《土力学》教程 3 土应力分布及计算

1、土力学教程（同济大学土木工程学院编制）目录土的应力分布及计算学习指导土的自重应力基础底面压力集中力作用下土中应力计算分布荷载作用时的土中应力计算本章小结第昌章土申学习指导学习目标掌握土中自重应力计算、基底压力计算以及各种荷载条件下的土中附加应力计算方法。学习基本要求掌握土中自重应力计算掌握基底压力和基底附加压力分布与计算掌握圆形面积均布荷载、矩形面积均布荷载、矩形面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件 下的土中竖向附加应力计算方法了解地基中其他应力分量的计算公式主要基础知识材料应力应变基本概念园参阅：孙训方等编著，材料力学，高等教育出版社，1987。弹性力学基础知识、参阅：（1）徐芝伦著，弹性力

2、学，高等教育出版社，1990。（2）吴家龙编著，弹性力学，同济大学出版社，1993。一、土的自重应力由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。均质地基土的自重应力土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在切应力。因此，在深度Z处平面上，土体因自 身重力产生的竖向应力 (称竖向自重应力)等于单位面积上土柱体的重力皿如图3-1所示。在深度乙处土的自重 应力为：= = = (3-1)式中y为土的重度，kN/口3 ；f为土柱体的截面积，m2。从公式(3-1)可知，自重应力随深度z线性增加，呈三角形分布图形。图3-1均质土的自重应力成层地基土的自重应力

3、地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为凡，重度为y，则在深度z处土的自重应力计算公式为汀E = 由1 + 眼+ 丫& = 川腐(3-2)i-1式中n为从天然地面到深度z处的土层数。有关土中自重应力计算及其分布图绘制的具体方法可参见例题3-1某土层及其物理性质指标如图3-2所示，地下水位在地表下1.0 m，计算土中自重应力并绘出分布图。【解】第1层：az=0 m，。世=股=口炒日点：八、z=1=18.6kPaxl = !.6kPa点.八、：z=2七=18.6kPaxl + (lE.gkPa-10kPa)xl = 18.6kPa-H8.8kPa = 27.4kPa第2层：d点.八

4、、：z=5=18.6EPaxl + (lg.gkPa-10kPa)xl + (lE.4kPa-10kPa)x3=18.6kPa + 8.8kJ)a + 25.2kPa = 52.6kPa土层中的自重应力bcz分布如图3 2所示。*=18.6 IcN/ni- 七旧B kN临1S kPa27 一4 kPay=i8.i!=is.4 kN/irf疫kPa图3-2 例题3 13.水平向自重应力土的水平向自重应力bcpb cy可用下式计算(3-3)式中K0为侧压力系数，也称静止土压力系数，参见第六章。土的静止土压力系数K0确定方法4.土层中有地下水时的自重应力当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性

5、质确定是否需要考虑水的浮力作用。通常认为水下的砂性土 是应该考虑浮力作用的。粘性土则视其物理状态而定，一般认为，若水下的粘性土其液性指数IL 1，则土处于流动 状态，土颗粒之间存在着大量自由水，可认为土体受到水浮力作用，若ILW0,则土处于固体状态，土中自由水受到土 颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用，若0VILV1，土处于塑性状态，土颗粒是 否受到水的浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按有效重度计算，其计算方法同成层土体情况。二、基础底面压力建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称

6、基底压力，又称地基反力。地基反力分布基底地基反力的分布规律主要取决于基础的刚度和地基的变形条件。对柔性基础，地基反力分布与上部荷载分布 基本相同，而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小，如由土筑成的路堤，其自重引起的地基反力分布与路堤断面 形状相同，如图3-3所示。对刚性基础（如箱形基础或高炉基础等），在外荷载作用下，基础底面基本保持平面，即 基础各点的沉降几乎是相同的，但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况。刚性基础在中心荷载作用 下，开始的地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重 新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基

