初中数学竞赛辅导资料+例题(含答案)②初二竞赛资料

1、初中数学竞赛辅导资料（17）奇数偶数内容提要奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，02，不能被2整除的整数是奇数，如1，1，3。如果n 是整数，那么2n是偶数，2n1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数奇数奇数奇数奇数偶数偶数，偶数偶数偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。

2、例题求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k1是任意奇数，（2k1）214k24k114k(k1)k(k1)是两个連续整数的积，必是偶数4k(k1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0求证：n是4的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,xn 根据题意得 如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少

3、有2个。所以n是4的倍数。例3己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)例4求方程x2y260的正整数解解：(x+y)(xy)=60，60可分解为：160，230，320，415，512，610左边两个因式(x+y)，(xy)至少有一个是偶数因此x, y必湏是同奇数或同偶数

4、，且xy0,适合条件的只有两组解得方程x2y260的正整数解是练习17选择题设n是正整数，那么n2+n-1的值是（）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数求方程85x324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（）（A）（B）（C）（D）填空：能被3，5，7都整除的最小正偶数是能被9和15整除的最小正奇数是最大的三位数是12320012002的和是奇数或偶数？答正整数123420012002是奇位数或偶位数？答能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由求证：两个連续奇数的平方差能被8整除试证

5、明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数求方程（2xy2）2（x+y+2）2=5的整数解方程19x+78y=8637的解是( )(A) (B) (C) (D)9. 十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值 初中数学竞赛辅导资料（18）整式的整除内容提要定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。根据被除式除式商式余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)p(x)q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如x23x4（x4）（x +1）,x23x4能被（x4）和（x +1）整除。显

6、然当x=4或x=1时x23x40，一般地，若整式f(x)含有x a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则xa能整除f(x)。在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。例题例1己知x25x+m能被x2整除，求m 的值。 x3解法一：列竖式做除法（如右）x2x25x+m由余式m60得m=6 x22x解法二： x25x+m 含有x2 的因式 3x+m 以x=2代入 x25x+m 得 3x+6 2252 m=0 得m=6 m6解法三：设x25x+m 除以x2 的商是x

7、+a(a为待定系数) 那么x25x+m(x+a)(x2)x2+(a-2)x2a根据左右两边同类项的系数相等，得解得（本题解法叫待定系数法）己知:x45x3+11x2+mx+n能被x22x+1整除求：m、n 的值及商式解：被除式除式商式（整除时余式为0）商式可设为x2+ax+b得x45x3+11x2+mx+n（x22x+1）（x2+ax+b）x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 解得m=11,n=4,商式是x23x+4m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz0)能被x+y+z整除?解：当x3+y3+z3+mxyz 能被

8、x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z0，得x=（y+z），代入原式其值必为0即（y+z）3+y3+z3myz(y+z)=0把左边因式分解，得yz(y+z)(m+3)=0, yz0, 当y+z=0或m+3=0时等式成立当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4分解因式x3x+6 分析：为获得一次因式，可用x=1，2，3，6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=2时值为0，可知有因式x2，（以下可仿例1）解：x3x+6（x2）（x22x+3）练习18若x3+2x2+mx+10=x3+nx24x+10,

9、 则m=_, n=_x34x2+3x+32除以x+2的余式是，x4x2+1除以x2x2的余式是己知x3+mx+4能被x+1整除，求m己知x4+ax3+bx16含有两个因式x1和x 2,求a和b的值己知13x3+mx2+11x+n能被13x26x+5整除,求m、n及商式己知ab0,m取什么值时，a36a2b+mab2-8b3有因式a2b.分解因式：x3-7x+6, x3-3x2+4, x3-10 x-38.选择题x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x

10、+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z)n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2

11、+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2 （a+b）3+c33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例2因式分解：x311x+20a5+a+1分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）解：x311x+20 x316x+5x+20 x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5

