§2 曲面论基本定理

1、第五章曲面论基本定理2曲面论基本定理关于曲面如何依赖于其第一和第二基本形式，本节将要做出回答.一 方面，关于唯一性，需要确定具有相同的第一和第二基本形式的曲面是否 合同；另一方面，关于存在性，需要确定什么样的函数组能够成为正则曲 面第一和第二基本形式的系数函数组.利用自然标架场的运动公式，以下 的理论证明建立在相应的微分方程组的解的存在唯一性定理 Darboux 定理的基础之上.曲面论基本定理 给定(ui,以)平面上的单连通区域U 给定U上C2 函数g.和C1函数Qjj，使g =(202x2正定、Q = ( 0,2x2对称，并且g 和Q满足Gauss-Codazzi方程.则在E3中存在正则曲面

2、S:尸=r(ui, u2), (ui, u2)gU，使其第一和第二基本形 式的系数函数组g. = g.，0 = 0 ;上述曲面S在合同意义下是唯一的.一.相关方程及其解的性质首先建立并考察一阶齐次线性偏微分方程组导=r ,dui1(2.1)8r云=睥+ 0，dn_不hui =一 0 卯rk ；其中(g j)2x2 = gT，匚kj= + (gi + ( gi)j- (g jglk，i，j，k I = 1，2 .任意取定一点(u0i, u02)eU，任意取定右手标架r0; (，)0, (r2)0, n0，考 虑微分方程组(2.1)在初始条件rr(u01, u02) = r0 ,(2.2)，ri(

3、u01, u02) = (r)0 , i = 1, 2，n(u0i, u02) = n0 ,之下的解，并且满足适定条件，叽呵(01, U0) = g.(uoi, U0),(2.3)- r.*n(u0i, u02)= 0 ,i,j = 1, 2 .孩孩(U01, U02)= 1 ,此即：考虑自然标架场r; r1, r2, n所满足的一阶线性偏微分方程组(2.1) 在初始条件(2.2)下的解的存在性以及在适定条件(2.3)下的解的性质.而 由Gauss-Codazzi方程的导出过程可见，方程组(2.1)解函数的二阶偏导次 序可交换的充要条件即为g和Q满足Gauss-Codazzi方程，故可得下列引

4、 理1,并由Darboux定理得到推论1.引理1在曲面论基本定理条件下，方程组(2.1)是完全可积的，即： 若方程组(2.1)有解r; j r2, n，则解函数的二阶偏导可交换次序.推论1在曲面论基本定理条件下，V(u01, uQgU，存在单连通区域 U0uU，满足(u01, u02)eU0，使方程组(2.1)在初始条件(2.2)下存在唯一一 组解 r; r1, r2, n .注记一般而言，单连通条件是必要的.从本质上看，微积分学相应 的结论是说，单连通区域上的二元函数f(u1, U2)若具有连续的二阶偏导函 数且偏导次序可交换，即f = f，则沿路径的积分j df =ffdui只依赖于路 径

5、的端点而与中间途径选取无关，从而使二元函数f是单连通区域上的单 值函数.引理2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域 U0uU，方程组(2.1)在初始条件(2.2)和适定条件(2.3)下的唯一解r; r1, r2, n 一定满足rrj =gj，(2.4)i, j = 1, 2 .r n = 0，1nn = 1，kr1, r2, n) 0，证明想法是等价地转化为一阶线性常微分方程组的解的存在唯一性问题沿着从(u01, u02)eU0出发的任意一条曲线： ui = ui(t), i = 1, 2，函 数组r; r1, r2, n由(2.1)式直接可验证满足下列三组等式：一 &)k =

6、： gjk=叩 + *七 + wi + *3叫- gj以(弓。- &/ + 叮k(rZ，ri -+ Hk lj + 门k gli - g ijk+ Qknr. + Qjpr.gj- g. + He- gi) + Qn。+ Qnr，(r n). = r .n + r n.Tyn + Q.n-n - Q7 gik rr.Y !n + 哗小-1) + Q - Q 畔5-gk) - Qi glk gkin + 死5 -1) 一 字 邸5 - g，(nn - 1) . = 2n,n=-2 Q glk rk,n .从而，沿着曲线，函数组r r. - g. , r n , nn - 1是关于t的一阶齐次 线

