数学物理方法课件：15 期中复习

1、期中考试复习期中考试安排时间：2012年4月5日(下周四) 上午 8:00 9:50地点：仙教2-207 (学号在 11018001 11018135 之间) 仙教2-404 (其他学号)形式：闭卷考试，共计5大题（Chap 1 Chap 6 每章一题）注意事项： 1. 自带 演算纸 和 一本全新作业本2. 严格遵守考试纪律3. 考试成绩占课程总成绩的40% (在期末 最终核算，学生、学校相互平衡)4. 考试内容包括定积分补充例题，梅林反演公式1第十二条 课程考试成绩原则上采取百分制，部分课程经批准后方可采取等级分制。必修课程的成绩必须包含平时成绩、期中成绩、期末成绩和总评成绩，选修课程可仅有

2、总评成 绩。教师评定成绩时应参照平时作业、实验和其它环节的情况，并注重学生创新能力表现综合评定成绩。课程考试优秀率一般不超过20%。南京大学全日制本科生学分制管理办法南字发【2010】21号2、等级分制分为优、良、中、及格和不及格。五级评分制记分与百分制记分的换算标准为：优100-90，良89-80，中 79-70，及格 69-60，不及格59及59以下。 南京大学本科教学成绩管理规定（试行）南字发【2010】110号南京大学有关考试成绩的规定2复变函数教学大纲的基本要求第一章 复变函数 基本要求： 1. 理解解析函数的定义。 2掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系第二章 复变函数的积分基

3、本要求： 1.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关 键步骤。 2掌握(234)式及(235)式。3第三章 幂级数展开基本要求： 1. 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域 内的解析函数展为泰勒级数的方法。 2. 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域 内的解析函数展为洛朗级数的方法。 3. 了解孤立奇点的分类。第四章 留数定理基本要求： 1. 了解留数的意义。 2. 熟练掌握求留数的方法。 3. 熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。4第五章 傅里叶变换基本要求： 1. 掌握周期函数、有限区间上的函数展为傅里叶级数的方 法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。 2. 掌握傅

4、里叶变换的基本性质。 3. 理解 函数的意义，掌握 函数的傅里叶变换。第六章 拉普拉斯变换 基本要求： 1. 掌握拉普拉斯变换的基本性质。 2. 掌握拉普拉斯逆变换（反演）的基本方法。以上所列的基本要求为复变函数论的核心所在，也是期中考试的重点内容。 基本要求 + 高等数学的相关技能 = 课程的好成绩 5第一章 复变函数 1.1、复数与复数运算x: 实部， y: 虚部， i：虚数单位 i2= -1复数不能比较大小, 但可判断是否相等6复数的几何意义：一个复数可用平面上的点表示xyo11Z(x,y)极坐标表示指数表示复数的模复数的辐角7辐角是不定的，需引入辐角主值的概念：无限远点：整个复平面与一

5、个复球面相对应。复平面的无限远处对应于复球面的北极 无限远点复数的基本运算：加、减、乘、除 （与高中一致）指数表达式在乘除运算上的优势共轭复数的概念：几何意义81.2、复变函数意义：定义在复平面上的映射，将一个复数映射到另一个复数，或将一个复平面上的点映射到另一个点。zwE常用的复变函数有多项式函数、分式有理函数、指数函数、对数函数等。许多实变中的公式在复变中均可照常使用可理解为实轴上的公式经解析延拓后在整个复平面适用91.3、导数定义式：导数存在的前提条件：上式极限值与z0的方式无关。假定函数可导，由z= x 0, z= iy 0 可推出：上式称为柯西黎曼条件（函数可导的必要条件）2110还

6、可证明：函数可导的充要条件为 C-R条件 + 偏导数连续极坐标下的柯西黎曼条件：与直角坐标比较，相当于11定义：若函数在点z及其邻域上处处可导，则函数在点z解析。解析与可导的区别：1.4、解析函数解析一定可导，可导不一定解析。利用C-R条件可证，解析函数的实部虚部满足二维拉氏方程。12由于C-R解析函数的实部与虚部紧密关联，知道了其中的一个，也就知道了另一个，从而知道整个解析函数。3. 不定积分法2. 凑全微分显式法1.曲线积分法 xydv = Ady + Bdx = dC(x,y)通过观察得到与曲线积分法类似，通过C-R条件将分段积分时的积分参数予以进一步确定。13本节为1.4节解析函数的一

