条件是：