九年级数学上期末总复习

1、九年级数学上期末总复习 2013年1月9日第一、二章 四边形及旋转位移【主要知识点回顾】平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩

3、形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半梯形添加辅助线方法的口诀：梯形问题中，转化很重要，平移对角线，平移梯形腰，作出梯形高，延长两腰来相交，中位线要想到，一腰中点等积

4、变。图形的平移：平移有哪些性质？图形的旋转：旋转有哪些性质?把一个图形进行平移、旋转或作它的轴对称图形后，不会改变图形的 和 【典例训练】一、填空题1如图，有下列结论，在（ ）中填上理由：（1）由AB=CD，BC=AD得出四边形 ABCD是平行四边形，理由是 _。（2） 由AB/CD，BC/AD得出四边形 ABCD是平行四边形，理由是_。（3）由AB=CD，AB/CD得出四边形 ABCD是平行四边形，理由是_。（4）由OA=OC，OB=OD得出四边形 ABCD是平行四边形，理由是_。2和对角线有关的四边形的判别：（1）对角线_的四边形是平行四边形。（2）对角线_的四边形是矩形。（3）对角线_的

5、四边形是菱形。（4）对角线_的四边形是正方形。（5）对角线_的平行四边形是矩形。（6）对角线_的平行四边形是菱形。（7）对角线_的平行四边形是正方形。（8）对角线_的菱形是正方形。（9）对角线_的矩形是正方形。3在ABCD中，A：B=2：1，那么A=_,C=_，D=_。ABCDO4已知菱形的两条对角线的长分别为8cm，16cm，那么边长为_5菱形的边长为5，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长为_6如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=3cm，那么矩形的对角线长为_，BC=_。ABCD7矩形的面积为12cm2，一边长是3cm，那么矩形对角线的长是_8如图，梯形AB

6、CD中，AB=DC，B=60，AD=10，BC=18，那么AB=_，梯形ABCD的周长为_，梯形的面积是_。9如图（第8题图），等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，BAD=120，那么B=_，下底BC=_。10正方形的对角线是3，那么边长为_，周长为_，面积为_。11梯形的两底分别为5和7，且已知高为4，则梯形的面积为_。12如图等腰梯形ABCD中，其底角，则其它三角分别为_。13在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，直线DEAB, DE把梯形分成两个图形，一个是 ，另一个是 。14如图, 一直角梯形ABCD, ADBC, B=900, 且腰AB=5,

7、两底差为12, 则另一腰CD= .15在ABCD中，BAAC，B=45，若AC=32则ABCD的周长为_，面积为_。16如图，矩形ABCD中，AB6，BC8，P是边AD上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PEPF的值为：_。二、选择题。17下列说法正确的是( )两条对角线相等的梯形是等腰梯形有两个角相等的梯形是等腰梯形有两条边相等的梯形是等腰梯形有一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形18等腰梯形在同一底上的两个角_(1)_，对角线_(2)_。(1)、(2)应分别填( )A相等 不相等 B、不相等 相等 C、相等 相等 D、不相等 不相等19下面说法正确的是( ) A. 一个三

8、角形经过适当的旋转得到的图形和原图形可组成平行四边形. B. 一个三角形经过适当的平移, 前后图形可组成平行四边形. C. 因为正方形也可以看作菱形, 故菱形经过适当的旋转可得到正方形. D. 夹在两平行直线之间的线段相等.20当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( ) A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 无法确定.21等腰梯形的腰长13cm, 两底差为10cm, 则其高为( ) A. cm B. 12cm C. 69cm D. 144cm. 22已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12c

9、m，16cm D. 24cm，32cm23.下列命题中，真命题是 ( )A两条对角线垂直的四边形是菱形 B对角线垂直且相等的四边形是正方形 C两条对角线相等的四边形是矩形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形24.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB3，则BC的长为 （ ） A1 B2 C D AB CDFEOABCD25.如下图,梯形ABCD中,ADBC,AD=AB,BC=BD,A=100,则C=( ) A.80 B.70 C.75 D.60 DCFBAE26.如上图沿虚线将剪开，则得到的四边形是（ ）A梯形B平行四边形C矩形 D菱形27.在平面直角坐标系中，已知点A

