《数字通信原理》第2章 信号分析基础

1、数字通信原理（2）1第2章 信号分析基础本章的基本内容：确定信号的分析方法回顾；随机信号的统计分析方法；信号的功率密度谱分析；匹配滤波器；信号带宽。第2章 信号分析基础22.1 引言第2章 信号分析基础3第2章 信号分析基础 数字通信系统中的信号类别 确定信号：信号的过去、现在和未来取值均可完全确定的信号。 如：各种测试信号、训练序列信号等。 随机信号：含有不可预知成分的信号。 如： (1) 携带信息的信号；对于数字通信，符号集是已知的，但当前发送其中那一个符号是未知的； (2) 噪声，通常噪声是一种纯随机的信号； (3) 其他随机信号，如干扰等。 42.2 确定信号分析方法回顾第2章 信号分

2、析基础5确定信号 周期信号：满足下列条件的信号称之为周期信号 周期信号的傅氏级数展开式为 其中第2章 信号分析基础6 非周期信号：非周期信号可看作周期为无限大的信号 若非周期信号满足条件 则存在如下傅氏变换和傅氏逆变换的关系式 关系式也可表示为第2章 信号分析基础7 能量信号：实信号若满足条件 则称其为能量信号。对能量信号，有如下的帕塞瓦尔定理 信号的能量谱密度(能量密度谱)定义为 能量谱密度反映信号能量沿频谱的分布。第2章 信号分析基础89 功率信号：实信号若满足条件 则称其为功率信号。 对功率信号，其截短函数定义为 截短函数的傅氏变换 第2章 信号分析基础10 功率信号(续)：若下面的极限

3、存在 则将其定义为信号的功率密度谱 或 功率密度谱反映信号的功率沿频谱的分布特性。 信号的功率第2章 信号分析基础11121314 相关函数：相关运算在通信信号处理中常用于对特定的信号提取和识别。 能量信号的互相关运算定义为 功率信号的互相关运算定义为 周期信号的互相关运算定义为 T 为信号的周期第2章 信号分析基础151617先说自相关假设一个过程是某个事件出现或者不出现，比如说是否下雨，如果今天下雨了，明天一定下雨，就是说这今天下雨决定了明天一定下雨且今天不下雨明天也一定不下雨，那两件事情就是完全相关，相关度为1。如果今天下雨了，明天就一定不下雨，今天不下雨明天一定下雨，那两者就是完全负相

4、关，相关度为-1。如果两者有一定概率的关系，那相关度就介于两者之间。 如果不是这样出现不出现的问题，有量的关系考虑也是类似的，例如降雨量。今天的降雨量和明天降雨量的相关程度。互相关的和自相关是一样的意义，不过是两个不同随即过程的关系，比如今天的降雨量和明天气温之间的相关程度18互相关函数是描述随机信号X(t),Y(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的相关程度。自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的相关程度。应用：在数字信号基带最佳接收时代替匹配滤波器，容易实现；帧同步检测；接收信号频偏估计；CDMA系统中码分复用作为 CDMA 来说,用户工作在同一

5、个中心频率上,所有的用户信息叠加在空中接口上发射并通过码字来区分。所以码字的选择非常重要,系统一般要求码字有尖锐的自相关特性和正交性。尖锐的自相关性可使得相关解调器可以很容易捕捉到码字的存在。通过不同码字的正交性,系统得以实现码分复用。 19 实相关函数的主要性质：第2章 信号分析基础20 相关函数与信号的能量/功率密度谱间的关系：对于能量信号，信号能量谱密度与自相关函数是一个傅立叶变换对 对于功率信号，信号功率密度谱与自相关函数是一个傅立叶变换对 ， ， 第2章 信号分析基础21 M进制通信系统信号序列：信号设计时，一般尽量使得每个不同符号(信号)间相关性尽可能小，以便于区分与识别 对信号检

6、测时，信号的相关运算通常在一个符号周期内进行。第2章 信号分析基础22 相关运算示例： (1) 两个正交的脉冲信号 第2章 信号分析基础23 相关运算示例： (2) 两个正交的已调信号 24 卷积运算 时域卷积定理 频域卷积定理卷积运算通常用于描述信号经过线性系统的输出 输入信号： 信道冲激响应： 输出信号：第2章 信号分析基础252.3 信号的矢量表示第2章 信号分析基础26 信号的矢量表示：多进制的基带和通带信号往往可由一组基函数的线性组合来表示 内积运算：在符号集中，定义内积运算(相关运算) 基函数：在一个N维的信号空间中，若N个函数构成的函数组满足 (1) 线性独立性 每个 都不是其他