12、(x+4) =(x+4)(x24x+5)分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a2(a1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)运用因式定理和待定系数法定理：若x=a时，f(x)=0, 即f(a)=0，则多项式f(x)有一次因式xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时

13、，x35x2+9x60，原式有一次因式x 2，x35x2+9x6（x 2）（x23x+3,）分析：用最高次项的系数2的约数1，2分别去除常数项3的约数1，3得商1，2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：x=时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，设2x313x2+3（2x1）（x2+ax3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1）（x26x3）。例4因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3

14、y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项 的系数，得解得2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4）nx+（3y+5）比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)练习19分解因式：x4+x2y2+y4 x4+4 x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x

15、29 x341x+30 x3+5x218 x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3 x33x2+3x+7x39ax2+27a2x26a3 x3+6x2+11x+6a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21 x44x+3 2x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3）（x2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48（2x7）(2x+5)(x29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xy x2y2+2x4y3x4+x22ax a+1 （x+y）4+x4+y4 （

16、a+b+c）3（a3+b3+c3）己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值初中数学竞赛辅导资料（20）代数恒等式的证明内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3证明：左边的代数

17、式减去右边代数式的值等于零。即由左边右边0可得左边右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，例题例1求证：3 n+22n225 n+23 n2 n10（5 n+1+3 n2 n-1） 证明：左边255 n+1（3 n+2+3 n）（2 n+22 n） 105 n+13 n(32+1)2 n-1(232)10（5 n+1+3 n2 n-1）=右边又证：左边25 n+23 n（321）2 n(22+1) 25 n+2103 n52 n右边105 n+1+103 n102 n-1 25 n+2103 n52 n左边右边例2 己知:a+b+

18、c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：a3+b3+c33abc（a+b+c）（a2+b2+c2abacbc）(见19例1):a+b+c=0a3+b3+c33abc0即a3+b3+c3=3abc又证：:a+b+c=0a=（b+c）两边立方 a3=（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3b3+c33bc(b+c)3abc再证：由己知a=bc 代入左边,得（bc）3+ b3+c3（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 3bc(b+c)=3bc(a)3abc己知a+,abc求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2

19、c2=1己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b24ac=0 证明：设:ax2+bx+c（mx+n）2 ， m,n是常数那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质得: b24ac（2mn）24m2n2=0练习20求证： (a+b+c)2+(a+b-c)2(a-b-c)2(a-b-c)28ab （x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 (x-2y)x3(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 3 n+2+5 n+23 n5 n=24(5 n+3 n-1) a5n+a n+1=(a3 na2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b

20、2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0 求证：a3+a2c+b2c+b3=abc a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+35.己知：xyz=0 求证： x3+8y3=z36xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：ab=bc 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc0，ab+bc=2ac 求证：9己知： 求证：x+y+z=010.求证：（2x3）（2x+1）(x21)1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=b

21、c初中数学竞赛辅导资料（21）比较大小内容提要比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当ab0时，ab；当ab0时，a=b；当ab0时ab。通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。需要讨论的可借助数轴，按零点分区。实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a20，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如(ab)20，a2+10，a2+a+1=(a+)2+0a20，（a2+a+2）0当ab时，（ab）20例题试比较a3与a的大小解：a3a=a

22、(a+1)(a1) a3a=0,即a3=a以1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号： 当a1时，a+10,a0,a10（3个负因数）a3a0即a3a 当1a0时a0,a10（2个负因数） a3a0即a3a当0a1时，a10（1个负因数） a3a0即a3a当a1时，没有负因数， a3a0即a3a综上所述当a=0,1，1时， a3=a当a1或0a1时，a3a当1a0或a1时，a3a。（试总结符号规律）什么数比它的倒数大？解：设这个数为x，则当并且只当x 0时，x 比它的倒数大，x 101以三个零点1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x1或1x0时，x比它的倒数大。