10、（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是（ ） A矩形 B菱形 C正方形D梯形28.在平行四边形ABCD中，对角线和相交于点，能判定平行四边形ABCD是矩形的条件是（ ）AB C且D29、ABC绕着A点旋转后得到ABC，若BAC=130，BAC=80，则旋转角等于（ ） A50 B210 C50或210 D13030在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B图形上每一点移动的角度相同 C图形上可能存在不动的点 D图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等31、将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A，则点A的坐标

11、是（ ） A（0，1）B.（2，）C.（4，1）D.(2，3)三、解答题32.在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E， 且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的长33、两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积。34、右上图正方形ABCD是由正方形ABCD沿逆时针方向旋转而成。(1)旋转中心是_；(2) 旋转的角度是_；(3) 若正方形的边长是1， 则 CD=_；35、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE是BC边上

12、的高，将 沿BC方向平移，使点E与点C重合，得 （1）求证：BE=DG . （2） 若B=60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论。 A G D B E F C36、如图，在梯形ABCD中， ADBC，B=90C=45，AD=1，BC=4，E为AB的中点，EFDC交BC于点F，求EF的长。 A D E B F C 37如图，P是正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3将PBC绕点B按逆时针方向旋转900到QBA的位置1)求PQ：PB的值；(2)求APB的度数 38已知梯形ABCD, ADBC, AB=CD, B=600,且AD=5, BC=13, 求梯形的腰长

13、和其他三个角的度数. ABCD39在 ABCD中，对角线AC平分DAB，这个四边形是菱形吗？简述你的理由。40. 如图,在矩形ABCD中,AEBD于E,DAE:EAB=3:1,求EAC的度数.41. 如图,正方形ABCD的边长为12 cm, 在BC上有点P, 且BP=5 cm,将正方形折叠,使点A与点P重合,折痕为EF,求EBP的周长.42. 如图,在平行四边形ABCD中,AE, BF, GH, DG分别为内角平分线,这四条角平分线分别交于点M, N, P, Q.试问: 四边形MNPQ是什么图形?且说明理由.43. 如图4.4-6,在矩形球桌内壁的边AB上,有一个球E,现在要用球棍向球E击去,

14、使它顺次碰撞桌的边BC, CD, DA,逐次反射,最后回到出发点E,怎样确定击球的方向?请说明理由.44. 如图,正方形ABCD中,DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求BEC的度数.45. 如图,用四块同样大小的方砖,围出一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块方砖上轮流走动,每一步都踩在一块方砖的中心,试问: 小孩走的路线是一个什么图形?46. 如图,已知正方形ABCD中,分别过A,C两点作l2l1,作BMl2于M,DNl2于N,直线MB, ND分别交l1于Q,P,求证: 四边形PQMN是正方形.47、如图，EF为梯形ABCD的中位线，AH平分DAB交EF于M，延长DM交AB于N

15、。求证：三角形AND是等腰三角形。 _O_A_B_D_C_E四、其他50道典型题1已知：在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE ，求：EAC的度数。_E_F_A_B_D_C2已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a且BCD=60，E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点，求：EF的长。_G_A_B_D_C_E_F3、已知：在等腰梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD平分ABC交EF于G，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD的周长。_D_A_B_C_E_F4、已知：梯形ABCD中，ABCD，以AD，AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F

16、，求证：F是BE的中点。_A_B_D_C5、已知：梯形ABCD中，ABCD，ACCB，AC平分A，又B=60，梯形的周长是20cm, 求：AB的长。_O_D_A_B_C_H_F_G_E6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EFGH。_A_E_A_B_F_D_C7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使S=S，求证：DFAC。_C_D_A_B_G_E_F_H8、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF

17、的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。_E_D_B_C_A_G_F9、若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。_j_H_G_K_B_C_D_A_F_E10、正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线 上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC于K，交CD于H，求证：EG=GC=CH=HF。_C_D_A_B_E_F11、在正方形ABCD的对角线BD上，取BE=AB，若过E作BD的垂线EF交CD于F，求证：CF=ED。_E_A_D_F_G_B_C12、平行四边形ABCD中，A、D的平分线相交于

