西北工业大学矩阵论复习推荐资料

1、 矩阵论复习一. 线性空间1. 线性空间的概念2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和）1 1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性. 2. 若1, 2, , r线性无关，则向量组1= 1+k1r , 2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关. 3. 求向量组分别生成的子空间的交的基和维数.24. 设 V1, V2 分别是证明 Kn=V1V2 5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明： Knn=S A , Knn=T A . 3二. 线性变换 1.定义

2、T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( ) 2. 线性变换的值域与核 R(T)=L(T(1),T(2),T(n),N(T)=T()=,V 3.线性变换的矩阵 T (1,2,n)=(1,2,n)A rankT=rankA, nullT=n-rankA（1,2,n 为 线性空间V 的一个基） 4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.4 5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似 (3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵 (4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T在该基

3、下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征向量。 (5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式56. 不变子空间 定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果对W, 有T()W,则W是T 的不变子空间.6 1. 求K22上的线性变换 T：T(X)=AX的值域R(T)与核N(T)的基与维数, 其中设T,S 是V 的线性变换，T2=T, S2=S , ST=TS, 证明 (S+T)2=S+TST=O.3. 设T, S 是V 上线性变换，且T2=T, S2=S ，证明 (1) R(T)=R(S)TS=S, ST=T (2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S设Px2的线性变换T T(a+bx

4、+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求Px2的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 75. 设V 是C 上的n维线性空间，T是V上的线性变换，其中1,2,n是V 的一个基.证明：V 的包含n的T 的不变子空间只有V.86. 设线性空间V3的线性变换T 在基1,2,3下的矩阵证明：W=L(2-1, 3-1)是T 的不变子空间.97. 求下列矩阵的Jordan标准形8. 求下列矩阵的最小多项式109.设A 是一个6阶方阵，其特征多项式为 ()=(+2)2(-1)4, 最小多项式为mA()=(+2)(-1)3, 求出A的若当标准形. 10.对于n 阶方阵A，如

5、果使Am=O成立的最小正整数 为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.11欧式空间与酉空间 1. 定义 ,度量矩阵(,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x和y分别是 和 在该基下的坐标) 2. 正交基与规范正交基(sthmidt 正交化) 3. 正交补 4. 对称变换与正交变换(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵.(T,T)=(,) T 在规范正交基下的矩阵为正交矩阵. 5. n阶方阵酉相似于上三角矩阵n 阶方阵A 酉相似对角矩阵A是正规矩阵.12练习题 1. 在欧式空间R22中的内积为取（1）求W的一个基；（2）利用W与W的基求R

6、22的一个标准正交基. 2. 已知欧式空间Vn的基1,2,n的度量矩阵为A,证明在Vn中存在基1,2,n，使满足13设1,2;1, 2是欧式空间V2两个基, 又 1=1-22, 2=1-2, (1,1)=1, (1,2)=-1 ,(2,1)=2,(2,2)=0分别求基1,2与1,2的度量矩阵.4. 设实线性空间Vn的基1,2,n，设，Vn在该基下的坐标分别为(1,n)T,(1,n)T; 定义(,)=11+nn证明 ：（1）(,)是Vn的内积；14 （2）在该内积下，基1,2,n是Vn的标准正交基.设ARmn，证明在列向量空间Rm中， R(A)=N(AT)设T是n 维Eulid空间V 的线性变换

7、， T(1,2,n)=(1,2,n)A证明：T 为对称变换 ATG=GA，其中G为1,2,n的度量矩阵.7. 设n 维Eulid空间Vn的基1,2,n的度量矩阵为G , 正交变换T 在该基下的矩阵为A，证明 :(1)T1,T2,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.158. 设1,2,n是n维欧式空间V的标准正交基，T是V中的正交变换，由1,2,r(rn)生成的r维子空间W=L(1,2,r)是T的不变子空间，证明：W的正交补空间 W=L(r+1,r+2,n)也是T 的不变子空间.9. 设矩阵空间R22的子集V=X=(xij)x11+x22=0(1) 验证V是R22的子空间，并求V的一个基。16(