23、例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲，t乙t甲t乙x0，y0t甲t乙0答：乙先到达B地例4己知abc，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca证明：a2+b2+c2ab+bc+ca2（a2+b2+c2ab+bc+ca）（2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca）（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2abc，（a-b）20，(b-c)20，(c-a)20a2+b2+c2ab+bc+ca又证：ab，（a

24、-b）20 a2+b22ab(1)同理b2+c22bc(2) c2+a22ca(3)(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca即a2+b2+c2ab+bc+ca例5比较 3（1a2+a4）与(1+a+a2)2的大小解：3（1a2+a4）(1+a+a2)23（1a+a2）2-2a-2a2-2a3(1+a+a2)22(1+a+a2)26a(1a+a2) =2(1a+a2)( 1a+a2-3a)=2(1a+a2)(1-a)21a+a2（0，(1-a)20当a=1时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2 当a1时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2 解方程 解：以0.5,

25、和2两个零点分为3个区间 当x-0.5时，(2x+1)(x-2)=4, 解得x=1当0.5x0,b0,且a+bbcd0且ab=cd， 试比较a+c与b+d的大小己知ab,xay+bx己知abc, xyaz+bx+cy ax+by+czaz+bx+cy(提示：可应用第6题的结论)己知ab0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。ab1 a2b09.若a,b,c都是大于1的负数，（即1a,b,c0 (abc)21 a2-b2-c2-110.水池装有编号为的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下开放的水管号时间（小时）2156310问

26、单独开放哪条水管能最快注満水池？答：（1989年全国初中数学联赛题）初中数学竞赛辅导资料（22）分式内容提要除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。(1)分式中，当B0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。例题例1x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？30-1-2解： 以零点2，1，0

27、，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）当x=1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；当x2, 1x3时，分式的值是正数（负因数的个数是偶数）当2x1, 0 x1, xn= 求：x1x2x3x8的值 解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4 x5x6=x5=6 x7x8=x7=8x1x2x3x8=246 8=384例3.已知：100个自然数a1,a2,a3a100满足等式(n-2)an（n1）an-1+1=0 (2n100)并且a100=199 求：a1a2a3a100分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1= 可由a100求a99,

28、a98解：a99=197 a98=195用同样方法求得a97=193, a96=191,a1=1a1a2a3a100135195197199104练习23已知a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 那么a3=_,a4=_,a5=_,a6=_,a7=_若a1=2m, an=则a2=_,a3=_,a4=_,a5=_,a1989a1990=_3. n为正整数，有递推公式an+1=an3，试用a1,n表示第n项an4. 已知a1=10, an+1=2an 求a105. 已知f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)设x+y=a1, x2+y2=a2, xn+yn=an,

29、xy=6, 则a2=a122b,有递推公式an+1=a1anban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6根据下列数据的特点，写出递推公式：a1=1, a2=4, a3=7, a4=10an=,an+1a1=1, a2=3, a3=6, a4=10an=,an+1n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。初中数学竞赛辅导资料（24）连续正整数的性质内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，

30、6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是9999910000190000（个）1. n位数的个数一般可表示为910n-1(n为正整数，1001)例如一位正整数从1到9共9个（9100），二位数从10到99共90个（9101）三位数从100到999共900个（9102）2.连续正整数从n 到m的个 数是mn+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的

31、连续奇数的个数是119从13到49的连续偶数的个数是118从13到49能被3整除的正整数的个数是112从13到49的正整数中除以3余1的个数是113你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和123n（1n）（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：11131555（1155）759（从11到55有奇数123个）11141753（1153）480（从11到53正整数中除以3余2的数的个数共115）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和123456789各数位上的数字和是（09）（18）（45）9545123

32、499100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1各数位上的数字和是18501901五. 连续正整数的积从1开始的n个正整数的积123n记作n！，读作n的阶乘n个连续正整数的积能被n！整除，如111213能被123整除；979899100能被4！整除；a（a+1）(a+2)(a+n)能被（n+1）！整除。n！含某因质数的个数。举例如下：12310的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中422含两个质因数2增加了1个其中823含三个质因数2再增加2个1231

