广西南宁市2015届高三第二次适应性测试考试数学(理)试题

1、2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。是否开始a1a4a1a500输出a结束1已知全集为R，集合Ax|x25x60，Bx|x eq f(1,2)或x8，则A(RB)等于(A)6，8)(B)3，8(C)3，8)(D)1，82设i是虚数单位， eq o(,z)是复数z的共轭复数，若(1i) eq o(,z)2，则z为(A)1i(B)1i(C)2i(C)2i3(x eq f(2,x)5的展开式中，x的系数为(A)40(B)40(C)80(D)804如图所示的程序框图，其输出结果是(A)341(B)1364(C)1365(D)13665已知双

2、曲线 eq f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线与直线4x3y10垂直，则双曲线的两条渐近线方程为(A)y eq f(3,4)x(B)y eq f(4,3)x(C)y eq f(3,5)x(D)y eq f(5,4)x6已知实数x，y满足 eq blc(avs0al(y10,2xy10,xym0) ，若xy的最小值为2，则实数m的值为(A)0(B)2(C)4(D)87设ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c2(ab)26，C eq f(,3)，则ABC的面积是(A)3(B) eq f(9 eq r(,3),2)(C) eq f(3 eq r(,3)

3、,2)(D)3 eq r(,3)8设抛物线C:yx2与直线l：y1围成的封闭图形记为P，则图形P的面积S等于(A)1(B) eq f(1,3)(C) eq f(2,3)(D) eq f(4,3)9函数f(x) eq f(1,2)(1cos2x)sin2x，xR是(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为 eq f(,2)的奇函数(C)最小正周期为的偶函数(D)最小正周期为 eq f(,2)的偶函数10某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为(A) eq f(4,15)(B) eq f(2,15)(C) e

4、q f(4,21)(D) eq f(1,5)11已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(A)24(B)6(C)4(D)212设ABC的内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且sin2Asin2Bsin2C eq f(1,2)，面积S1，2，则下列不等式一定成立的是(A)(ab)16 eq r(,2)(B)bc(bc)8(C)6abc12(D)12abc24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13已知向量 eq o (sup5(),a)、 eq o (sup6(),b)满足| eq o (sup5(),a)| eq o (s

5、up6(),b)|2且( eq o (sup5(),a)2 eq o (sup6(),b)( eq o (sup5(),a) eq o (sup6(),b)2，则向量 eq o (sup5(),a)与 eq o (sup6(),b)的夹角为_14已知函数f(x) eq blc(avs0al(2， x0,x2bxc，x0) ，若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_15设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积等且 eq f(V1,V2) eq f(3,2)，则 eq f(S1,S2)的值是_16设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(

6、0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若 eq o (sup3(),ED)6 eq o (sup3(),DF)，则所k的值为_三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。17（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3，3a2成等比数列。求等比数列an的通项公式；若数列bn满足bn(n2)log2an，求数列 eq bbc( eq f(1,bn)的前n项和Tn.18（本小题满分12分）为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布

7、直方图，如图所示，已知次数在100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在110，130）视为达标，次数在130以上视为优秀。求此次抽样的样本总数为多少人？在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X的分布列和期望。(19)（本小题满分12分）如图所示多面体中，AD平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，CDP120，AD3，AP5，PC2 eq r(,

8、7)试确定点F的位置，使得EF平面PDC;若BF eq f(1,3)BP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值.(20)（本小题满分12分）已知抛物线C:y2x2，直线l:ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N，证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值;若不存在，说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数f(x)(1x)22ln(1x).若关于x的不等式f(x)n0在0，e1(e是自然对数底数)上有实数解，求实数m的取值范围;设g(x)f(x)x21，若关于x的方程g(x)p至少有一个解，求p的最

9、小值;证明不等式ln(n1)1 eq f(1,2) eq f(1,3) eq f(1,n)(nN*).22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲已知AB为半圆O的直径，AB4，C为半圆上异于A、B的一点，过点C答半圆的切线CD，过点A作ADCD于D，交半圆于点E，且DE1，证明：AC平分BAD；求BC的长。23（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l: eq blc(avs0al(xmtcos,ytsin)(t为参数，k，kZ)经过椭圆C: eq blc(avs0al(x2cos,y eq r(,3)sin)（为参数）的左焦点F，（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，