7、性常微分方程组在初始条件(2.3)下的解，即为零解，从而r; r1, r2, n 是沿着曲线r连续可微的标架场并且适合(2.4)式中的等式.由混合积的连 续性可知，标架场r; r1, r2, n沿着曲线r是右手的.进一步，由曲线r 的任意性和区域U0的单连通性，得知(2.4)式成立.口推论2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域 U0uU，方程组(2.1)在初始条件(2.2)和适定条件(2.3)下的唯一解r; r1, r2, n是正则曲面S: r(u1, u2)的自然标架场，并且其第一和第二基本形式的 系数函数组gj. = g，Q = Q.从上述过程中可以进一步体会标架空间在几何

8、学中的合理运用.二.曲面论基本定理的证明和说明曲面论基本定理的证明 对于推论1所确定的单连通区域U0uU，推 论1和推论2说明方程组(2.1)在初始条件(2.2)和适定条件(2.3)下所存在 的唯一解r; r1, r2, n对应于解曲面S: r(ui, u2)在初始条件(2.2)和适定条件 (2.3)下在区域U0内的存在性和唯一性结论.以下需要证明解曲面在区域 U0内的唯一性结论.已知方程组(2.1)在区域U0内的两张解曲面S: r = r(u1, u2)和S*: r = r*(u1, U2)同时以(U1, U2)为参数并具有相同的第一和第二基本形式的系数函 数组g. = g*. , Q. =

9、 Q*.；要证这两张曲面合同.任取定点(u01, u02)gu这两张曲面在此对应点的自然标架分别记为r0; (r1)0, (r2)0,n。和 r*0; (r*1)0, (r*2)0, n*0，则这两个右手标架之间相差一个线性变换；因为 这两个右手标架的度量系数矩阵相同，所以其间相差的线性变换是一个平 移和正交变换的复合，并且该变换对应于一个刚体运动b : E3E3 .由于 第一和第二基本形式的系数函数组在刚体运动下都不变，故不妨设S*在b下的像顷S*)在点(UO1, u02)处的自然标架重合于% (r1)0, (r2)0, n0 .再由 推论1,可知在区域U0内顷S*)与S重合；此即在区域U0

10、内S*与S合 同关于解曲面，其局部存在性保证其在区域U内具有可延拓性，而其局 部唯一性保证其在单连通区域U内的任意延拓与途径无关；从而解曲面在 单连通区域U内具有合理延拓，结论得证.口注记解曲面不一定能“解出显式”. 利用有限覆盖和局部唯一性可以证明解曲面在单连通区域U内的 任意延拓与途径无关，而在复连通区域内的延拓与途径有可能相关.例 已知对常数a丰0，正螺面r = r(u, v) = (v cos u , v sin u , au) , -s u +8 , -s v 0，则在(x, j)平面去掉原点的范围内为容许 参数变换，并且在此二连通区域内可写r = r*(x, j) = (x, j,

11、 a Arctg x )=r*(p cos0 , p sin0) = (p cos0 , p sin0 , a0)，一x dx + j djx dj - j dx TOC o 1-5 h z dp = -1, d0 =，Vx2 + j2x2 + j2(x dj - j dx)2(x dx + j dj)2+，x2 + j2I = ds2 = (p 2 + a2)d0 2 + dp 2=(x2 + j2 + a2)/、J(x2 + j2)2+ , 2a- d0dpa2 + p 22a(x dj j dx)(x dx + j dj)2ap cos0 sin0 _li =； d0 2a2 + p 2

12、2axj(x dj j dx)2(x2 + j2)2(x2+ j2)( a2 +x2+ j2)(x2+ j2)(x2 +j2)(a2 +x2+ j2)这说明正螺面位置向量为(x, j)的多值函数，而在参数(x, j)下的第一和第 二基本形式系数分别为(x,j)的单值函数；此即说明，在二连通区域内由预 定的第一和第二基本形式系数函数组反解而确定曲面时，局部解的延拓确 实可以受到途径的影响.形象地看，正螺面的“一个螺纹”对应于在参数3, j)下保持唯一性的解存在的“极大范围”.口习题设曲面S在参数(u, v)下的第一和第二基本形式为1=11= dU2 + cos2u dV2 .试证曲 面S是单位球面的一部分.下列微分形式组p, V能否分别成为某张正则曲面在参数(u, v)下的第一和第二基本 形式？p = du2 + dv2 , V = du2 + dv2 ；p = du2 + cos2u dv2 , V = C0S2u du2 + dv2 .设正则曲面S在参数(u, v)下的第一和第二基本形式为du2 + u2 dv21 = (1 + u2) du2 + u2 dv2 , 11 =, . 1 + u2试证：曲面S是旋转抛物面.设平移曲面S: r(u, v) = a(u) + b(v)的参数曲线构成