连续随机变数

1、實用統計學第八章連續隨機變數 第八章之學習重點常態機率分配 指數分配 二項分配與常態分配的關係 連續隨機變數連續隨機變數的變數值，是產生在一段不可數的範圍內，變數值的個數是無限多個。 連續隨機變數連續隨機變數的單一數值為 a 的發生機率值必定等於零。P(X = a) = 0 ，當 X 為連續隨機變數。在一段特定的範圍內的機率值是存在的。要計算這種機率值，必須利用到連續隨機變數的機率密度函數。所謂的機率密度函數，與數量資料的直方圖有關 。連續隨機變數的機率密度函數 連續隨機變數之值在特定範圍的機率連續隨機變數 X ，其值在 c x d 間產生的機率，記為 P(c X d ) ，表示的是機率密度函

2、數 f (x) 曲線圖形下方 c, d 範圍間的面積 均等隨機變數 若連續隨機變數 X 具有機率密度函數f(x) = ，a x b 則稱隨機變數 X 具有均等分配。四種常見的機率密度函數曲線 共同處：每一平滑曲線下，x 軸之上所涵蓋的面積必定等於 1。 連續隨機變數的機率求解問題 計算機率密度函數下的某段面積。當連續隨機變數的機率密度函數是常見的，如：常態分配、指數分配時，複雜的求面積過程，就可以省略，轉換成查表格的方式 連續隨機變數為某個值的機率值=0即 P(X = x) = 0 P(c X a 的機率值等於左邊 Z 0 P(Z a) = P(Z a )f (z)圖形下，(a, b) 間之面

3、積，代表的是連續隨機變數 Z 在 (a, b) 間之機率 P(a Z z) （右尾機率值）標準常態機率表的範例 要查機率值 P(Z 1.9)，此時 z 值 = 1.96 在表格中，先在最邊直行找到 1.9，再從同橫列找到 z 的第 2 位小數等於 0.06 處，所得的值 0.025，表示此右尾機率值就是 (右尾機率值)使用標準常態機率表格的原則（a, b 均 0） 標準常態問題範例 Z 為標準常態隨機變數，求【解答】 其中 所以反向標準常態機率值範例 求 z 值使得機率值= 0.0465 先在表中間找到等於右尾機率值0.0465 之位置，再從該數的橫列左側找到 z 值為 1.6，縱行上側找到的

4、 z 值第 2 位小數為 0.08，得到所要的 z 值 = 1.68。也就是 P(Z 1.68) =0.0465。 （右尾機率值）常見的反向標準常態問題 常見的反向標準常態問題 反向標準常態問題範例 Z 為標準常態隨機變數， 若已知 P(Z a)= 0.8，求 a。 【解答】機率值 P(Z a) ，大於 0.5，所以 a 值必定小於 0，設 a = m，m 0。則 P(Z a) = P(Z m) =1 P(Z m) 其中 P(Z m) 因此可以 1 P(Z m) = 0.8，改寫為 P(Z m) = 0.2 P(Z a) = 0.8 查表得 m = 0.845。結論：a = m = 0.845

5、常態隨機變數 X 的機率值 計算機率密度函數 f (x) 下，(a, b) 區間的面積，而 f (x) 決定於參數 與 2 。利用建立好的標準常態機率表格來查出所需要的機率。 將常態隨機變數轉換為標準常態隨機變數 ，使得轉換後的隨機變數，其平均數為 0，標準差為 1。再查詢單一的標準常態機率表，就可得知所要的機率值。 計算一般的常態機率值的步驟 步驟 1：將一般常態隨機變數，轉換為標準常態隨機變數。令 X 表示常態隨機變數，具有平均數 ，標準差 ，將 X 轉換為標準常態隨機變數 Z 之公式為此時標準常態隨機變數 Z 之平均數為 0，標準差為 1。計算一般的常態機率值的步驟 步驟 2：要計算的常

