2020届天一大联考高考全真模拟卷(六)数学(理)试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2020届天一大联考高考全真模拟卷（六）数学（理）试题一、单选题1设集合，则的元素个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】在同一坐标系中分别作出的集合对应图像，结合图象的交点个数，即可求解，得到答案.【详解】在同一坐标系中分别作出的图像，如图所示，观察可知，它们有2个交点，即元素的个数为2.故选：C.【点睛】对应集合运算的问题，一般有2个步骤，第一认清集合本质，先观察集合是数集还是点集，若是数集求出相应的元素或元素的范围，若是点集则可以依托图形进行研究；第二进行集

2、合运算基于第一步的事实，我们可以直接运算或借助数轴，图形为辅助工具进行集合运算，着重考查了运算求解能力以及数形结合的思想.2已知复数，在复平面内，复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是（ ）ABCD【答案】A【解析】由复数的运算化简复数，再根据复平面内对应的点若在第三象限，列出不等式组，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】根据题意：，故在复平面内对应的点若在第三象限，则，解得，所以复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是为.故选：A.【点睛】本题主要考查了以复数的四则运算为主考查复数的基本概念，复数相等的条件，复数的几何意义等知识，有时候也结合常用逻辑用语进行考查

3、，本例中与充要条件的判定进行结合考查，此时应该使用“小范围推大范围”的原理，着重考查了运算求解能力以及化归与转化思想.3港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，则（ ）A老年旅客抽到150人B中年旅客抽到20人CD被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200【答案】C【解析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程

4、，即可求解，得到答案.【详解】由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，所以，解得人.故选:C.【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念及计算方法，其中解答中熟记分层抽样的计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.4的展开式中，常数项为（ ）AB13440CD3360【答案】B【解析】先求得二项展开式的通项，令，解得，代入即可求解.【详解】由二项式的展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故选：B.【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键

5、，着重考查了运算能力.5已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据直线与圆E相交所得的弦长，利用圆的弦长公式列出方程，求得，得到，再利用双曲线的离心率的公式，即可求解.【详解】依题意，双曲线 C的渐近线方程为 ，由曲线的对称性，不妨设，因为直线与圆E相交所得的弦长为，可得则，解得，即，故双曲线C的离心率.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质与圆的弦长问题，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了基本运算能力以及数形结合思想.6已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）ABCD【答案】C【解析

6、】令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.【详解】依题意，函数，令，解得，所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上先增后减.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.7运行如图所示的程序框图，若输出是值为13，则判断框中可以填（ ）ABCD【答案】D【解析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，运行该程序框图，可得，第一次；第二次；第三次；第四次，此时需要输出的值，所以.故选：D.【点睛】算法与程序框图是高考的

7、高频考点，试题往往依托循环结构进行考查，可以考查求值问题，也可以考查判断框中可以填写的条件，处理此类问题时，可以采用两种方法，一是列举法，二是归纳法，涉及项数较多的问题时，需要使用归纳法，看清算法本质.8已知圆柱内接于球，若球的表面积为，则圆柱的体积的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据圆柱的体积公式，求得体积的表达式，利用导数求得函数的单调区间，即可求得体积的最大值，得到答案.【详解】由题意，设球的半径为，依题意，解得.设圆柱的底面半径为，则，可得圆柱体积，令，则，故当时， 当时， ，故则圆柱体积的最大值为.故选：C.【点睛】立体几何与函数及导数的交汇是一大命题趋势，解题时，首先要构

8、造相应的函数，若是基本初等函数，可以直接求出最值，若是其他函数，可以借助导数工具，分析函教的性质，进而得到最值，应当注意实际问题中自变量的取值范围.9记等差数列的前项和为，则数列的前30项的和为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得，得到，进而利用归纳法求得，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解.【详解】由等差数列的前n项公式，可得，解得，又由，所以，所以，又由，即，即，所以数列的前30项的和为，故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的综合应用，其中解答中熟记等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算

