第4讲与函数的零点相关的问题

1、第4讲与函数的零点相关的问题考向分析核心整合热点精讲阅卷评析考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015函数零点及个数问题12确定函数零点所在的区间利用导数研究函数的零点(方程的根)1121(2)真题导航A1.(2015安徽卷,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )(A)y=cos x(B)y=sin x(C)y=ln x(D)y=x2+1解析:y=cos x是偶函数,且存在零点;y=sin x是奇函数;y=ln x既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.D 3.(2014新课标全国卷,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若

2、f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是( )(A)(2,+)(B)(1,+)(C)(-,-2)(D)(-,-1)C答案: (-,0)(1,+)6.(2015广东卷,理19)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f(x)=2xex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.(2)证明:因为a1,所以f(0)=1-a0,所以f(0)f(ln a)0,由零点存

3、在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-,+)上仅有一个零点.备考指要1.怎么考对函数零点的考查主要集中在以下两个方面:一是结合函数零点的存在性定理或函数图象,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断,及判断函数零点所在的区间;二是利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.多以选择、填空题的形式出现,有时呈现在函数与导数的解答题里面,难度中等偏上.2.怎么办复习备考时应理解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴有交点的等价性;掌握函数零点存在性定理;注重培养函数与方程思想、数形结合的思想及等价转化思想的应用意识.核心整合函

4、数的零点函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点方程的根与函数零点的关系 . .函数零点的存在定理图象在a,b上连续不断,若f(a)f(b)0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点函数存在零点的判断方法解方程f(x)=0利用零点存在性定理数形结合方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点温馨提示 (1)函数零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)f(b)0.热点精讲热点一函数零点的个数问题方法技巧 (1)判断函数y=f(x)零点个数的常

5、用方法:直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.零点存在性定理法.判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)(2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法:直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.分离参数法:先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)值域问题加以解决.数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系

6、中,画出函数的图象,然后数形结合求解.答案: (1)B (2)(2015山东枣庄三模)函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.热点二确定函数零点所在的区间方法技巧 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.提醒:在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性.(2

7、)因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,故选A.热点三利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题【例3】 (2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值.方法技巧 (1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质;画出函数的大致图象;结合图象求解.(2

8、)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:在该区间上构造与方程相应的函数;利用导数研究该函数在该区间上的单调性;判断该函数在该区间端点处的函数值异号;作出结论.解: (1)函数的定义域为R,f(x)=ex+a,由函数f(x)在x=0处取得极值,则f(0)=1+a=0,解得a=-1,即有f(x)=ex-x+1,f(x)=ex-1,当x0时,有f(x)0时,有f(x)0,f(x)递增.则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2,又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)f(1),即有最大值为e-2+3;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.备选例题【例1】 (2015

9、天津河西区二模)函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0解析:函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数即函数y=x2-4x+5与函数y=2ln x的交点的个数,作函数y=x2-4x+5与函数y=2ln x的图象如下,结合图象可得,函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为2.故选B.【例2】 (2015泉州3月质检)曲线y=ex与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(mZ)内,则实数m的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:列出下列自变量与函数值的数表:yy=exy=5-x1x=0 x=42x=ln 2x=33x=ln 3x=24x=ln 4x=1考查数表中x值的大小变化对应的y值的范围,得曲线y=ex与直线y=5-x交点的纵坐标y(3,4),则m=3,故选C.【例3】 (2014四川卷)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.阅卷评析(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x