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文档简介

1、选修4-5第二讲：证明不等式的基本方法三、反证法（1）1、前面所学不等式证明的常用方法有哪些: 比较法、综合法、分析法一、复习引入总体思路：直接从题设的条件出发，经过一系列逻辑推理证明不等式成立，统称为直接法问题1：甲、乙、丙三个人，甲说乙在说谎，乙说丙说谎，丙说甲、乙都说谎。则丙必定在说谎，为什么?问题2：证明：如果ab0，那么2、思考 方法小结：上述问题都是先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,应用正确的推理方法，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。称之为反证法1、反证法的定义先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确

2、的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。二、反证法这里矛盾：可能与已知条件、定义、定理、公理矛盾；也可能是自相矛盾2、反证法证明不等式的基本步骤第一步：分清欲证不等式所涉及的条件和结论；第二步：作出与所证不等式相反的假设；关键要找准结论的反面第三步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果，关键在寻找准推出怎样的矛盾第四步：断定产生矛盾结果的原因，是由于开始所作假设不正确，于是原不等式正确3、反证法适用情况： 正面证明很难入手，常用于结论中出现“不存在”“不可能”“唯一”“至多”“至少”等情形例1：已知x0,y0，且x+y2，试证明： 中至少有一个小于2三、应

3、用演练有具体题设条件当题目有具体题设条件时，通常由假设结论反面成立，通过推理，推出与题设条件矛盾，来达到推翻假设练习1已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b) f(a)，求证：ab.证明：假设ab.当ab时，ab则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，af(b)，f(b)f(a)于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立a 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求证：a 0 ，b 0, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c)

4、 + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0以上问题都属于有题设条件的不等式，用反证法导出与题设条件矛盾，同时应注意题设条件的多少对称式例3、设0 a, b, c 又0 a, b, c 0,q0,且p3+q3=2, 求证：p+q2再见2证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列证明：假设a，b，c成等比数列，则b2ac.又a、b、c成等差数列abd，cbd(其中d公差)acb2(bd)(bd)b2b2d2.d20，d0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾假设不成立a、b、c不可能成等比数列附：补充题答案3、若p0,q0,且p3+q3=2, 求证：p+q2课后提升、已知

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