7、反力会继续发展呈钟形分布，如图3-4所示。图3-3柔性基础下的基底压力分布-：观看形成过程模拟（a）理想柔性基础（b）路堤下地基反力分布图3-4冈。性基础下压力分布LU观看形成过程模拟（a）马鞍形（b）抛物线形（c）钟形地基反力的简化计算(3-4)实用上，通常将地基反力假设为线性分布情况按下列公式进行简化计算:地基平均反力地基边缘最大与最小反力ndn(3-5)式中F为作用在基础顶面通过基底形心的竖向荷载，kN； G为基础及其台阶上填土的总重，kN，G=YGAd，其中靖为 基础和填土的平均重度，一般取Yg=20 kN/m3，地下水位以下取有效重度，d为基础埋置深度；M为作用在基础底面的 力矩，M

8、=（F+G）e，e为偏心距；W为基础底面的抗弯截面模量，即式中l，b为基底平面的长边与短边尺寸。将W的表达式代入（3-5）式得nonlb(3-5)1)当 e0;2)当 e = l/6 时基底地基反力呈三角形分布，p . =0； r min3) e1/6 时，即荷载作用点在截面核心外，PminV0;基底地基反力出现拉力。由于地基土不可能承受拉力，此时基底与地基土局部脱开，使基底地基反力重新分布。根据偏心荷载与基底地基反力的平衡条件，地基反力的合力作用线应与偏心荷载作用线重合得基底边缘最大地基反力p max为:2N图3-5基底反力分布的简化计算(a)中心荷载下 (成偏心荷载el/6时基底附加压力基

9、础通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有 自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p0。因此，基底附 加压力是上部结构和基础传到基底的地基反力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算：口 =营一 5 =目一泪(3-7)式中p为基底地基反力，为区别于附加压力，又称基底总压力；气为基底处自重应力；y为基底标高以上天然土层按 分层厚度的加权重度；基础底面在地下水位以下，地下水位以下的土层用有效重度计算；8为基础理置深度，简称基 础埋深。三、土中附加应力土中的附加应力是由建筑物荷载所引起的应力

10、增量，一般采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上 的局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力Q时，半无限体内任意点M的应力（不考虑弹性体处的竖向位的体积力）可由布西奈斯克 解计算，如图3-6所示。工程中常用的竖向正应力及地表上距集中力为移w （沉降）可表示成如下形式:(3-8)(3-9)式中R与应力系数a分别为R = x2a是（rZ）的函数，可制成表格形式供查用。E,吩别为土的弹性模量及泊松比。图3-6集中力作用下土中应力计算其余应力分量与位移分量计算公式可查阅集中力作用下土中其余应力分量计算集中力作用下土中其余应力分量计算x, y轴方向

11、的正应力:3g Jzx2-如-三京 j梦 3R3（R+s）窈，十1一孕烝气曙+）切应力F =侦3Q砂_ 1 -脱xy（2R十卫）不* 3 *+子32遂x，y，z轴方向的位移:5。字如顷52 m2.分布荷载作用时的土中应力计算（1）基本计算原理对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，通常可采用如下方法处理：当基础底面的形状或基底 下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。当基 础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的土中应力。如图3-7所示，在半无限土体表面作用一分布荷载p（x,y），为了计算土中某点M（x

12、,y,z）的竖向正应力气值，可以 在基底范围内取单元面积dF=d&d门，作用在单元面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示，dQ斗（x,y） ddn。这时土中 M点的竖向正应力电值可用式（3-8）在基底面积范围内积分求得，即dO 3必5君 （3-10）当已知荷载、分布面积及计算点位置的条件时，即可通过求解上式获得土中应力值。图3-7分布荷载作用下土中应力计算2）圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的计算为了计算圆形面积上作用均布荷载p时土中任一点M（r,z）的竖向正应力，可采用原点设在圆心。的极坐标（如图 3-8），由公式主=9）在圆面积范围内积分求得：2 2tt J J / 22 022忠（3