7、函数的线性组合； (2) 完备性 若 一定有 则称函数组 为N维线性空间的一组基。第2章 信号分析基础27 正交基：满足下列条件的一组基 称之 标准正交基：特别地，满足下列条件的一组基 称之第2章 信号分析基础28基于标准正交基的信号表示： 对于M进制系统中的信号集 信号 与系数矢量间有一一对应的关系 信号 的能量与系数间的关系第2章 信号分析基础29 正交基示例：二维信号空间中的一组基函数 其中 ， 是整数。 例：由上述基函数构成一个 四进制的符号空间第2章 信号分析基础302.4 希尔伯特变换及应用第2章 信号分析基础31 希尔伯特变换 一种构建某一已知函数的正交函数的变换 定义：实函数f

8、(t)的希尔伯特变换 希尔伯特变换的频率特性 等效于一个理想的相移器。第2章 信号分析基础3233 希尔伯特变换的傅氏变换对 故有：第2章 信号分析基础3435 希尔伯特反变换定义为 希尔伯特反变换的频率特性第2章 信号分析基础36 希尔伯特变换的性质（1） （2） 两次希尔伯特变换等于移相180度 倒相 第2章 信号分析基础37 希尔伯特变换的性质(续)（3） 信号经过希尔伯特变换后能量不变:第2章 信号分析基础38 希尔伯特变换的性质(续) （4）若 为偶函数，则 为奇函数； 同理可证： 若 为奇函数，则 为偶函数。 第2章 信号分析基础39 希尔伯特变换的性质(续) （5）信号与其希尔伯

9、特变换生成的信号相互正交 因为 注意到 是一个奇函数。第2章 信号分析基础40 例：求函数 的希尔伯特变换。第2章 信号分析基础41 解析信号 定义实信号 的信号的解析信号为： 其中 为该实信号的希尔伯特变换， 。 解析信号的应用： 利用解析信号，可把带通信号转变为低通信号进行分 析。第2章 信号分析基础42 解析信号的性质 （1） 由定义，结论为显然。 （2） 第2章 信号分析基础43 解析信号的性质(续) （3） 因为有：第2章 信号分析基础44 解析信号的性质(续) （4） 第2章 信号分析基础45 解析信号的性质(续) （5） 第2章 信号分析基础46 解析信号的性质(续) （6）若

10、分别为 的解析信号，则 两信号的频谱分布在不同的区域。 同理，有： 第2章 信号分析基础47 解析信号的性质(续) （7）解析信号 的能量EZ 等于原实信号 能量的2倍 第2章 信号分析基础48 频带信号与窄带信号 频带信号(带通信号)，信号的频率分布集中在某一中心频率 附近的信号称之； 窄带信号，频带信号带宽为2W，若满足 ，则又称此信号为窄带信号。 第2章 信号分析基础49 频带信号(带通信号) 的解析信号 解析信号的频谱结构 第2章 信号分析基础50频带信号的复包络表示 称 为函数 的复包络（等效低通信号），显然有： 频带信号的复包络 的频谱结构第2章 信号分析基础51 带通系统 带通系

11、统：通频带位于频谱的某一区域范围内的系统称之。 系统的冲激响应和传递函数记为： 第2章 信号分析基础52 带通系统的解析函数及等效低通传递函数 定义： 称为带通系统的等效低通传递函数。第2章 信号分析基础53 带通信号通过带通系统的低通分析方法 由 可得第2章 信号分析基础54 带通信号通过带通系统的低通分析方法（续）第2章 信号分析基础55 带通信号通过带通系统的低通分析方法（续） 整理可得： 比较： 最后可得 信号复包络之间的关系 复包络信号与原信号间 的关系第2章 信号分析基础56 例：设带通系统冲激响应 若输入窄带信号: , 求输出解：该冲激响应相当于持续时间宽度为T的脉冲调制频率为

12、的余弦信号， ，等效于 ，这意味着宽度为T的脉冲主要的成分集中在 附近，宽度远小于 的区域，为窄带系统 因为第2章 信号分析基础57 例（续）： 输入信号的解析信号和等效低通信号分别为第2章 信号分析基础58 例（续）： 相应的输出等效低通信号为 最后的输出信号为 可见分析过程大为简化。第2章 信号分析基础592.5 随机信号的基本概念与特点第2章 信号分析基础60 随机过程/随机信号的基本概念 确定信号：变化特性完全确知的信号 如：当幅度、频率和相位为常数的余弦信号： 随机信号：变化特性不能完全预知的信号 如： 其中 幅度 、频率 和相位 三个参量中有一个或多个是随机变量的余弦信号。 通信系