33、30的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中12553含三个5再增加2个积中含质因数5的个数是32例题例1. 写出和等于100的连续正整数解：1002504255201010其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：1213，1114，1015，916得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，1921，1822得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？

34、解：页数编码中，一位数1到9共9个两位数1099，共90个，用数码902180个三位数100999，共900个，用数码90032700个四位数10001990，共991个，用数码99143964个共用数码9180270039646853用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：123499100。问：它是一个几位数？它的各位上的数字和是多少？如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解： 这个数的位数=91+902+3=192各位上的数字和=1850+1=901(见上页第四点)划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：包括18，1018，

35、19中的1，2028，29中的2，50到56这里共有8191919191498个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？解：11，12算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112x122;符合条件的连续正整数是121，122，123，143。共23个。例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）把222分解质因数得x(

36、x+1)=2337a（2）连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0a9由（1）可知a可能是1，3，5，6，8分别代入（2）只有6适合x(x+1)=3637答所求的连续正整数是36和37练习24除以3余2的两位数共有_个，三位数有_个，n位数有_个。从50到1000的正整数中有奇数_个，3的倍数_个。由连续正整数连写的正整数1239991000是_位数，它的各位上的数字和是_。把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止， 那么这个数的末三位数是_，这个数的各位上的数字和是_这个数除以9的余数是_(1989年全国初中数学联赛题)已知a=, b= 那么ab=_ ab的各位上的数字和是_(

37、可用经验归纳法)计算连续正整数的平方和的个位数：12+22+32+92和的个位数是_12+22+32+192和的个位数是_12+22+32+292和的个位数是_12+22+32+392和的个位数是_12+22+32+1234567892和的个位数是（1990全国初中数学联赛题)写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：_，_，_。连续正整数的积1234100这积中含质因数5的个数有_，积的末尾的零连续_个。恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990年全国初中数学联赛题).设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那

38、么b2是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376计算： 2+4+6+100= 1+4+7+10+100=+10+15+100=有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。一串数1，4，7，10，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数初中数学竞赛辅导资料(25)十进制的记数法内容提要十进制的记数法就是用0

39、，1，29十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数第1位)， 101=10(十位上的数-第2位)，102=100(百位上的数-第3位)，10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5104+4103+3102+0101+7100十进制的n位数(n为正整数)， 记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+102an-2+10an-1+an 其中最高位a10，即0a19，其它是0a1,a2,a3an9各位上的数字相同的正整数记法：例如999=100011031，99991041，10n-1，4 解答有关十进制数的问题，常遇到所

40、列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。例题一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1105x ，新六位数为10 x1，根据题意，得10 x13（1105x）7x=299999 x=42857 原六位数是142857设n为正整数，计算1解：原数（10n 1）（10n 1）+110n+10n1102n210n+1+10n+10n1102n试证明12，1122，111222，这些数都是两个相邻的正整数的积证明：1234，1

41、1223334，111222333334注意到333334333（3331）（1）由经验归纳法，得10n+（）（上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k (k为正整数)，d=9ka bc,代入原四位数，得103a+102b+10c9ka bc（1031）a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) 111a+11b+c+k是整数，四位数103a+102b+10c+d,

42、能9被整除推广到n位正整数：n位正整数记作10n1a1+10n-2a2+10an-1+an（1）a1+a2+an-1+an=9k(k是正整数)an=9ka1a2an-1代入（1）得原数10n1a1+10n-2a2+10an-1+9ka1a2an-1（10n-11）a1+（10n-21）a2+9an-1+9k10n-11，10n-21，101分别表示，9原数9（a1a2an+k）这个n位正整数必能被9整除已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0a9, 0b,c99ab且8 a-b+c18它能被11整除，a-b+c只能

43、是11或0。当a-b+c11时，商是9a+b+1,根据题意得9a+b+1a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意当a-b+c0时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c且a-b+c11解得答这个数是198一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, 可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-

