《无穷与悖论》

1、无 穷 与 悖 论1、直线是无限延伸的2、数轴是无限延伸的，实现了实数与点的一一对应 无穷对于很多人来说是一个让他们十分苦恼的概念，如果无穷是真实存在的，那就是一种超越现有科学体系的存在，它绝对会让你心跳加速震惊无比。想想看，如果宇宙是无限的，意味着在遥远的太空中，也有一个像地球一样的行星，上面住着和我们一样的人，做着和我们一样的事情 但另一方面，无穷确实是存在的，起码在数学上存在，同时又是如此简单，孩子都能理解，比如说我们都会数数，1，2，3，一直这样数下去，没有尽头，那么无穷肯定必然存在的，你永远找不到一个最大的数！德国一位伟大的数学家乔治康托（George Cantor），他建立了集合论

2、（set theory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了，而是叫势（cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。 一、希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。 用数学表达就是：无穷+1=无穷！无穷+2=无穷.，无穷+无穷=无穷！也意味着无穷-无穷可以等于任何数！二、托里拆利小号（Torricellis Horn）他算出了这个小号的一个十分牛 B 的性质它的表面积无穷大，可它的体积却是 。这

3、明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！三、球与花瓶（Balls and Vase Problem）我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的：往花瓶里放 10 个球，然后取出 1 个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？四芝诺悖论由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别，也就是说运动是不可能的。问1：“一支射出的箭是动的还是不动的？”问2：确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，

4、这支箭在每一 个瞬间里都有它的位置吗？问3：在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？问4：那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”问5：这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？结论：所以，射出去的箭是不动的 悖论都是因形式逻辑思维方式产生，形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。鳄鱼困境悖论：一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。五、时间悖论祖父悖论：A回到过去，在A的祖父结婚前杀死祖父。既然A的祖父已死，就不会有A的父亲;没有A的父亲，也不会有A。既然A不存在，就不可能回到过去，杀死A的祖父。自杀悖论：如果A利用时光机器，穿越到十年前，并杀死了十年前的A，他会在那个时间消失，但A死了，未来的A也死了，那么A就会在另一条时间线存活，从而创造一次时间悖论，会导致另一条时间线出现两个自己。为什么产生悖论呢？1.本体论和认识论的分离，也就是人类认知能力的局限性，人类的认知常常达不到世界的本质，人类经常有错误的直观自己不知道2.逻辑的问题，经典的逻辑可能不适用与悖论