9、能力.10马尔大夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西的方向上，再开回C处，由C向西开百海里到达D处，测得A在D的北偏东的方向上，则（ ）A3BC4D【答案】B【解析】根据题设条件，在中，利用正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，,在中，可得，所以，在中，可得,由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，所以【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边

10、的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到11已知函数的图像上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】求出在关于直线对称的函数为，则与在有公共解，根据两个函数的单调性列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，知函数在上单调递增，设函数，则函数在关于直线对称的函数为，由题意可知与在上存在公共点，因为，故函数在单调递减，当时，函数单调递增函数，只需，即，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的图像与基本性质的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与

11、运算能力.12已知点在以为圆心，以1为半径的圆上，距离为的两点在圆上，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设中点，得到，求得，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故，得到答案.【详解】依题意，设中点，则，所以，在以1为半径，以为圆心的圆上，故.【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.二、填空题13将某同学5次考试的成绩统计所得茎叶图如图所示，则该同学5次考试成绩的方差为_【答案】【解析】根据茎叶图中的数据求得数据的平均数，再利用方差的计算公式，即可求解.【详解】依题意，茎叶图中数据平均数为，

12、故所求方差为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，茎叶图，着重考查了运算求解能力以及转化和化归思想.14已知正方体中，点是线段BC的中点，点F是线段CD是靠近D的三等分点，则直线与直线所成角的余弦值为_【答案】【解析】延长至，使得，延长至，使得，取，显然，得到即为直线和直线所成的角或补角，再中，即可求解.【详解】由题意，延长至，使得，延长至，使得，取，显然，连接，则即为直线和直线所成的角或补角，设，在中，可得.故答案为：【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，其中解答中熟记异面直线所成角的概念及求法，在求异面直线所成角时，一般是化空间为平面，通过平移直线，形成异面直线的夹角，进而

13、借助三角函数和余弦定理计算相关数值，切记，两条异面直线所成角的范围是解答的关键，着重考查了空间想象能力以及数形结合思想.15若函数，则的解集为_【答案】【解析】做出函数的大致图象，结合函数的单调性，把，转化为，即可求解.【详解】由题意，做出函数的大致图象，如图所示，可得函数在上单调递减函数，又由，可得，解得，即的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，其中解答中当题设条件中出现“”此类不等式问题时，头脑中应当联想使用函数的单调性进行解题是解答的关键，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想.16已知是椭圆的左右顶点，是的右焦点，点在上且满足（为坐标原点），其中在直线上，若线段的

14、中点在直线上，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】不妨设点在第一象限，求得，进而得到的直线方程，求得，再根据和相似，得到，得出，即可求解.【详解】由题意知，椭圆的左右顶点，是的右焦点，不妨设点在第一象限，令，解得，故，所以，又因为过点的直线方程为 ，令，解得，所以，因为和相似，所以，所以，整理得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)三、解答题17记数列的前项和为，且（1）求的值以及数列前项的和；（2）

15、求证：【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）先利用求出 的值，再根据数列的前项和与通项的关系求得数列是等比数，得到的通项公式后，再求解的前项和.（2）先写出的表达式，进而使用等比数列的公式进行放缩，即可求解.【详解】（1）依题意，由，令，可得，解得，令，可得，即，解得，令，可得，解得，又由，即，解得，所以，当时， ；当时，可得，两式相减可得，故，即，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故，所以，所以.（2）由（1）知，当，可得，则.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的综合应用，其中对于数列与不等式的交汇问题，往往具有很强的综合性，在对待不等式的证明过

16、程中，往往使用放缩法进行求解，因此在平时的解题过程中要积累常用的放缩技巧，着重考查运算求解能力、逻辑推理能力以及化归与转化思想.18如图，在四棱锥中， （1）求证：平面平面（2）已知点在线段上，且，若平面与平面所成的二面角大小为，求的值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）先证明平面，进而得到平面平面.（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量法进行求解.【详解】（1）由题意，可得，因为，可得平面， 因为平面，故平面平面. （2）由（1）可得平面，又平面，平面平面，设为的中点，连接，因为，所以，可得平面，如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，易得平面的一个法向量为.