18、E，AE、DE与DC、AB延长线交于G、F，求证：AD=DG=GF=FA。_C_D_A_B_F_E13、在正方形ABCD的边CD上任取一点E，延长BC到F，使CF=CE，求证：BEDF_A_B_C_D_P_Q_N_M14、在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q 分别是AD、BC中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：PQMN。_E_F_D_C_A_B15、平行四边形ABCD中，AD=2AB，AE=AB=BF求证：CEDF。_C_B_A_D_F_P_E_H16、在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PEBC交BC于E，过P引PFCD于F，求证：APEF。_C_B_A_D_E_F17、

19、过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，若作菱形CAF，求证：AE及AF三等分BAC。_F_E_D_B_C_A18、以ABC的三边AB、BC、CA分别为边，在BC的同侧作等边三角形ABD、BCE、CAF，求证：ADEF是平行四边形。_F_E_A_B_C_D_M_N19、M、N为ABC的边AB、AC的中点，E、F为边AC的三等分点，延长ME、NF交于D点，连结AD、DC，求证：BFDE是平行四边形，ABCD是平行四边形。_O_A_B_C_D_E20、平行四边形ABCD的对角线交于O，作OEBC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm,求：平行

20、四边形ABCD的面积。_A_D_B_C_E_F21、在梯形ABCD中，ADBC，高AE=DF=12cm,两对角线BD=20cm,AC=15cm,求梯形ABCD的面积。_A_D_B_C_E_F_O22、在梯形ABCD中，二底AD、BC 的中点是E、F，在EF上任取一点O，求证：S=S_A_B_C_D_E_F23、平行四边形ABCD中，EF平行于对角线AC，且与AB、BC分别交于E、F，求证：S=S_A_D_B_C_E24、梯形ABCD的底为AD、BC，若CD的中点为E求证：S=S_D_C_A_B_E_F25、梯形ABCD的面积被对角线BD分成37两部分，求这个梯形被中位线EF分成的两部分的面积的

21、比。_D_C_A_B_M_N26、在梯形ABCD中，ABCD，M是BC边的中点，且MNAD于N，求证：S=MNAD。27、求证：四边形ABCD的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半。_A_H_G_B_C_D_E_F28、平行四边形ABCD的对边AB、CD的中点为E、F，求证：DE、BF三等分对角线AC。29、证明：顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形的对角线之和。_F_G_C_D_A_B_E_H30、在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。_F_A_B_C_D_E_G31、在直角三角形ABC中，C

22、D是斜边AB的高，A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EGAB于G，求证：CFGE是菱形。_H_F_G_E_D_A_B_C32、若分别以三角形ABC的边AB、AC为边，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：BG=EC，BGEC。33、求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。_D_A_N_F_B_M_C34、正方形ABCD中，M为AB的任意点，MNDM，BN平分CBF，求证：MD=NM_A_B_D_C_E_F35、在梯形ABCD中，ADBC，AD=12cm，BC=28cm，EFAB且EF平分ABCD的面积，求：BF的长。_E_C_B_D_A_F36、平行四边形ABCD中，E为AB上的任一点，若

23、CE的延长线交DA于F，连结DE，求证：S=S_E_D_A_B_C_F_G37、过四边形ABCD 的对角线BD的中点E作AC的平行线FEG，与AB、AC的交点分别为F、G，求证：AG或FC平分此四边形的面积，_F_G_E_D_A_B_C38、若以三角形ABC的边AB、AC为边向三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：S=S。_P_A_B_D_C_M_N39、四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC相交于点P，求证：S=S。_C_D_A_B_E_M40、正方形ABCD的边AD上有一点E，满足BE=ED+DC，如果M是AD的中点，求证：EBC=2ABM，_F_G_D_E

24、_B_A_C_N_M41、若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC中点，求证：DG=2BN，BMDG。_F_C_D_A_B_E42、从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行于BD，使BE=BD，若BE、CD的交点为F，求证：DE=DF。_D_A_B_C_E_G_F_H43、平行四边形ABCD中，直线FH与AB、CD相交，过A、D、C、B，向FH作垂线，垂足为G、F、E、H，求证：AG-DF=CE-BH。44、四边形ABCD中，若A=C，求证各角平分线围成的四边形等腰梯形。_C_D_A_B_E_F45、正方形ABCD中，EAF=45求证：BE+DF=EF。_