13、统中的随机信号 传输的信息是随机信号（如果是确定信号则不必传输）； 各种自然界的干扰和噪声通常是随机信号。第2章 信号分析基础61随机变量随机变量表示随机现象（在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）某一时间内公共汽车站等车乘客人数电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数62一个事件：硬币，一面有图案，一面有数字。向上抛出硬币后自由落到地面。硬币哪一面朝上？随机变量A：硬币落地后的结果 A=1，图案朝上A=0，数字朝上。63 随机过程的概念：随机过程可由有限个或无限多个实现构成，其每个实现可看作某一时间信号，如下图所示： 随机过程可表示： 随机过程的

14、样本函数记为： 在某一时刻ti ，随机过程实现的样值 为随机变量。 通信系统的符号集所对应的信号集可看作随机过程的样本函数。 随机过程的统计特性：随机过程的统计特性可由其分布函数、概率密度函数或其各阶矩的数字特征描述。 第2章 信号分析基础64第2章 信号分析基础652.6 随机过程的主要统计特性第2章 信号分析基础66 随机过程的统计特性 随机过程的分布函数和概率密度函数： 一维分布函数： 一维概率密度函数： 第2章 信号分析基础67 随机过程的多维分布函数和概率密度函数： n 维分布函数： n 维概率密度函数： 第2章 信号分析基础68 两个随机过程的nm维联合分布 两个随机过程的nm维联

15、合概率密度函数： 第2章 信号分析基础69 两个随机过程独立的充要条件 对任意的n和m，有 或有： 第2章 信号分析基础70 随机过程的统计值数学期望（均值）： 方差： 自相关函数： 注意：随机过程的相关函数是在定义在统计平均意义的。 随机过程的统计值通常是时间的函数第2章 信号分析基础71 随机过程的统计值(续)互相关函数： 自协方差函数： 互协方差函数： 第2章 信号分析基础722.7 随机函数的分布及数字特征第2章 信号分析基础73 随机变量函数的分布及数字特征 一维随机变量函数的分布 (1) 若 严格单调变化 反函数有连续导数 则第2章 信号分析基础74 一维随机变量函数的分布(续)

16、(2) 若 在不重叠的区域逐段严格单调变化， 且其相应的反函数 、 、 有连续导数 则 该函数在形式上是一个多个函数的和，实际上在每个特定的 区域只有其中的一项在起作用，其他的项为零。第2章 信号分析基础75 随机变量函数的分布 随机向量函数的分布函数 若 概率密度函数为 则 的分布函数 第2章 信号分析基础76 随机变量函数的统计值(数字特征) 随机向量函数的均值 可直接由自变量X的概率密度函数计算。 同理可得随机变量函数的其他统计特性值。 第2章 信号分析基础77 随机变量函数的统计值(数字特征)(续) 示例 已知随机变量函数 X 在（-,）上均匀分布则有 第2章 信号分析基础782.8

17、平稳随机信号第2章 信号分析基础79 平稳随机过程 (1)严（狭义）平稳随机过程： 对任意n和 满足如下关系式的随机过程 称之为严平稳随机过程。 严平稳随机过程的统计特性不随时间的平移而改变。第2章 信号分析基础80 平稳随机过程（续） (2)宽（广义）平稳随机过程： 满足如下关系式的随机过程 为宽平稳随机过程。 宽平稳随机过程的一阶矩为常数，二阶矩只与时间差有关。 （注：宽平稳随机过程只涉及了其一阶、二阶的统计特性）第2章 信号分析基础81宽（广义）平稳随机过程： 平稳随机信号一阶、二阶矩的统计特性的物理意义(1) 均值 ：信号的直流成分；(2) 均值的平方 ：信号直流部分的归一化功率；(3