6、態隨機變數機率值的所在範圍，轉換為標準常態隨機變數機率值的所在範圍。 步驟 3：利用標準常態機率表，查出所要的標準常態隨機變數之機率值。計算常態機率值 範例 某大學，新生的入學成績呈常態分配，平均分數為 350 分，標準差為 15 分。(1) 如果吳同學的入學成績為 375 分，請問他在新生中的排名為何？(2) 學校要發獎學金給新生入學成績的前 1%，請問受獎者的最低分為多少？ 計算常態機率值 範例詳解 1/2令隨機變數 X 表示入學成績，則 X 具有常態分配，平均數為 350 分，標準差為 15 分。 (1) P(X 375) 表示成績 375 分之比例。將隨機變數 X 轉換為標準常態隨機變

7、數 Z， 利用標準常態機率表 結論：在入學新生中，有 4.75% 的入學成績優於 吳同學。 計算常態機率值 範例詳解 2/2(2) 本題需要查詢右側機率值=0.01的入學成績。 令 m表示該入學成績，則P(Xm)=0.01。 首先，查詢標準常態Z表，得標準常態Z值=2.325， 接著計算 m=350+0.025*15= 384.875。 也就是說，獲得獎學金的受獎者，入學成績為 384.86 分以上。 指數分配的定義若連續隨機變數 X 具有機率密度函數 f (x) = e x, x 0, 0 其中 e=2.71828， 表示單位時間內，某事件發生的平均次數 ，通常會用簡單的記號 Xexp( )

8、 來表示 。 指數機率密度函數圖形為一遞減的凹形曲線，與 之不同有關 ， 值愈大，凹度愈大。 常見的指數隨機變數求機率值的問題 利用機率公式 P(X a)= e a 指數分配的平均數，變異數，標準差 平均數 變異數 標準差 計算指數分配機率值 範例計算指數分配機率值 範例詳解二項分配與常態分配的關係 在二項分配中，當 n 很大時，常態分配是二項分配的近似分配。實際應用時，要計算二項分配的機率值，若採用常態分配來取代二項分配，其嚴謹的條件是： 1. p 0.5 且 np5 或 2. p 0.5 且 n(1-p)5 以連續型的分配來取代離散型的分配，必須作連續性的修正 。連續性修正常見的連續性修正

9、機率值問題 以常態分配近似二項分配 範例某大學 80% 的退學生是因為請假過多造成操行不及格而退學。現隨機抽選 50 位退學生為樣本。則(1) 恰有 35 人是因為操行不及格而退學之機率為何？(2) 少於 30 人是因為操行不及格而退學之機率 為何？(3) 40 (不含)45 (含) 人是因為操行不及格而 退學之機率為何？以常態分配近似二項分配範例詳解1/4令隨機變數 X 表示 50 位退學生中，操行不及格的人數，則 X 為二項隨機變數，n = 50，p = 0.8。因為 np= 40 5，滿足近似條件 用常態分配來近似二項分配，此時 X 具有近似常態分配， 平均數 =np= 40， 變異數

10、=np(1-p)=8以常態分配近似二項分配範例詳解2/4 (1) 恰有 35 人是因為操行不及格而退學之機率為P(X =35)作連續性修正P(X =35)P(350.5X35+0.5)利用常態隨機變數計算機率的方式，化簡為以常態分配近似二項分配範例詳解3/4 (2) 少於 30 人是因為操行不及格而退學之機率為P(X 30) 作連續性修正P(X 30) =P(X 29) P(X29+0.5) 利用常態隨機變數計算機率的方式，化簡為以常態分配近似二項分配範例詳解4/4 (3) 40 至 45 人操行成績不及格而退學之機率為P(40 X 45) 作連續性修正P(40 X 45) =P(41 X 45) P(410.5X45+0.5) 利用常態隨機變數計算機率的方式，化簡為常態分配檢測圖Q-Q 檢測圖 Q-Q 檢測圖是一種用來描述樣本資料與常態資料的散佈圖。 通常為了使 Q-Q 圖形的曲線有所比較，圖形中會加入一條常態直線圖，當散佈圖與此直線重合時