全国初中数学联赛初赛试卷(下)

1、2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中

2、，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_7_对.第二试 （A）一（本题满

3、分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC

4、的内心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结

5、合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第

6、二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.

7、24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为

8、完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_7_对.第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P

9、的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD

10、的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，

11、ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如

12、下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试 （4月4日上午8:30-9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、

13、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。1、计算的值是（ ）。（A）1；（B）1；（C）2；（D）2。2、ABC的周长是24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（ ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。4、若函数，则当自变量取1、2、3、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）

14、97。5、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，则满足条件BPC90的点P的个数为（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则_。2、如图，在ABC中，B36，ACB128，CAB的平分线交BC于M，ABC的外接圆的切线AN交

15、BC的延长线于N，则ANM的最小角等于_。3、已知为整数，且满足，则_。4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tgABM_。= = =第二试 （4月4日上午10:00-11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。一、（本题满分20分） 某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分，题、题满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之

16、和为20，问这个班的平均成绩是多少分？二、（本题满分25分） 如图，设ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：ADBF。三、（本题满分25分） 已知为整数，方程的两根都大于1且小于0，求和的值。= = =第一试参考答案一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。1、计算的值是（ D ）。（A）1；（

17、B）1；（C）2；（D）2。解：原式。2、ABC的周长是24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（ C ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。解：MAMBMC5，ACB90，已知周长是24，则ACBC14，AC2BC2102。2ACBC（ACBC）2（AC2BC2）142102424。3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是21，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。4、若函

18、数，则当自变量取1、2、3、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。解：当时，。当自变量取2、3、98时，函数值都为0。而当取1、99、100时，故所求的和为：。5、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，则满足条件BPC90的点P的个数为（ C ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。解：AD的中点M对BC张成90角，又在AD上取点N使AN998，则ND1001。由ABN和DCN都为等腰三角形推知BNC90，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所

19、求点的个数为2。6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。解：，只要令，则为有理数，故（甲）不对；又若令，则为有理数，故（乙）不对；又若令，则为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是0，应选（A）。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则 2 。解：，即，。2、如图，在ABC中，B36，ACB128，CAB的平分线交BC于M，ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则AN

20、M的最小角等于 44 。解：B36，ACB128，AM为CAB的平分线，CAMMAB，AMC44。又AN为切线，NACB36，NAM44，N180444492，ANM的最小角为44。3、已知为整数，且满足，则 3 。解：左边，即，而为整数，且不相等，只可能取值或。不妨设，则，或，（2）无整数解，由（1）得，。4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tgABM。解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则BAMTOB，即。令DN1，CTMD，则AM，BM，BT，代入（1）式得，注意到，解得。= = =第二试参考答案一、（本题满分20分） 某

21、班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分，题、题满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？ 解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有，答对一题的人数为37132154，全班人数为141520，平均成绩为。答：班平均成绩为42分。二、（本题满分25分） 如图，设ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：

22、ADBF。 证：作DEAC于E，则ACAE，AGED。由切割线定理有：AG2AFAC，ED2AFAE，5ED2AFAE，ABEDAFAE，BAFAED，ABFEAD，而EADDAB90，ABFDAB90，ADBF。三、（本题满分25分） 已知为整数，方程的两根都大于1且小于0，求和的值。 解：根据函数的图象和题设条件知：当时，；当时，。抛物线顶点的横坐标满足，。，即，由、得，若，则由、得且，得；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；故所求的值为2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月2日上午8:30-9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算的值是（

23、 ）。（A）1；（B）；（C）；（D）5。2、若，则的值是（ ）。（A）；（B）；（C）5；（D）6。3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（ ）。（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（ ）。（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。（A）4；（B）6；（C）；（D）。6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB12，CD6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP8，APD6

24、0，则R等于（ ）。（A）10；（B）；（C）；（D）14。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是_。2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为_元。3、实数满足和，则_。4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PAPM的最大

25、值和最小值分别记为和，则_。= = =第二试（4月2日上午10:30-11:30）一、（本题满分20分） 设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。 （1）求证：； （2）若间的距离不超过，求的最大值。二、（本题满分25分） EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG，FH，四边形EFGH的面积为。（1）求证：；（2）试用表示正方形ABCD的面积。三、（本题满分25分） 设关于的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。= = =第一试试题答案一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）

26、。二、1、20；2、150；3、4；4、。第二试部分试题答案三、。1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（）（）（）（）（）2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ）（）2（）4（）（）3、在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ）（）12（）14（）16（）184、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ）（

27、）17个（）64个（）72个（）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_。7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于_。8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm。9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=_。10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船

28、的最近距离是_km。三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FEBE，求CEF的面积。12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W

29、（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1B根据不等式性质2D由=p2-40及p2，设x1，x2为方程的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l又由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4p2=5，3C如图连ED，又DE是ABC两边中点连线故选C4B得2(a+b+c)=p(a+b+c)有p=2或a+b+c=0当p=2时，y=2x+2则直线通过第一、二、三象限当a+b+c=0时，不妨取

30、a+b=-c，于是y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B5C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图a=1，2，39，共9个b=38+1，38+2，38+3，38+8共8个98=72（个），故选C二、填空题6解 如图，过A作AGBD于G，“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”PE+PF=AGAD=12，AB=5，BD=137解 如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，SOAB=S梯形AA1B1B-SAA1O-SBB1O8解 如图，

31、当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或510解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2xA1C=|10-x|，B1C=|10-2x|三、解答题11解法1 过C作CDCE与EF的延长线交于D，ABE+AEB=90，CED+AEB=90，ABE=CED于是RtABECED，又ECF=DCF=45，所以，CF是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等解法2 作FHCE于H，设FH=hABE+AEB=90，FEH+AEB=90，ABE=FEHRtEHFRtBAE即EH=2h，又HC=FH，12解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2

32、)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597a2-a-1=0，64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=579613解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-1

33、0于是W=200 x+300 x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800 x+172005x9W=-800 x+17200(5x9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200 x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500 x-300y-17200

34、W=-500 x-300y+17200，W=-200 x-300(x+y)+17200-20010-30018+17200=9800当x=10，y=8时，W=9800所以，W的最小值为9800又W=-200 x-300(x+y)+17200-2000-30010+17200=14200当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为142002001年全国初中数学联赛试题一、选择题（每小题7分，共42分） 1、a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若，且有5a2+2001a+9=0及，则的值是（

35、） （A）（B）（C）（D） 3、已知在ABC中，ACB=900，ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ） （A）（B）（C）（D） 4、如图，在ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，ABDACB不一定成立的情况是（ ） （A） （B） （C）ABD=ACB （D） 5、在实数范围内，一元二次方程的根为；在ABC中，若，则ABC是锐角三角形；在ABC和中，a，b，c分别为ABC的三边，分别为的三边，若，则ABC的面积S大于的面积。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200元，则不予折扣；如一次购物超

36、过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。 2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。 3、已知是正整数，并且，则= 。 4、一个正整数，若分别加上100和1

37、68，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。解答题（共70分） 1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分） 3、如图，D，E是ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，DAE=CAF。（1）判断ABD的外接圆与AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。解答题：如图，EFGH

38、是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为S。 （1）求证：sin=； （2）试用来表示正方形的面积。求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程， 的所有的根都是正整数。 3、在锐角ABC中，ADBC，D为垂足，DEAC，E为垂足，DFAB，F为垂足。O为ABC的外心。 求证：（1）AEFABC； （2）AOEF 4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PMPNPRPS2003年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月13日上午8:309:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）