18、) 二阶距 ：总的归一化信号功率；(4) 方差 ：信号时变部分的归一化功率。 归一化功率：负载为 1 欧姆电阻。第2章 信号分析基础82 实平稳随机过程相关函数的性质第2章 信号分析基础83 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）： 平稳随机过程的均值、相关函数等统计特性可用其时间平均来计算的随机过程称之 （常数） 对于各态历经的平稳随机过程：统计平均与时间平均等价第2章 信号分析基础84例 分析随机过程 在（-,）上服从均匀分布。 的平稳性和各态历经性。 因为 所以该随机过程是广义平稳的。第2章 信号分析基础85例 (续)又因为有： 比较前面的结果，可见该随机过程具有各态历经性。第2章 信号分析

19、基础862.9 信号的功率密度谱第2章 信号分析基础87 平稳随机信号的功率密度谱 平稳随机信号的相关函数与功率密度谱是一傅氏变换对 平稳随机信号的功率第2章 信号分析基础88 平稳随机信号的功率密度谱 相关函数与功率密度谱间的一般关系示例 信号变化剧烈，频带相对较宽 信号变化平缓，频带相对较窄第2章 信号分析基础892.10 通信系统中几种常用的随机过程第2章 信号分析基础90通信系统中几种常用的随机过程(1)高斯随机过程，其概率密度函数其中：为自协方 差矩阵 第2章 信号分析基础91高斯随机过程，其概率密度函数(续) 由上式可见：高斯随机过程的统计特性完全由其一阶和二阶数字特征完全确定；

20、由此对于高斯随机过程，其广义平稳和严格平稳是等价的。第2章 信号分析基础92 通信系统中几种常用的随机过程(续)(2) 白噪声 满足如下特性随机信号称之。 （一种纯随机过程） 高斯白噪声:噪声的功率密度谱为常数，幅度取值服从高斯分布。第2章 信号分析基础93 通信系统中几种常用的随机过程(续)(3) 窄带随机过程 信号带宽 远小于其中心频率 的随机信号称之。 第2章 信号分析基础94(3) 窄带随机过程(续) 和 相对载波 来说是低频信号。 第2章 信号分析基础95 通信系统中几种常用的随机过程(续)(4) 窄带高斯随机过程 是均值为0，方差为 的高斯随机过程。 其中 和 是均值为0，方差为

21、且相互独立的高斯过程 第2章 信号分析基础96(4) 窄带高斯随机过程(续) 窄带高斯过程的幅度与相位分布特性 幅度分布特性：瑞利分布 相位分布特性：均匀分布 幅度的分布与相位的分布统计独立：第2章 信号分析基础97(4) 窄带高斯随机过程(续) 其幅度(包络)分布特性：瑞利分布 随着方差的增大，分布特性曲线逐渐发散。第2章 信号分析基础98(4) 窄带高斯随机过程(续) 窄带高斯过程描述了窄带信号经过多个不可分辨的多径反射(散射)后到达接收端的信号特性。第2章 信号分析基础99 通信系统中几种常用的随机过程(续)(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程 其中 和 为均值为0，方差为 的高斯

22、过程。 令： 则有联合概率密度函数：第2章 信号分析基础100(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 幅度(包络)与相位的分布特性： 其中幅度 相位第2章 信号分析基础101(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 其幅度(包络)分布特性：莱斯分布 其中 称为零阶修正的贝塞尔函数，该函数的取值可通过查找贝塞尔函数表得到。第2章 信号分析基础102(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 其幅度(包络)分布特性：莱斯分布 当 A0，莱斯分布退化为瑞利分布。第2章 信号分析基础103(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 其相位分布特性： 若 其相位退化为均匀分

23、布 若 ，其均值由正弦(余弦)信号的相位决定。第2章 信号分析基础104(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 不同的信噪比 下的相位分布特性： 信噪比很大时，相位基本由正弦(余弦)信号的相位决定； 信噪比变小时，相位分布趋于随机性较大的均匀分布。 第2章 信号分析基础105(5) 正弦(余弦)信号加窄带高斯随机过程(续) 正弦(余弦)信号加窄带高斯过程描述了窄带信号经过多个不可分辨的多径反射过程到达接收端时的信号特性，在这些信号中，有其中一径特别强的信号。 该特别强的信号通常是信号中直达的视距信号。 第2章 信号分析基础106 瑞利分布与莱斯分布的比较 瑞利分布：=1 莱斯分布：=

