声学基础习题课一二章题

1、声学基础习题课2014/10/22 0.5 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时1-18、试求当力学品质Qm |t 0 0， |t 0 0刻，试解的结果。d 2d Km 0解：质点衰减振动方程为： Mm+Rmdt 2dt e jrt 设，带入方程有：r +jr 0220 0.5 ，即 0 由于 Qmr j 22解得：0则： r j j 2 20 0.5 (0 ) 0.5 (0 ) （2）、Qm注：两种情况（1）、QmQm 0.5 (0 )（1）、当 j j 2 j j 2 22此时，方程有两根：r，r1020则解的形式为： A e 02 t22 t2 jr tjr ttA eB eeB e00

2、12 |t 0 0 ， |t 0 0带入初始条件0：A ，B 2 2 222200e 220 t22所以：B e tte0Qm 0.5 (0 )（2）、当 r2 j此时，方程有两重根： r1d 2d+2 02则此时方程为：dt 2dt两边同时Laplace变换：s s 0 0 2 s s 0 2s 0s20s 0 |t 0 0， 0 | s ： 带入初始条件t 002则： t te t0注意：结果（2）即为结果（1）中0 无限逼近于 的情况；对结果（1）Taylor展开并忽略高阶小量即得到结果（2）。1-28、有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：Fa Apa

3、，其中A为常数，pa 为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解： MKmmR2mme jtF F1-33、设有作用于质量块 Mm的主动隔声系统，有一外力上，010试求传递在基础上力 F与 F0的振幅比。提示：作用在基础上力 F 应由弹簧Km 的弹力FK 和阻力FR所解：以质量块 Mm 为对象列运动方程如下：d 2dKm F10ejtMm+Rmdt 2dt其稳态解为： jt jt F10 ZmjF1002 02 eeZm jt jF10 RF

4、10 K02 F K R e所以： ZmZmF10 Zm R2 2K 2F则：2z1 Q R22FK 2m 2记为：D故： ZFF z 1 z2 210m Qm2 MKK0m ， Mz ，Q m R2m ，Z其中：m0mmmRM0mm隔声中位移传递比D 与主动隔声中力传递比 DF 表达式相同。(见P36)注意：2-3、长为l 的弦两端固定，在初始时刻以速度 0 敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：两端固定的弦的振动位移表达式为： x, t Cn cosnt Dn sin nt sin kn xn1注：初始各处速度不同。由题得，初始条件为： x, 0 0 200 x ,0 x l2l x, 0

5、 l 20 xl x , x l l2l2 2l x, 0 sin k x dx 0则： Cnnl02l x,0sin k x dxD nl0n0n2 l x2 x l222sin k x dx ll0 sin k x dx0lllnnl02nn l2l40 x cos kx sin k1 l cos k xx nl 2nnkkk 0 l2nnnnsin k x l88 l k l k l 1x cos kx n 0 sin=0sin n 2 n 2nk l n3 3c2 2kkn l2nnn80ln3 3c80ln3 3csin n sin n t sin n故： x, t n1sin t

6、sin k x k lx sinnnn22clln12-4、（上接2-3题）试证明外力传给弦的初动能等于弦作动振动时所有振方式振动能的总和。解：弦的初动能为：Ek 2 2l 22 l2l2l x dx2 dx l2x,0 dx 20l 0 x 2 l00 l206弦振动时的总能量为：2 c 2n c n c 22 l2 2222222 2 l 06 6c216 2l l 42k 00062k 144496故：Ek Es ，得证 1n2 p附：关于级数求和。n12 2 p2 2 p!1Euler在1755年给出了求和公式： 1p1 B2 pn2 pn1B 1p 2B其中， 2 p 为数；当时，4

7、302 4 411n1 1则有：2 4! 30 904n111n1k 1k 1又因为：444n2k 12k1 15 4 41 1n4116则有：2k 14k 4169096k 1n1k 1详见用柏努利数表达级数sum from n=1 to 1/(n2p)的求和公式 _2-21、求解周界固定的矩形膜作振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2， 试计算最小四个泛频与基频的比值。2 2 1 2解：膜的振动方程为：x2y2t 2c2注：膜的横振动即弦的横振动从一维推广到二维，同样利用分离变量法（驻波法）求解。首先分离变量，设位移为： x, y, t X xY y T t 2 X x2Y

8、 y 2T t c2c21Y y T t t 2代入振动方程：2y2，t 均无关的常数，设为 2 。x ，y都成立，故等号两边同时等于一个与x，y，t对任意2 X x2Y y 即：2c2c2则有： x 0 2Y y y22Y y 2c 2 1 T t ; 2 2 y Y y 022 2xyT t t 2y22T t c2T t 0c2 2t 2解得： X x A1 cos kx x B1 sin kx x Y y A2 cos ky y B2 sin ky y x |xl 0边界条件：xY y | 0 ; Y y | 0y 0y lyt B3 sin t TA A 0 ; k n ，n 1, 2, 3 ; k m ，m 1, 2, 3 带入边界条件：12xyllxy x, y, t X xY y t 综上：xy2 m n 2 c k 2 c k 2其中：xyll x yn 则其简正振动方式为：初始条件有关。2 m n 2c则其简正频率为： f22 l l xy12m2cn 1, 2, 3 ; m