13、-11）上式可表达成简化形式：式中R为圆面积的半径，m； r为应力计算点M到z轴的水平距离，m； %为应力系数，它是(r/R)及(&)的函数， 当计算点位于圆形中心点下方时其值为：也可将此应力系数制成表格形式查用。图3-8圆形面积均布荷载作用下土中应力计算矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力计算1)矩形面积中点0下土中竖向应力计算图3-9表示在地基表面作用一分布于矩形面积(/ X b)上的均布荷载p，计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力b值，可从式(3-10)解得:z式中应力系数a是n=l/b和口=2的函数，即022%云1 +活+8洒)尊cs0 = .r 十 arctan兀 J1卜必 +4疝

14、卜4廿)2脚廿Ia。也可由相应表格查得。h图3-9矩形面积均布荷载作用下土中应力计算2）矩形面积角点下土中竖向应力计算在图3-9所示均布荷载作用下，计算矩形面积角点c下深度z处N点的竖向应力气时，同样可其将表示成如下形式：（3-13）式中应力系数头 aa为:它是n=l/b和m=z/b的函数，可由公式计算或相应表格查得。3）矩形面积均布荷载作用时，土中任意点的竖向应力计算-角点法在矩形面积上作用均布荷载时，若要求计算非角点下的土中竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成若干小 矩形，如图3-10所示。在计算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再采用叠加原理求出计算点的竖向应力气值。这 种计算方法一

15、般称为角点法。图3-10角点法计算土中任意点的竖向应力矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算当地基表面作用矩形面积(ZX8)三角形分布荷载时，为计算荷载为零的角点下的竖向应力值气，可将坐标原点取 在荷载为零的角点上，相应的竖向应力值气可用下式计算：汀广P(3-15)式中应力系数气是n=l/b和m=z/b的函数，即:其值也可由相应的应力系数表查得。特别提示注意这里b值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长，如图3-11所示。ATI（5）均布条形分布荷载下土中应力计算条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比l/bt0的条形基础均可视作平面 应变问题

16、进行处理。如图3-12所示，在土体表面作用分布宽度为b的均布条形荷载p时，土中任一点的竖向应力sz可采用弹性理论中 的弗拉曼公式在荷载分布宽度范围内积分得到：式中应力系数au是及m=z/b的函数，即n=x/b应力系数au也可由相应的应力系数表查的中点处。得。注意此时坐标轴的原点是在均布荷载图3-12均布条形荷载作用下的土中应力计算均布条形荷载作用下的土中应力计算也可以采用极坐标形式表示根据根据材料力学理论还可以求出土中任一点的主应力土中任一点的主应力土中任一点的最大、最小主应力气和气可根据材料力学中有关主应力与正应力及剪应力间的关系导出如下:tg23 =式中e-最大主应力的作用方向与竖直线间的

17、夹角。将M点的应力表达式代入上式即得到任一点的最大、最小主应力:式中81、。2为计算点到荷载宽度边缘的两条连线与垂直方向的夹角。成层地基中附加应力的分布规律在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往 往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。对双层地基 的应力分布问题，有两种情况值得研究：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；另一种是软弱 土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况。当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时（薄压缩层情况），即E1ve2时，则土中附加应力分布将发生

18、应力集中的现象。当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时（即硬壳层情况），即E1E2，则土中附加应力将发生扩散现象，如图3-14所示。在实际地基中，下卧刚性岩层将引起应力集中的现象， 若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。在坚硬土层下存在软弱下卧层时，土中应力扩散的现象将随上层坚硬土层厚度的 增大而更加显著。因土的泊松比变化不大，其对应力集中和应力扩散现象的影响可忽略。双层地基中应力集中和扩散的概念有着重要工程意义，特别是在软土地区，表面有一层硬壳层，由于应力扩散作用，可以减少地基的沉降，故在设计中基础应尽量浅埋，并在施工中采取保护措施，以免浅层土的结构遭受破坏。虽力就小T成就* I成力混小成力城*十 成力湾小 十应h腐士TtiTirrnr（a）应力集中 （b）应力扩散本章主要学习了土的自重应力计算、各种荷载条件下的土中附加应力计算及其分布规律等。土中应力指土体在自身重力、建筑物和构筑物荷载以及其他因素（如土中水的渗流、地震等） 作用下，土中产生的应力。土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏，甚至使土体发生滑动 失去稳