《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第22讲任意角的三角函数及诱导公式

1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座22）任意角的三角函数及诱导公式一课标要求：1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2, 的正弦、余弦、正切）。二命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。预测2007年高考对本讲的考察是：1题型是1道选择题和解答题中小过程；2热

2、点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。三要点精讲1任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。2终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如

3、果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如|=，。3弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。角度制与弧度

4、制的换算主要抓住。弧度与角度互换公式：1rad57.30=5718、10.01745（rad）。弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。4三角函数定义在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；。a的终边P(x,y)Oxy利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即。5三角函数线Oxya角的终边PTMA三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三

5、角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横

6、坐标。这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。6同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。几个常用关系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余两式。 当时，有。7诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号

7、看象限”。诱导公式一：，其中诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。四典例解析题型1：象限角例1已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，则令 ，得 解得 从而或代回或（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合

8、表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。例2（2001全国理，1）若sincos0，则在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限解析：答案：B；sincos0，sin、cos同号。当sin0，cos0时，在第一象限，当sin0，cos0时，在第三象限，因此，选B。例3（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A

9、.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：A、B是锐角三角形的两个内角，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，故选B。例4已知“是第三象限角，则是第几象限角?解法一：因为是第三象限角，所以，当k=3m（mZ）时，为第一象限角；当k= 3m1（mZ）时，为第三象限角，当k= 3m2（mZ）时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、，并依次循环一周，则原来是第象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知，是第一、三、四象限角。点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之

10、一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN*)的终边所在的区域。题型2：三角函数定义例5已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解析：因为过点，所以，。当； ，。当，；。例6已知角的终边上一点，且，求的值。解析：由题设知，所以，得，从而，解得或。当时， ；当时， ；当时， 。题型3：诱导公式例7（2001全国文，1）tan300+的值是（ ）A1B1C1D1解析：答案：B tan300tan(36060)tan601。例8化简：（1）；（2）。解析：（1）原式；

11、（2）当时，原式。当时，原式。点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。题型4：同角三角函数的基本关系式例9已知，试确定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或所以，角的集合为：或。例10（1）证明：；（2）求证：。解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证AD=BC,从而将分式化为整式证法一：右边=证法二：要证等式，即为只要证 2（）（）=即证：，即1=，显然成立，故原式得证。点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比

12、常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。（2）证法一：由题义知，所以。左边=右边。原式成立。证法二：由题义知，所以。又，。证法三：由题义知，所以。，。点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。五思维总结1几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴2、2之间的关系

13、。若终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进

14、行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。4运用同角三角函数关系式化简、证明 常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座23）三角函数的

15、图象与性质一课标要求：1能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3结合具体实例，了解y=Asin（wx+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+）的图像，观察参数A，w，对函数图像变化的影响。二命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点

16、。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。预测07年高考对本讲内容的考察为：1题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+）的图象及其变换；三要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是，

17、频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐

18、标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。5由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期

19、公式，另外还有图像法和定义法。9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。四典例解析题型1：三角函数的图象例1（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）解析：因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，）时，yxcosx0。答案为D。例2（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的

20、图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型2：三角函数图象的变换例3试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例4（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（1y）sinx+2y3=0

21、B（y1）sinx+2y3=0C（y+1）sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用例5已知电流I与时间t的关系式为。（）右图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？

22、 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（）由图可知 A300。设t1，t2， 则周期T2（t2t1）2（）。 150。又当t时，I0，即sin（150）0，而， 。故所求的解析式为。（）依题意，周期T，即，（0） 300942，又N*，故最小正整数943。点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。图例6（1）（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=（）=4，=，y=2

23、sin（+），又由图象可得相位移为，=，=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），=2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交点坐标为（4k+）或（4k+）（kZ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）（2002全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）解析：C；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线

24、知应选C。（如图2）题型4：三角函数的定义域、值域例7（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函数的定义域为xx2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为xx（2k，2k+），kZ。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例8（20

25、03京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kZ，所以f（x）的定义域为x|xR且x，kZ，因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x）。所以f（x）是偶函数。又当x（kZ）时，f（x）=。所以f（x）的值域为y|1y或y2。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型5：三角函数的单调性例9求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。分析：（1）要将原函数化为y=sin（x）再求之。（2）可画出y=|sin（x+）|的图象。解：（1）y=s

26、in（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。例10（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A2k，2k（kZ）B2k，2k（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k（kZ）解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。题型6：三角函数的奇偶性例11判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。分析：判

27、断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系。解析：定义域为R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。例12（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立。答案：，k（kZ）；或者，+k（kZ）；或者，+k（kZ）解析：当=2k，kZ时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1），kZ时f（x）=sinx仍是奇函数。当=2k+，kZ时，f（x）=cosx，或当=2k，kZ时，f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分