7、个应用。1.5、平面标量场等势线（标量线）电场线（矢量线）考察的重点在于，如何利用C-R关系从一种线出发求得另一种线。注意： 给定 ，并不意味着而是 其中 g 待定。14一个函数对应着多个函数值，如根式函数、对数函数。1.6、多值函数支点的概念：绕某个点转一圈，函数值不复原。割线的概念：从支点出发延申至无穷远处的一条线。 在割线上下沿，函数不连续。黎曼面的概念：在割线处续接上若干个复平面，使得在续接 后的多个复平面上函数值变得连续。多值函数的注意点：1. 主要是用在求实变函数积分上。2. 在构造围道时，一定要将支点排除在围道之外。15第二章 复变函数 2.1、复变函数的积分A xyo Bz0z

8、nlz1zk-1zkk1定义: 在复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f(z)的分段求和在段数为无穷时的极限：复变积分的本质为复数求和16几个重要性质1. 常数因子可以移到积分号之外2. 函数和的积分等于各函数积分的和反转积分路径，积分值变号4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和5. 6. 其中M 是|f(z)|在l上的最大值，L 是l 的全长172.2、柯西定理（一）单连通域情形Cauchy 定理 ：如果函数 f(z) 在闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。oxylco18（二）复连通域情形Cauchy 定理 ：

9、如果函数 f(z) 在闭复连通区域 中单值且解析， 则l 为外边界线， li为内边界线，积分沿边界线正向。 xy l1l2l3lBo区域边界线的正向 - 当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。19（三）柯西定理的重要推论在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。ADBCBC在不跳孔的情况下可任意改变积分路径。非闭合路径积分闭合路径积分202.3、不定积分根据 Cauchy 定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l 的积分 只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z,

10、 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):性质：(2) F(z) 在区域B上是解析的(1) 即 F(z) 是f(z) 的一个原函数21重要例子：l l l不包含l 包含222.4、柯西公式解析函数在点z的值与函数在点z邻域围道上的积分紧密相关。对复连通区域,上式仍成立，只要将l 理解成所有境界线，且均取正向。l 23Cauchy 积分公式的重要扩展 (任意次可导!)解析函数不但一次可导，而且任意次可导！注：本章为第三章之基础，期中考试中无直接关联的试题。24第三章 幂级数展开 3.1、复数项级数1. 定义:复数项级数为无穷多个复数的和。2. 收敛性: 柯西收敛判据： 0, N() , 当

11、n, n+p N 253. 绝对收敛:为部分和。其中若 收敛则称级数 绝对收敛。 级数绝对收敛 - 级数收敛 绝对收敛级数改变先后次序，其和不变。 绝对收敛级数可写为若干级数之和。 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.264. 函数项级数 (复数项级数的拓展)定义：其中每一项均是一单值解析函数。柯西收敛判据 ： z B, 0, N(,z) 0, 当 n, n+p N, 一致收敛 ： 上式中N一般随z不同而不同。但若N与z无关，便称函数项级数在B内一致收敛。一致收敛的 M 判别法 ：梁书 P. 34 27一致收敛级数的性质： 极限与求和可交换逐项求积分逐项求导数283.2、幂级数

12、一、定义上式叫作以z0为中心的幂级数。二、幂级数敛散性1、阿贝尔定理（补充）若幂级数 在 处收敛，则在闭合圆 内，幂级数绝对且一致收敛。29阿贝尔定理结论：在展开中心z0为附近，必然存在一个幂级数的收敛圆，圆的半径R 称为收敛半径。三、收敛半径的判定比值判别法根式判别法303.3 解析函数的泰勒（Taylor）级数展开：一、定理：设 f(z) 在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则对圆内 的任意 z 点, f(z) 可展为幂级数， 为圆CR 内包含z且与CR 同心的圆。此定理只是证明了泰勒展开的正确性，在实际中我们往往利用高数知识进行求解。313.4 解析延拓：意义：通过幂级数展开的方法，

13、可以将复变函数的定义域进行扩大。本节并无任何实际意义。唯一性：可以证明，解析延拓的结果是唯一的。oxy323.5、解析函数的洛朗（Laurent）展开一、双边幂级数收敛环的概念：定义：正幂部分在 时收敛。负幂部分在 时收敛。若 内绝对并一且级数在 致收敛， 称为级数的收敛环。33二、罗朗展开定理 其中C 是位于环域内按逆时针方向的一闭合曲线。设f(z)在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点z, f(z)可展为幂级数正幂部分称为 Laurent 级数的正则部分负幂部分称为 Laurent 级数的主部34几种常用展开方法：三、将环域内的解析函数展开成洛朗级数的方法与步骤(1) 找出 f (z