25、B_C_D_A_P46、正方形ABCD中，点P与B、C的连线和BC的夹角为15求证：PA=PD=AD。_F_A_B_N_E_M_D_C47、四边形ABCD中，AD=BC，EF为AB、DC的中点的连线，并分别与AD、BC延长线交于M、N，求证：AME=BNE。_D_C_B_A_M_N_G_H48、正方形ABCD中，MNGH，求证：MN=HG。_C_D_A_B_E_F49、正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是线段CE的中点求证：DAE=BAF。_o_A_B_D_C_E_m_F50、等腰梯形ABCD中，DCAB，ABCD，AD=BC，AC和BD交于O，且所夹的锐角为60，E、F、M分别为OD、O

26、A、BC的中点。求证：三角形EFM为等边三角形。第三章 一元二次方程【主要知识点回顾】只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。解一元二次方程的方法：配方法 公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0) 求

27、证：这个方程有两个不相等的实数根如果这个方程的两个实数根分别是和,且（3）（3）=5m,求m的值。8、已知：关于x的方程（m-2）x=0,求证，无论m取什么值，方程总有两个不等实根，若这个方程的两实根是和，且满足=+2，求m的值及和。9、已知关于的一元二次方程求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实根设是方程两根，且,求k的值10、关于x的方程4+（8m+1）x+4=0有两个不相等的实数根，若所给方程的两实数根的倒数和不小于-2，求m的取值范围m为何值时，方程的两根之比为1：4。11、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使

28、关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.12、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?13、常熟百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？要想盈利最多，每件童装应降价多少元？14、常

29、熟红色假日旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给红色假日旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？15、a,b,c,是 ABC的三边长，且关于x的方程b(-1)-2ax+c(+1)=0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。16、阅读材料：为解方程(x21)25(x21)40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x2ly，则 (x21)2y2，原方程化为y25

30、y40 解得y11，y24当y1时，x211x22x eq r(2)；当y4时，x214，x25，x eq r(5)。原方程的解为x1 eq r(2)，x2 eq r(2)，x3 eq r(5)，x4 eq r(5)解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到了降次的目的，体现了_的数学思想(2)解方程：x4x26017、（2011山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政

31、府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房第四章 圆【主要知识点回顾】圆的周长： C=2r或C=d 圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R -r或S=（R - r）(R是大圆半径，r是小圆半径）点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 垂径定理垂径定

32、理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中

33、，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角

34、形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的

35、切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。

36、即：、相交于、两点 垂直平分圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）A圆柱侧面展开图 =B圆柱的体积：（2）A圆锥侧面展开图=B圆锥的体积： 【典例训练】一、选择题1如图，BC是O的直径，P是CB延长线上

37、一点，PA切O于点A，如果PA，PB1，那么APC等于（）（A）（B）（C）（D）2“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE1寸，AB寸，求直径CD的长”依题意，CD长为（）（A）寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸3已知：如图，O半径为5，PC切O于点C，PO交O于点A，PA4，那么PC的长等于（）（A）6（B）2（C）2（D）24相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A）7

38、厘米（B）16厘米（C）21厘米（D）27厘米5如图，O为ABC的内切圆，C，AO的延长线交BC于点D，AC4，DC1，则O的半径等于（）（A）（B）（C）（D）6一居民小区有一正多边形的活动场为迎接“AAPP”的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12平方米若每个花台的造价为400元，则建造这些花台共需资金（）（A）2400元（B）2800元（C）3200元（D）3600元7如图，AB是O直径，CD是弦若AB10厘米，CD8厘米，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）（A）12厘米（B

39、）10厘米（C）8厘米（D）6厘米8某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为，AB6厘米，点B到点C的距离等于AB，BAC，则工件的面积等于（）（A）4（B）6（C）8（D）109如图，PA切O于点A，PBC是O的割线且过圆心，PA4，PB2，则O的半径等于（）（A）3（B）4（C）6（D）8 10已知O的半径为3厘米，的半径为5厘米O与相交于点D、E若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O的长为（）（A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米 11如图，两个等圆O和的两条切线OA、OB，A、B是切点，则AOB等于（）（A）（B）（C）（D）1