8、2) 给定V中的变换T：TX=X+XT(XV),验证T是线性变换。(3) 求T的全体特征值与特征向量。9. 给定线性空间V6的基x1,x2,x6及线性变换T：Txi=xi+2x7-i （1）求T的全部特征值与特征向量； （2）判断是否存在另一个基，使T在该基下的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。17V 中的线性变换为T(X)=XP +XT, 任意XV， 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换； 3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 10. 已知欧式空间R22 的子空间中的内积为 18第2章 范数理论向量范数 1.定义 2.结论：l

9、p范数 3.等价性二.矩阵范数 1. 定义 2.结论： 3.等价性19习题：证明：Cnn 中的矩阵范数 与 等价.证明: Cnn 中的矩阵范数 与Cn中的向量范数 相容。3. 设A=(aij)mn,定义实数证明： 是Cmn中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容.204. 设可逆矩阵SRnn, 且 是Rn中的向量范数. 若 表示Rnn中从属于向量范数 的矩阵范数，试导出 与矩阵2-范数之间的关系.5. 设Vn 是数域R上的线性空间，xVn在基 (I) x1,x2,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T. (1)证明： 是Vn中的向量范数。 (2)设xVn在基 (II) y1,y2,yn下的坐标为=

10、(b1,b2,bn)T,且由基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵为C，21证明： C为正交矩阵.6. 给定矩阵A,BCnn,且B可逆，定义验证 是Cn中的向量范数。7. 设 ，证明22第3 章 矩阵分析及其应用矩阵序列Ak矩阵级数 收敛(A)r矩阵函数 (定义，AB=BAeAeB=eA+B)矩阵的微积分 ( )一阶线性常系数（非）齐次微分方程组dx/dt=Ax, 通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b 通解：x(t)=etAc+etA23习题：设n阶方阵A 不可逆，则cosA亦不可逆。( )设A是n阶Householder矩阵，则cos(2A)=已知 ，判定 收敛的根据是( ), 幂级

11、数的和是( ).4.已知 ,则矩阵幂级数 是( ),其理由是( ).5. 设 ，则矩阵幂级数 是( ).246.已知 ,则sin(At)=( ).7. 设 (aR),则矩阵幂级数 收敛a( ).8. 设 ， ,则25 （ ）.9. 设A 是可逆矩阵，则 ( ).10. 已知 (1) 求etA; (2)用矩阵函数的方法求微分方程 满足初始条件x(0)=(0,1,1)T的解.2611. 设X=(xij)nnRnn, 则 ( ).12. 已知 求 A.13.已知求 A.27第4章 矩阵分解三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky） 存在A的i 阶顺序主子式(0in

12、)不为零。二. QR分解 存在三. 满秩分解四. 奇异值分解28习题：设Hm是m阶Householder矩阵，In-m是n-m阶单位矩阵(mn)，则 是n阶Householder矩阵.2.设Tm是m阶Givens矩阵, In-m是n-m阶单位矩阵(m1),则AB的特征值是（ ）。7. 已知矩阵Amn,Bnm及Cmm，则方程组AXB=C有解的充分必要条件是（ ）。8. 设A，B都是酉矩阵，则(AHB)(ABH)=( ).9.设ACnn,有n个线性无关的特征向量1,2,n,则AA的n2个线性无关的特征向量是（ ）。3810. 设x是m维列向量，y是n维列向量，则 ( ).11. 已知 ，则AI+A

13、2A的全体特征值为( ).12. 设xRn是单位列向量，ARnn是正交矩阵，则13. 已知A与B的特征值分别为1,2,n与1,1,n, 则矩阵方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零解的充要条件是( ).39第6章 广义逆投影与正交投影 P是投影矩阵P2=P； P是正交投影矩阵P2=P，PH=P。二. 广义逆的定义与性质 1. A+存在且唯一； 2. rankA(1)rankA,rankAA(1)=rankA(1)A=rankA, rankA+=rankA 3. A(1)A=I A为列满秩矩阵； AA(1)=I A为行满秩矩阵。40三. 应用1. AXB=C有解 AA(1)CB(1)B=C通解：X=A(1)CB(1)+(Y-A(1)AYBB(1)2. Ax=b有解 AA+b=b通解：x=A+b+(I-A+A)y; 极小范数：x=A+b3. 矛盾方程Ax=b 的最小二乘解： x=A+b+(I-A+A)y极小范数最小二乘解：x=A+b41四. 算法 A=FG(满秩分解), A+=G+F+=GH(GGH)