cad cam实验报告 贝齐尔曲线曲面的生成方法

1、CAD/g技术实验报告学院：学赛：机电工程学院 姓名:：机电10-01班 学承：高延良学号：541002010111实验三 贝齐尔（Bezier ）曲线曲面的生成方法实验类型：综合型、目的与任务目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法 和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。二、内容、要求与安排方式1、实验内容与要求：贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P （t） =EBi,n（t）Q （i）和几何作图法；要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。2、实验安排方式：课外编写好程

2、序清单，按自然班统一安排上机。三、实验步骤1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。四、实验要求在规定的时间内完成上机任务。必须实验前进行复习和预习实验内容。在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。完成实验报告一份。五、试验具体内容1， Bezier曲线的描述在空间

3、给定n + 1个点P0 ,P1 ,P2 , ,Pn ,称下列参数曲线为n次的Bezier曲 线。P（t） = 6nt = 0PiJ i ,n (t) , 0 Wt W1其中J i ,n (t)是Bernstein基函数,即B i ,n (t) = n ! / i !(n - i) *t(1-t);i = 0 ,n一般称折线P0P1P2 -Pn为曲线P(t)的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 ,Pn为 P(t)的控制顶点。在空间曲线的情况下，曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t)和控制顶点 Pi = (Xi ,Yi ,Zi)的关系用分量写出即为：X(t) = 6ni = 0X

4、iJ i ,n (t)Y(t) = 6ni = 0YiJ i ,n (t)Z(t) = 6ni = 0ZiJ i ,n (t)当t在区间0,1上变动时，就产生了 Bezier曲线。若只考虑x和y，就是平面上 的Bezier曲线。以三次Bezier曲线为例,它可用矩阵形式表示如下：P(t) = t3 t2 t 1-1 3 - 3 13 - 6 3 0- 3 3 0 01 0 0 0Q(0)Q(1)Q(2)Q(3)0 Wt W1Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下性质：当t = 0时,P(0) = P0 ,故P0决定曲线的起点，当t = 1时,P(1) = Pn ,故Pn决定曲 线的终点

5、。Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 Bezier曲线P(t)在P0点与边P0P1相切，在Pn点与边Pn- 1Pn相切。Bezier曲线P(t)位于其控制顶点P0 ,P1 ,P2，,Pn的凸包之内。Bezier曲线P(t)具有几何不变性。Bezier曲线P(t)具有变差缩减性。Bezier 曲线的 de Casteljau 算法Paul de Casteljau发现了一个Bezier曲线非常有趣的特性,任何的Bezier曲 线都能很容易地分成两个同样阶次的Bezier曲线。如图1所示，当P0 ,P2固定，引入参数t,令P0P10P10P1P1P11P11P2P10

6、P20P20P11的比值为t : (1 - t)，即有：P10= (1 - t) P0 + tP1P11= (1 - t) P1 + tP2P20= (1 - t) P10+ tP11t 从 0 变到 1 ,第一、二式是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：P20= (1 - t) 2P0 + 2t (1 - t) P1 + t2P2当t从0变到1时，它表示了由P0、P1、P2三个控制顶点形成的一条二次 Bezier曲线。并且表明:这个二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点 (P0 ,P1)和后两个顶点(P1 ,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推,

7、由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0 ,P1 ,P2)和 (P1 ,P2 ,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n + 1)个控制点Pi (i = 0 ,1 ,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定 义的两条(n - 1)次Bezier曲线P0n- 1与P1n- 1的线性组合：Pn0 = (1 - t) Pn- 10 + tPn- 11 t e 0 ,1 由此得到Bezier曲线的递推计算公式：Pki = Pik = 0(1 - t)Pk- 1i + tPk- 1i+1 k = 1 ,2 ,n ,i = 0 ,1 ,

8、n - k这便是de Casteljau算法。用这一递推公式,在给定参数下，求Bezier曲线上 一点P (t)非常有效。上式中:Pi0 = Pi是定义Bezier曲线的控制点,P0n即为曲 线P(t)上具有参数t的点。这一算法可通过简单的几何作图来实现，给定参数t e 0 ,1 ，把定义域分成长度为t : (1 - t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执 行同样的定比分割,所得分点就是第一级递推生成的中间顶点Pi1 (i = 0 ,1 ,n- 1)，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2 (i = 0 ,1 ,n - 2)。重复进行下去，直到n级递推得

9、到一个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。当t = 1/ 2时，从(2)式可知，求Pik只需进行加法和除2运 算,在计算机内除2运算只需右移1位，计算速度快。所以通常取t = 1/ 2最方便, 即每次求得Bezier曲线的中点。如图2所示，有0 ,1 ,2 ,3四个控制点，计算每条线的中点01 ,12 ,23，再得中点 012 ,123，最后得到的中点0123即在曲线上。四个控制点0 ,01 ,012 ,0123又定义 了左边的曲线，四个控制点0123 ,123 ,23 ,3又定义了右边的曲线，重复对左右的两条曲线再进行定比分割,多次进行定比分割后，就可以用直线段代替曲线段3 。PiPl

10、P.图2 de Casteljau算法的几何作图(t = 1/ 2)六、贝齐尔(Bezier)曲线德卡斯特里奥的递推算法程序清单#include#includevoid main()int i,j,k,f,u,d,n,m,w,g,h;char c1;i=0;j=1;k=1;w=1;g=1;h=1;f=1;u=1;d=1;printf( please input n number:n);scanf(%d”,&n);for(i=0;i=n;i+) for(g=1;g=n;g+)f=f*g;for(h=1;h=i;h+)u=u*h;for(w=1;w=(n-i);w+)d=d*w;m=f/u/d;printf(%d,m);f=1;u=1;d=1;for(j=1;j=i;j+)printf(t);for(k=1;k=(n-i);k+)printf(1-t);printf(Q(%d),i);if(i=n)break;else printf(+);七、运行结果八，MATLAB曲面生成程序：th,r=meshgrid(0:5:360)*pi/180,0:.05:1); % 在极坐标系下设置一个 73X21 的网格矩阵，一X,Y=pol2cart(t