24、1，A4第2章 信号分析基础1072.11 平稳随机过程与时不变线性系统第2章 信号分析基础108 平稳随机过程与线性时不变系统 线性时不变系统：第2章 信号分析基础109 随机过程与线性时不变系统 随机信号经过线性时不变系统 ： 设 是随机过程 的一个实现，则有 线性系统输出的统计特性： 均值：第2章 信号分析基础110 线性系统输出的统计特性(续)： 相关函数： 或表示为：第2章 信号分析基础111 平稳随机过程与线性时不变系统 平稳随机信号经线性系统输出的统计特性： 均值： 相关函数 平稳随机信号经线性系统后保持其平稳特性。第2章 信号分析基础112 平稳随机过程与线性时不变系统(续)

25、平稳随机信号经线性系统输出的信号功率谱密度： 示例：高斯白噪声经线性系统后的功率密度谱： 受线性系统频率选择特性的影响，一般不再具备白噪声的特性。第2章 信号分析基础113 信号经过线性系统后输出不失真的条件 信号不失真的含义：信号经过系统后只有幅度和时延的变化 原信号 经线性系统后没有失真的信号 (只有倍数的变化和时延) 无失真线性系统的冲激响应和频率特性 第2章 信号分析基础114 无失真线性系统的冲激响应和频率特性 幅频特性 相频特性第2章 信号分析基础115 信号经过线性系统后的群时延特性 群时延特性：信号经过系统后不同频率成分的时延特性 线性无失真系统的群时延特性各种频率成分经过系统

26、后时延相同。第2章 信号分析基础116 信号经过线性系统后的群时延特性 不同频率成分传输时延不同的系统示例1基波与二次谐波时延相同情形 基波与二次谐波时延不同时情形 同样频率成分、不同相位的信号组合获得的波形显著不同。第2章 信号分析基础117第2章 信号分析基础示例2118第2章 信号分析基础示例3119 高斯随机信号经过线性系统后的统计特性 高斯随机信号 经线性系统后的输出可表示为 输出为输入随机信号的线性加权和。因为高斯随机变量的线性组合仍是高斯随机变量，因此 高斯随机信号经过线性系统后仍为高斯随机信号； 可根据输出的高斯随机信号的均值和方差确定其全部统计特性； 高斯随机信号经线性系统后

27、一般均值和方差会发生变化。第2章 信号分析基础1202.12 循环平稳随机过程第2章 信号分析基础121 循环平稳随机过程 对于广义平稳随机序列： 均值 相关函数 广义平稳随机序列对特定脉冲波形加权后形成的信号： 因为 并非常数。所以 一般不具有广义平稳性。第2章 信号分析基础122广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)： 假定脉冲信号的波形为 均值 和相关函数均是一周期信号，称其为循环平稳随机过程 该信号不满足平稳随机信号对均值和相关函数所要求的条件。第2章 信号分析基础123广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)： 定义循环平稳随机过程的平均自相关函数 由此可估

28、计信号的平均功率密度谱 通信系统中大多数信号都可看作为循环平稳随机信号。 循环平稳随机特性成为判断信号是否存在的基本手段。第2章 信号分析基础124广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)：因为其中第2章 信号分析基础125广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)：由此可得功率密度谱其中 反映了平稳随机序列 不同频谱成分的功率沿频率的分布, 定义为平稳随机序列的功率密度谱。第2章 信号分析基础126广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)： 若循环平稳随机信号满足条件 或 即信号的交变部分是不相关的，则可导出后面相应的信号功率密度谱。 第2章 信号分析基础1

29、27广义平稳随机序列经特定脉冲波形加权后形成的信号(续)： 循环平稳随机信号的平均功率密度谱计算 其中： 第2章 信号分析基础1282.13 匹配滤波器第2章 信号分析基础129 匹配滤波器 信号的最佳接收问题 接收信号： 其中有用信号： 噪声： 接收滤波器输出信号形式 问题：接收滤波器 应该具有何种形式对信号接收最有利？第2章 信号分析基础130 信号的最佳接收： 最佳接收：使判决时刻信噪比达到最大意义上的接收。 由 输出信号部分 输出噪声部分（噪声部分只能用平均功率描述）第2章 信号分析基础131 信号的最佳接收(续)： 时刻，滤波器输出信噪比 由数学中的许瓦兹不等式 仅当 时，等号成立。第2章 信号分析基础132 信号的最佳接收(续)： 利用许瓦兹不等式，当匹配滤波器具有形式： 时，输出信噪比达到最大 其中 是一个码元的能量。第2章 信号分析基础133 信号的最佳接收(续)： 匹配滤波器的时域表达形式 对于实信号 ，其匹配滤波器的冲激响应第2章 信号分析基础134 信号的最佳接收(续)： 匹