17、设 为平面的法向量，因为平面SBD与平面ABP所成的角为60所以，即，得，所以，解得或（不合题意），所以的值为. 【点睛】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力以及数形结合思想.19已知点N在曲线上，直线与轴交于点，动点满足，记点的轨迹为（1）求的轨迹方程；（2）若过点的直线与交于两点，点在直线上 (为坐标原点)，求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）设出点的坐标，利用构造出坐标的表达式，再利用点是曲线上的一点，代入即可求解；（2）结合抛物线的定义及图象，将问题转化为证明垂直准线【详解】（1）

18、)依题意，可得，设，由，可得，解得，因为点在，代入整理得，即曲线的轨迹方程.（2）设直线的方程是， ，联立方程组，整理得，由因为直线 的方程为，将的坐标代人可得，根据抛物线的定义，可得等于点 到准线的距离，由于 在准线上，所以要证明只需证明 垂直准线，即证 轴，因为的横坐标为所以轴成立，所以成立.【点睛】本题主要考查了动点的轨迹方程的求解，及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20已知函数（1

19、）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值M，证明：.【答案】（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）求得，利用和 即可求得函数 的单调性区间；（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，当时，令，所以函数单调递增；当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数 在单调递增，在单调递减.（2）由函数，则，令，可得令，解得，当时. ，函数在 单调递增，此时，所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时

20、，令 解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上存在极大值，所以，解得，因为，易证明，存在时， 存在使得，当在区间上单调递增，在区间单调递减， 所以当时，函数取得极大值，即，由，所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21某公司生产了两种产品投放市场，计划每年对这两种产品托人200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中产

21、品的年收益，产品的年收益与投入（单位万元）分别满足；若公司有100名销售人员，按照对两种产品的销售业绩分为普销售、中级销售以及金牌销售，其中普销售28人，中级销售60人，金牌销售12人（1）为了使两种产品的总收益之和最大，求产品每年的投入（2）为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制定了两种奖励方案：方案一：按分层抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励：普通销售奖励2300元，中级销售奖励5000元；金牌销售奖励8000元方案二：每位销售都参加摸奖游戏，游戏规则：从一个装有3个白球，2个红球（求只有颜色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到红球的总数为2，则可奖励1500元

22、，若摸到红球总数是3，则可获得奖励3000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售均可参加1次摸奖游戏；中级销售均可参加2次摸奖游戏，金牌销售均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加）（）求方案一奖励的总金额；（）假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明，你会选择哪种方案奖励销售员.【答案】（1）128 万元；（2）（i）；（ii）采用方案二.【解析】（1）利用函数观点，得到两种产品的总收益的相关函数，再求解产品每年的收入.（2）1.分层抽样的观点，先得到各层的人数，进而求解相应的金额；2.利用方案二的分布列，进而求解期望，与方案相比较，进行判定.【详解】（1）由题意，记A产品每年

23、收入x万元，总收益之和为 ， 则，依题意得，解得，故函数的解析式为，令，则，所以，所以当时，取得最大值282.所以A产品每年投入为 128 万元时，两种产品的总收益之和最大.（2）由题意，方案一、按分层抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中总共抽取25人，其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是，可得按照方案一奖励的总金额为：；方案二、设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能性为0，1500，3000每次摸到红球的概率所以，所以随机变量 的分布列为：015003000所以，则按照方案二奖励的总金额为，方案一奖励的总金额多于方案二的总金额，且方案二是对每个销售都发放奖励，有助于提高全体销售的销售积极性，故采用方案二.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望，其中解答中认真审题，根据题意得到函数的解析式和随机变量的取值，分别求得两方案的期望是解答的关键，着重考