10、B两点，求|FA|FB|的最小值。24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|.若f(x)m的解集为x|1x5，求实数a、m的值；当a2且0t2时，解关于x的不等式f(x)tf(x2)2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试(理科数学)参考答案题号123456789101112答案DBACADCDDCBB13. eq f(,3)14.315. eq f(9,4)16.k eq f(2,3)或 eq f(3,8)10某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的跑法:问题分成二类(棒选人，按第一棒是否选乙分两

11、类):乙跑第一棒，乙跑第一棒有A eq o(1,4)A eq o(3,5)60种方法;乙不跑第一棒有A eq o(1,4)A eq o(1,4)A eq o(2,4)192种方法.故共有A eq o(1,4)A eq o(3,5)A eq o(1,4)A eq o(1,4)A eq o(2,4)252种甲跑第二棒的方法:C eq o(1,4)A eq o(2,4)48甲跑第二棒的概率为P eq f(48,252) eq f(4,21)12提示：sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin(2A2B)sin2Asin2Bsin2Acos2Bcos2Asin2B2sin2A(1cos2

12、B)sin2B(1cos2A)4sinAsinB(cosAsinB+cosBsinA)4sinAsinBsinC eq f(1,2)即sinAsinBsinC eq f(1,8)，又S eq f(1,2)absinC eq f(1,2)2RsinA2RsinBsinC2R2 eq f(1,8) eq f(R2,4)1，2，则4R28(bc)bcabc eq f(bc,a)8R3sinAsinBsinC eq f(bc,a)R3 eq f(bc,a)R3恒成立(bc)bc816.解：依题意设椭圆的方程为 eq f(x2,4)y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)，如图，设D(

13、x0，kx0)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24故x2x1 eq f(2, eq r(14k2)，由 eq o (sup3(),ED)6 eq o (sup3(),DF)知x0 x16(x2x0)，得x0 eq f(1,7)(6x2x1) eq f(5,7)x2 eq f(10,7 eq r(1+4k2)；由D在AB上知x02kx02得x0 eq f(2,12k)， eq f(2,12k) eq f(10,7 eq r(1+4k2)化简得24k225k60，解得k eq f(2,3)或k eq f(3,8)(17)（本小题满分12分）解：

14、()设数列an的公比为q，2a1，a3，3a2成等差数列，2a13a22a31分2a13a1q2a1q2.2分2q23q20，解得q2或q eq f(1,2)3分q0q2.4分a12数列an的通项公式ana1qn1.5分2n，nN6分（）bn(n2)log2ann(n2).7分 eq f(1,bn) eq f(1,n(n2) eq f(1,2)( eq f(1,n) eq f(1,n2).9分Tn eq f(1,b1) eq f(1,b2) eq f(1,bn1) eq f(1,bn) eq f(1,2)(1 eq f(1,3)( eq f(1,2) eq f(1,4)( eq f(1,3)

15、eq f(1,5)( eq f(1,n2) eq f(1,n)( eq f(1,n1) eq f(1,n1)( eq f(1,n) eq f(1,n2)10分 eq f(1,2)（1 eq f(1,2) eq f(1,n1) eq f(1,n2).11分 eq f(3,4) eq f(2n3,2(n23n2).12分(18)（本小题满分12分）解：()设样本总数为n由频率分布直方图可知：次数在100，110)间的频率为0.014100.141分 eq f(7,n)0.14，解得n50人2分（）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为AP(C)0.006100.0

16、14100.23分P(B)0.028100.022100.504分P(A)1P(B)P(C)0.305分()在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X10，15，20，25、306分P(X10)0.20.20.04；P(X15)20.20.50.2P(X20)0.5220.20.30.37P(X25)20.30.50.3P(X30)0.320.09对一个给1分，但不超过4分10分x1015202530P0.040.20.370.30.09E(X)0.04100.2150.37200.3250.093011分2112分19（本小题满分12分）解()取F为线段BP中点，取PC的中点为O，连FO，DO2

17、分F、O分别为BP、PC的中点，FO eq o (sup3(),sdo2() eq f(1,2)BCABCD为平行四边形，EDBC且DE eq f(1,2)BCFOED且DEFO四边形EFOD是平行四边形3分EFDO4分EF eq o (sup2(),/)平面PDCEF平面PDC5分（）以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系6分D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(2，2 eq r(,3)，0)，A(0，0，3)7分设F(x，y，z)， eq o (sup3(),BF)(x2，y，z3) eq f(1,3) eq o (sup3(),BP)(