40、2如图，AB是O的直径，C，则ABD（）（A）（B）（C）（D）13弧长为6的弧所对的圆心角为，则弧所在的圆的半径为（）（A）6（B）6（C）12（D）1814如图，在ABC中，BAC，ABAC2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）（A）1（B）2（C）1+（D）2 15已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）（A）18 （B）9（C）6（D）316如图，点P是半径为5的O内一点，且OP3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（）（A）2条 （B）3条（C）4条（D）5条17如图，正六边形ABCDEF的边长的上a，分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影

41、部分的面积是（）（A）（B）（C）（D） 18过O内一点M的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM的长为（）（A）厘米（B）厘米（C）2厘米（D）5厘米 19已知O的直径AB与弦AC的夹角为，过C点的切线PC与AB延长线交PPC5，则O的半径为（）（A）（B）（C）10（D）520如图：PA切O于点A，PBC是O的一条割线，有PA3，PBBC，那么BC的长是（）（A）3（B）3（C）（D）21如图，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）（A）（B）1.5（C）2（D）2.522在半径为2的O中，圆心

42、O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数可以是（）（A）（B）（C）（D）23如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10厘米，APPB15，那么O的半径是（）（A）6厘米（B）厘米（C）8厘米（D）厘米24如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F若O的半径为，则BF的长为（）（A）（B）（C）（D）25如图，AB是O的直径，ACD，则BAD的度数为（）（A）（B）（C）（D）26已知：点P直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则半径r的取值范围是（）（A）r1（B）r2（C）2r3（D）1r527已知扇

43、形的弧长是2厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是（）（A）（B）（C）（D）28如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PC是O的切线，C为切点，PC2，PA4，则O的半径等于（）（A）1（B）2（C）（D）29半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）（A）1（B）1（C）321 （D）12330如图，若四边形ABCD是半径为1和O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（）（A）（22）厘米（B）（21）厘米（C）（2）厘米（D）（1）厘米31半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为（）（A）3厘米（B）4厘米 （C）5厘米（

44、D）6厘米32已知：RtABC中，C，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC、BC分别相切于点E、F，若AC1，BC3，则O的半径为（）（A）（B） （C）（D）33已知：如图，E是相交两圆M和O的一个交点，且MENE，AB为外公切线，切点分别为A、B，连结AE、BE则AEB的度数为（）（A）145（B）140（C）135（D）130二、填空题1如图，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知BAC，那么BDC_度2两个点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为_3已知O中，两弦AB与CD相交于点E，若

45、E为AB的中点，CEED14，AB4，则CD的长等于_4如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，的度数比为324，MN是O的切线，C是切点，则BCM的度数为_5如图，P是O的直径AB延长线上一点，PC切O于点C，PC6，BCAC12，则AB的长为_6如图，四边形ABCD内接于O，ADBC，若AD4，BC6，则四边形ABCD的面积为_7要用圆形铁片截出边长为4厘米的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_厘米8ABC是半径为2厘米的圆内接三角形，若BC2厘米，则A的度数为_9如图，已知OA、OB是O的半径，且OA5，AOB15，ACOB于C，则图中阴影部分的面积（结果保留）S_10如图，

46、圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M则_11两圆外离，圆心距为25厘米，两圆周长分别为15厘米和10厘米则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_度12如图，在O的内接四边形ABCD中，BCD130，则BOD的度数是_13已知O的半径为4厘米，以O为圆心的小圆与O组成的圆环的面积等于小圆的面积，则这个小圆的半径是_厘米 14如图，O的半径OA是O的直径，C是O上的一点，OC交O于点B若O的半径等于5厘米，的长等于O周长的，则的长是_ 15正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_ 16如图，AB8，AC6，以AC和BC为直径作半圆，两圆的公切线MN与AB的延长线交于D，则BD的长为_17如图，

47、AB是O的直径，弦CDAB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，则EF的长是_18在O中，直径AB4厘米，弦CDAB于E，OE，则弦CD的长为_厘米19如图，AB为O的直径，P点在AB的延长线上，PM切O于M点若OAa，PMa，那么PMB的周长的_20在半径9厘米的圆中，的圆心角所对的弧长为_厘米21扇形的圆心角为120，弧长为6厘米，那么这个扇形的面积为_22如果圆O的直径为10厘米，弦AB的长为6厘米，那么弦AB的弦心距等于_厘米23某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4，A，是以A为圆心，AB长为半径的弧，是以B为圆心，BC长为半径的弧