14、)的奇点；(2) 以展开中心z0为圆心，按奇点为界将区域分割为 若干环（每个环内部无奇点）；(3) 分区展开 f (z)。1. 直接计算洛朗级数 最基本但也最不常用3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。2. 将有理式分解为部分分式，再按 展开。4. 利用逐项求导或逐项积分。353.6、孤立奇点的分类 一、孤立奇点的定义: 若函数 f(z) 在某点 z0 不可导，而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z) 的孤立奇点。二、孤立奇点的分类:正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分1、若展式不含负幂项： z0为f(z)的可去奇点2、若展式含有限个负幂项： z0 为f(z)的极点

15、3、若展式含无限个负幂项： z0 为f(z)的本性奇点36三、函数在孤立奇点邻域的特性1、可去奇点：函数值有限2、极点： 函数值发散为无穷大3、本性奇点：函数值无定义，可为无穷大或任意有限值四、无穷远点的奇点特性引入自变量代换 z=1/t，则将z = 变换到了t = 0点。设则 在无穷远点处的奇点特性由 在零点处的奇点特性所决定。37第四章 留数定理4.1 留数定理立奇点 外解析，在闭区域 上除 一、留数定理: 设 在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤外连续，则 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。知道了留数就知道了积分结果!在zj处罗朗展式中-1次方项的系数。

16、注意在处留数定义有所不同。38二、计算留数的公式：1、一阶极点留数的计算：设 是 f(z) 的一阶极点因此= 非零有限值特殊情形：若则392、m (m2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f(z) 的 m 阶极点上式提供了一个求留数的简单通用方法，但要运用上式，需提前知道极点阶数m。可用下列方法判定：= 非零有限值则有403、奇点留数计算公式总结：奇点 b 的类型m 阶极点本性奇点一阶极点可去奇点普遍公式414.2 应用留数理论计算实变函数定积分一、求实变定积分的基本思路把需求解的定积分与复变函数的围道积分联系起来，再利用复变函数的知识以便得到定积分的解。将实变函数的积分路径与复平面上的一段路径

17、C等同起来。abxxyzazbC42若对应的复变路径C不构成闭合围道，则补上一段路径 C使得C+C构成一闭合围道。abxxyCzazbC利用留数定理求出在C+C上的积分，再利用其它方法求 出在C上的积分(一般为零)，相减后得到问题的答案。434. 常见的类型类型一：其中：(1) R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式；(2) 积分区间是 0, 2； (3) 在区间0, 2内，R 无奇点。4402xxyoz平面1解法：令 z=eix, 则积分路径变成单位圆的围道积分。因为原积分变成45类型二：其中：(1) 积分区间是 (-, + );(2) 复变函数 f(z) 在实轴上

18、无奇点，在上半平面除有限 个奇点（b1, b2bn) 外解析；(3) 当 z 在上半平面和实轴上时，一致地 |zf(z)|0；(4) 如果 f(x) 是有理分式， 则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。46-R+RxyCR bkoR解法：补充围道如图, 作线积分由留数定理：当 R, 左边的第一个积分即未待求项，而第二个积分可证明当 f(z)满足条件(3)时为零。47类型三：其中: （1）积分区间 ；(2) 偶函数 F(z) 和奇函数 G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1, b2bn) 外解析；(3) 当 z 在上半平面和实轴上 时，F(z), G(z)一致地 0

19、；(4) m0；48解法：注意到-R+RxyCRoR对上式积分路径补上半圆CR 并利用约旦引理留数定理可得49类型四：实轴上有单极点的积分 其中：(1) 函数 f(z) 在实轴上有单极点 a，上半平面除有限 个奇点（b1, b2bn) 外解析；(2) 当 z 在上半平面和实轴上时，或一致地 |zf(z)|0；50考虑只有一个单极点a的情况，由于a的存在，对积分路径做如下变换：CRC-RRO-RRO则有解法：51由约旦引理由洛朗展开因此积分结果为524.3 计算定积分的补充例题 无万能公式主要是利用函数多值性进行解题在构造围道时，应将支点排除在外。53第五章 傅立叶变换5.1 傅立叶级数一、若函数 f(x)以2l为重复周期，则可展开为54二、狄里希利定理 (2) 在每个周期只有有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且当函数 f(x) 满足条件：(1) 处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；则有55三、有限区间上函数的Fourier展开在本课程第二部分数学物理方程中，经常需要求解只在某一有限区间a,b上有定义的函数f(x)。此类函数一般受