44、2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17从百位上看c+b=8 (进入千位) 可知 c+b=17 (2)(2)+(1)得 b-a=801 (B)abc1 (C)a2b2c20分析：一般要“肯定成立”比“否定成立”更难，我们来取特殊值否定：1a,b,c0, ca , bcd0, b0, c0, d0 (B)a0, b0 ,d0, b0 ,d0 (D)a0, c0 (E)a0, b0, c0 ,d0,可知a,b,c,d中负因数的个数是偶数个，故可淘汰(B)和(E)， 再由bcd0,可知aa

45、 是多余的，本题是用概念辨析来否定选择项例4. 已知c1, a=, b=,则a,b的大小关系是( )(A)ab, (B)ab, (C)a=b, (D)a1,可取c=2，得a=0.32 b=10.41，可淘汰(A)，(B)，(C)为判断有没有特殊值能使a=b ,可用倒推法，设a=b即，移项得2两边平方，得2c+2=4c ， c两边再平方,得c21=c2,这是不可能的，故可淘汰（E）正确的答案是（D）本题是用特值来否定错误的选择项，并结合推理演算二.直接法例5.已知 x=1+, y=1+(x0,y0)，则y=( )(A)x1, (B)x+1 (C)1x (D)x, (E)x解：从x=1+，设x=y

46、（把y与x对换）则得y=1+故选（D）这是用概念辨析法直接选择。例6.已知abc, xyz,下列代数式中，最大值的是（）ax+by+cz (B)ax+bz+cy (C)ay+bx+cz ay+bz+cx (E)az+bx+cy解：按已知选a,b,c,x,y,z的值012，101分别计算（A）2，（B）1，（C）1，（D）1，（E）1故选（A）这是利用特殊值直接判断。例7.去年产量比前年产量增长p ，则前年产量比去年产量下降的比率是（）p, (B),(C)(100p)，（D），（E）解：设前年的产量为1，则去年产量是1p，那么前年比去年下降的比率是100选（D）本题是直接计算。（要注意增加、减少

47、的数值差与增长、下降比率的倍数差的区别）例8.三个连续正整数a,b,c, 已知a2=14884, c2=15376, 那么b2=( )（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15325解：由已知abc,按个位数规律a的个位数是2或8，c 则是4或6，可以断定b的个位数是3，而329，故选（B）本题是根据连续数，个位数，平方数的性质直接计算判断的例9. a,b是实数且满足ab0,a+b0,ab0, 那么a,b及其相反数的大小和顺序是（）abba (B)abba (C)baab(D)abba (E)baab解：多个数大小的比较，借助数轴方便，先标上a,b，再标上它们的相反数，由

48、ab0知道a,b异号，由ab0,知a小于b，即a负b正，由a+b0可知负数a的绝对值大（即距原点更远）得下图 a b 0 b a故选（A） 本题是借助图形判别的。练习26选择题：每题只有一个正确的答案，把选择的编号填入表中题号12345678910111213141516正确答案的编号1.已知a0,1babab2 (B)ab2aba (C)abaab2 (D)abab2a (E)aab2ab2.若a0,而A1a2, B=1a2, C= D= 那么A,B,C,D的大小关系是()DBAC, (B) BDAC , (C) DBCA , (D) BDCbc0,M= , N=,P= 那么下列五个代数式的

49、值，最小的是（ ）MN, (B)MP, (C) NP, (D) M2, (E)P28.若x0, 那么 等于 ( ) (A) 1, (B) 12x , (C) 2x1, (D)2x+1, (E) 2x19. 一个正整数的算术平方根为A，那么下一个正整数的算术平方根是( )(A)， (B)A2+1 , (C)+1, (D) , (E)A+1(1979年美国中学数学竞赛试题)10. 已知a 是3的小数部分，那么 a等于 ( )(A)0.73， (B)0.27，(C) 2， (D)1 (E)非以上答案11. 若12，且1和2是邻 补角，那么 2的余角等于 ( ) (A)1， (B)(1+2)， (C)