18、eq f(4,3)， eq f(2r(3),3)，1)F( eq f(2,3)， eq f(2r(3),3)，2)8分 eq o (sup3(),AF)( eq f(2,3)， eq f(2r(3),3)，1)，设平面PBC的法向量 eq o (sup5(),n1)(a，b，c)则 eq blc(avs0al(eqo(sup5(),n1) eq o (sup3(),CB)0, eq o (sup5(),n1) eq o (sup3(),PC)0) ， eq blc(avs0al(3z0,4x2 eq r(,3)y0) 9分令y1，可得 eq o (sup5(),n1)( eq f( eq r(

19、,3),2)，1，0)10分cos eq f( eq o (sup3(),AF) eq o (sup5(),n1),| eq o (sup3(),AF)| eq o (sup5(),n1)|)11分 eq f(6r(21),35)直线AF与平面PBC所成角的正弦值为 eq f(6r(21),35)12分(20)（本小题满分12分）()解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2得2x2kx20得x1x2 eq f(k,2)1分xNxM eq f(x1x2,2) eq f(k,4)N点的坐标为( eq f(k,4)， eq f(k2,8)2分y4xy| eq sdo5(x

20、f(k,4)k3分即抛物在点N处的切的斜率为k4分直线l:ykx2的斜率为klAB5分解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)把ykx2代入y2x2得2x2kx20得x1x2 eq f(k,2)1分xNxM eq f(x1x2,2) eq f(k,4)N点的坐标为( eq f(k,4)， eq f(k2,8)2分设抛物线在点N处的切线l的方程为y eq f(k2,8)m(x eq f(k,4)将y2x2代入上式得2x2mx eq f(mk,4) eq f(k2,8)03分直线l与抛物线C相切，m28( eq f(mk,4) eq f(k2,8)m22mkk2(mk)204分mk即lAB5分（）

21、假设存在实数k，存在实数k使AB为直径的圆M经过点NM是AB的中点，|MN| eq f(1,2)|AB1分(6分)由（）知yM eq f(1,2)(y1+y2) eq f(1,2)(kx1+2+kx2+2) eq f(1,2)k(x1+x2)+4 eq f(1,2)( eq f(k2,2)+4) eq f(k2,4)+27分MNx轴|MN|yMyN| eq f(k2,4)2 eq f(k2,8) eq f(k216,8)8分|AB| eq r(1k2) eq r(x1x2)24x1x2)9分 eq r(1k2) eq r( eq f(k,2)24(1) eq f(1,2) eq r(k21)

22、eq r(k216)10分 eq f(k216,8) eq f(1,4) eq r(k21) eq r(k216)k2使存在实数k2使AB为直径的圆M经过点N2分(12分)21.解：()f(x)2(1x) eq f(2,x1)1分(1分)当x0时，1x eq f(1,x1)，f(x)2(1x) eq f(2,x2)在0，e1上有f(x)0，f(x)(1x)22ln(1x)在0，e1上单调递增，(2分)f(x)|maxf(e1)e221分(3分)关于x的不等式f(x)m0在0，e1(e是自然对数底数)上有实数解，f(x)|maxm，即me221分(4分)()g(x)f(x)x212x2ln(1x

23、)g(x)2(1 eq f(1,x1)1分(5分)g(x)2(1 eq f(1,x1)在(1，0)上g(x)0，在(0，)上g(x)01分(6分)g(x)|ming(0)0.1分(7分)x的方程g(x)p至少有一个解，p0，p最小值为01分(8分)（）证明：由()可知g(x)0在(1，)上恒成立，ln(1x)x，当且仅当x0时等号成立1分(9分)令x eq f(1,n)，nN*，x(0，1)，有ln(1 eq f(1,n) eq f(1,n)，即ln(n1)lnn eq f(1,n)，2分(10分)取n1，2，3，所得不等式相加得ln(n1)1 eq f(1,2) eq f(1,3) eq f(1,n)(nN*).1分(12分)22解：()CD为半圆O的切线，ADCD，OCAE，EACACO2分(2分)OCOA，ACOOAC2分(4分)即AC平分BAD1分(5分)()A，B，C，E共圆，AB