48、，则该商标图案的面积为_24已知，一个直角三角形的两条直角边的长分别为3厘米、4厘米、以它的直角边所在直角线为轴旋转一周，所得圆锥的表面积是_25如图，已知扇形AOB的半径为12，OAOB，C为OA上一点，以AC为直径的半圆和以OB为直径的半圆相切，则半圆的半径为_26如图，PA、PB与O分别相切于点A、点B，AC是O的直径，PC交O于点D已知APB，AC2，那么CD的长为_27边长为2厘米的正六边形的外接圆半径是_厘米，内切圆半径是_厘米（结果保留根号）28如图，PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线交O于A、B两点，交弦CD于点M，已知：CM10，MD2，PAMB4，则PT的长等于_29

49、如图，扇形OAB中，AOB，半径OA1，C是线段AB的中点，CDOA，交于点D，则CD_30已知扇形的圆心角为150，它所对的弧长为20厘米，则扇形的半径是_厘米，扇形的面积是_平方厘米31如图，DE是O直径，弦ABDE，垂足为C，若AB6，CE1，则CD_，OC_32如果把人的头顶和脚底分别看作一个点，把地球赤道作一个圆，那么身高压2米的汤姆沿着地球赤道环道环行一周，他的头顶比脚底多行_米33已知：O的半径为1，M为O外的一点，MA切O于点A，MA1若AB是O的弦，且AB，则MB的长度为_34如果圆的半径为4厘米，那么它的周长为_厘米三、解答题：1已知：如图，ABC内接于O，过点B作O的切线

50、，交CA的延长线于点E，EBC2C求证：ABAC；若tanABE，（）求的值；（）求当AC2时，AE的长2如图，PA为O的切线，A为切点，O的割线PBC过点O与O分别交于B、C，PA8cm，PB4cm，求O的半径3已知：如图，BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，若ADDB23，AC10，求sinB的值4如图，PC为O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CDAB于点D，若tanB，PC10cm，求三角形BCD的面积5如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MNAB，MNa，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积6已知，如图，以ABC的边AB作直径的O，分别并A

51、C、BC于点D、E，弦FGAB，SCDESABC14，DE5cm，FG8cm，求梯形AFGB的面积7如图所示：PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，求：（1）O的面积（注：用含的式子表示）；（2）cosBAP的值8如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA30，求CD OEDCBAFECBAOD9如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E证明：AE=BE10、如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C（1）求证：CBPD；（2）若BC3，sinPeq f(3,5)，求O的直径11、如图

52、，PA与O相切于A点，弦ABOP，垂足为C，OP与O相交于D点，已知OA=2，OP=4（1）求POA的度数；（2）计算弦AB的长EODCBA12、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E.（1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为O的切线；（3）若O的半径为5,BAC=60,求DE的长.13、如图，O的直径AB=6cm，D为O上一点，BAD=30，过点D的切线交AB的延长线于点C。求：(1)ADC的度数；(2)AC的长。14、如图，在的外接圆中，是弧BC的中点，交于点，连结（1）列出图中所有相似三角形；（2）连结，若在弧BAC上任

53、取一点（点除外），连结交于点，是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明15、如图5，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N（1）求线段OD的长；（2）若，求弦MN的长第五章 函数【主要知识点回顾】正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) = 1 * GB3 k不为零 = 2 * GB3 x指数为1 = 3 * GB3 b取零解析式：y=kx（k是常数，k0）必过点：（0，0）、（1，k）走向：

54、k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0，b0 2、k0，b0 3、k0，b0 4、k04、直线y=kxb(k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kxb与x轴交点坐标为与 y轴交点坐标为(0，b)5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3

55、）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线yx+6 与y2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0或ax+b0时，图象分别位于第

56、一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。 定义域为x0；值域为y0。 3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点

57、（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4km（不小于）0。 （k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0） 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称. (第5点的同义不同表述) 10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。（五）二次函数二次函数是指未知

58、数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般式(已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b2/4a) ； 顶点式(已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.)y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式(已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式)y=a(x

59、-x1)(x-x2) 仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线 ； 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2/4a ) ，当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。开口二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。（左同右异）c的大小决定抛物线与轴交点

60、的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0, ).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