50、(12)，(D_)以上都不对12. 从点A向北偏东45度方向走a米到达点B，再向B的南偏西30度方向走b米到达点C，那么 ABC的度数是 ()15（B）75（C）150（D）非以上度数13.三条直线a,b,c 的位置关系，下列判断错误的是（）（A）若ab, bc则ac（B）若ab，bc 则ac (C) 若ab，bc 则ac（D）若ab，bc 则ac14.对所有实数a,b,c，x,y,z，若xa, yb, zc,下列三个等式能成立的是（）（A）没有一个，（B）仅，（C）仅，（D）仅，（E）有两个xy+yz+zxab+bc+ca, xyzabc. x2+y2+z2a2+b2+c215.已知T那么T

51、的值的范围是（）T1，（B）T1，（C）T2（D）1T2 (1974年美国中学数学竞赛年试题)16.a,b是不相等的正数，三个代数式的值，最大的是（）（A），（B），（C），（D）不能确定（）2（a+）(b+), (+)2初中数学竞赛辅导资料（27）识图内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。平面几何学只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。线：只有长短，没有粗细。线是由无

52、数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。例题例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ 解：甲图中有10个角：AOB, AOC,BOC,BOD,COD,COE,DOE,DOA,EOA,EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个A

53、OC，余类推。乙图中有5个等腰三角形：ABC，ABD，BDC，BDE，DEC丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)AOBCOD，AODBOC，ABCCDA，BCDDAB。丁图中共有等边三角形48个：边长1个单位：顶点在上的个数有1234515顶点在下的个数有123410边长2个单位：顶点在上的个数有123410顶点在下的个数有123边长3个单位：顶点在上的个数有1236边长4个单位：顶点在上的个数有123边长5个单位：顶点在上的个数有1以上要注意数一数的规律例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几

54、条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。（1989年全国初中数学联赛题）解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）以此类推，6个点两两连线共有线段1234515（条），或用每点都与其他5点连线共56再除以2（因重复计算）。要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（64）212（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6A5A4A6A3A1A2例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O

55、为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2乙2为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y米，根据题意得甲O甲1甲2解得12x=8y 乙1xy=23乙0答甲和乙的速度比是2比3。例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？（1989年全国初中数学联赛题）解：如图ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又

56、可增加2个不重迭的三角形，共有7个。一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个AAAFDEEBCDDBCBC练习27数一数：甲图中有直角三角形个，乙图中有等腰直角三角个，丙图中有全等三角形对。ADDCAEDCEBAB甲乙B丙C平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有条，记作_以O为端点画6条射线OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的角（小于平角）最多是个，最少是个，试分别画出草图。在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n3个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有个。5.下图中三角形个其中等腰三角形个，直角

57、三角形个，全等的等腰三角形组，每组个，全等的直角三角形组，每组个。如图长方形ABCD中，E，F，G分别在边BC，CD，DA上，以A为一个顶点，其他两点在B，C，D，E，F，G中任选，总共可组成的三角形的个数是（1987年泉州市初二数学双基赛题）7.平面上有6个点A，B，C，D，E，F其中任意3个点都不在同一直线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图.8.如图OCAB于O，ODOE于O，写出图中相等的角：互余的角：互补的角：9.DGC如图长方形ABCD中，AB5，BC4，AEBF1，CGDH2HF那么四边形EFGH的面积是（平方单位）A EB10.如图A，B，C

58、，D四点在同一直线上，到A，B，C，D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（1987年全国初中数学联赛题）ABCD11.正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（）（A） (B) (C) (D)13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。提示：可设 圆周长为x 米，并引入参数V甲，V乙 列方程组解之14.正方形ABCD边长为a，在点A处有个质点P， 在点B处有个质点 Q， 两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过4秒钟，P在C处追上Q。那么 B P A 再过秒钟，P在处第二次