高中数学§4《反证法》教案北师大版选修

1、北师大版数学选修1-2第三章 推理与证明4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法反证法； (2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点.三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：课

2、前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础： 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。 常用的直接证明方法：综合法与分析法。综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学） 间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。 反证法就是一种常用的间接证明方法。二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看

3、，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而

4、肯定命题成立。（3）应用反证法的情形： = 1 * GB3 直接证明困难; = 2 * GB3 需分成很多类进行讨论 = 3 * GB3 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题； = 4 * GB3 结论为 “唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。【教师归纳评价并强调】：同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。三、教师点拨【教师引导学生完成】：例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.证明： 假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇

5、数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样的内角和 。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。例3、求证：是无理数。证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以 .故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k

6、，代入式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“是无理数”。【教师从例题分析中小结反证法相关知识，提高学生的解题能力】：反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 四、学生练习及检测,教师评价1、2、【课堂回顾】同学们，本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明了吗？请同学们课后积极思考与实践.五、课后思考: A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C话为真 那么A话为假且B话为假; 由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾. 那么假设