全国高中物理竞赛稳恒电流专题

1、稳恒电流【知识点】1、电流和电流密度定义：电流（I ）指单位时间内通过导体任一截面的电量，即Idqdt电流密度(J ) ，通有电流的导体中，每一点电流密度大小等于通过该点单位垂直截面的电流，电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，即dIendS2、电阻定律金属导体的电阻是由它的长短、粗细、材料和温度决定的，其数学表达式为LRS式中 L 为导体的长度，S 为导体的横截面积，为导体的电阻率。在强度变化不大时，金属电阻率与温度的关系近似为0 (1t)式中0 是这种金属在0时的电阻率，叫做这种金属的温度系数。3、电动势定义：电源内单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功，其表达式为Edl

2、K式中， E K 为单位正电荷反受到的“非静电力”，又称作“非静电性场强”，因电源外部E K0 ，电动势定义又可表示为EK dlL4、欧姆定律及其微分形式流过一段导体的电流强度I 与导体两端的电压U 成正比，跟导体的电阻R 成反比，数学表达式为IUU I R或R其微分形式为 jE ，为电导率。5、电功和电热电流在电路中做的功叫电功，电功的实质是电场力做功，因此有WqUItUUIt导体中通过电流时会有热量放出，英国物理学家焦耳通过实验得出导体放热的经验公式，即焦耳定律为QI 2Rt6、含源电路的欧姆定律如图（ 1）所示含有电源的电路，称为含源电路。 假设电流从a 到 b ，沿着电流方向， a 、

3、两点间的电流、电阻以及电动势有如下关系：U a1Ir1IR2Ir2U bIRaba 、 b 两点间的电势差1 r12 r2U a bU aU b12I1rI2 r I R图 (1)( i )I( iR i )上式是含源电路欧姆定律的一般表述。7、闭合电路的欧姆定律对于如图（ 2）所示的闭合电路，仍可沿用含源电路的欧姆定律，整个回路的电势升、降总和为零。即1Ir1IR2Ir20I(i )aRb得I121r1r2r1Rr2Ri2图（ 2）上式即为闭合电路的欧姆定律。8、基尔霍夫定律第一定律：对于电路中任一节点，电流的代数和为零，若规定流入为正，流出为负，则有I i0 。第二定律：对于电路中任一回路

4、，若规定沿回路绕行方向电势降落为正，电势上升为负，则有Ei I i Ri0 。I 3B9、惠斯通电桥R3Rx如图（3）所示的惠斯通电桥是实验室测量电阻的方法。AI xG图中 R1、 R2、 R3 、 Rx 分别叫电桥的臂，Rx 为待测电阻，I 1CR1R2G 是灵敏电流计。当闭合K 后，调节可变电阻R3 使电流计I 2DG 中的电流为零时，BDI 1I 2，I 3 I x，K、 为等势点， 这时I1R1 I3 R3I 2R2I xRx ，由这些可得 RxR2R3 R1 。图（ 3）10、补偿电路补偿电路是一种比较精确的测定电压、电动势、电阻、电流的仪器，用于测电动势、电压时叫电势差计。如图（

5、4）所示， E 是供电电源，ES 是E电动势已知的标准电池，EX 是待测电动势的电池。测量时，RAB先将 K 合向触点 1，调节滑键 C 的位置，使 G 表示数为零，C这时 U AC ES ，再将 K 合向触点G 表1ES2，调滑键位置，使KG示数也为零， 则 U ACEX ，设滑键两次到 A 的距离分别为 l2EX和 l ，则 U AC U ACl l ，故可得图（ 4）EXl ESl11、金属中的电流金属导电是电子导电。在金属导体两端加上电场后，电子在热运动的基础上获得与电场反向的加速度，因而会定向运动，定向运动的平均速度为平均漂移速度。设自由电子平均漂移速度 u ，电子数密度为n ，导体

6、截面积为S ，则导体中的电流密度j 和电流强度 I 分别为jneuIj SneSu12、液体中的电流液体导电包括电解质的水溶液或熔融电解质导电，以及液态金属导电。前者是离子导电，后者是电子导电。法拉第电解第一定律：电解质导电时， 在极板处析出物质的质量m 与通电时间 t 和电流强度 I 成正比，或者说与通过电解液的电量q 成正比，即mKItKq式中 K 是比例恒量，称为电化当量，单位是kg C 。法拉第电解第二定律：物质的电化当量K 跟它的化学当量M 成正比，即mMKFn式中 F 为法拉第恒量，对任何物质都相同，数值为F9.6510 4 C mol 1 。将上式代入法拉第电解第一定律的表达式中

7、，可得mM qMFn当 mq 。故 F 在数值上等于析出质量为化学当量的物质时所需的电荷量。时， Fn13、气体中的电流在通常情况下，气体是不导电的，但由于某些原因气体中的分子发生了电离，它便可以导电， 称为气体导电 （或气体放电） 。气体导电可分为被激导电（在电离剂作用下的导电）和自激导电（没有电离剂作用，在高压作用下的导电）。常见的自激导电有辉光放电、弧光放电、火花放电、电晕放电。14、半导体的导电特性导电能力介于导体和绝缘体之间的一类物质称为半导体。半导体导电的载流子，有电子，也有空穴。根据空穴浓度和电子浓度的大小，半导体分为P 型半导体和N 型半导体。【例题】1、 7 个电阻同为R 的

8、电阻网络如图（1.1）所示，试求A，B 间的等效电阻。解析：如图 （ 1.1）所示， 已设电流I由 A 点流入， B 点流出， 网络中分布电流I1、I2、I 3 、I 4 和 I 5 。因对称性，有：I 4I 2 ，I 5I 1RR I 4BORI2 II 32RI3BRRRRI 1I12RAARI2R I 5I 2 RI 1I图（ 1.1）图（ 1.2）再利用串联等效电阻公式，可将原网络简化为图（1.2）所示的等效网络。根据分流思想，有：I 2II1I3I 2I 1I 2I1据两点不同路径等压思想，图（1.2）中 A,O 间电压无论取电流 I1 流经电阻 2R 的短路径，还是取电流 I 2

9、（即 II1 ）流经电阻 R 及电流 I 3（即 I2 I1 ）流经电阻 R 的长路径，都有相同的值，因此I1( 2R)(I I1)R(I 2I1)R解得I12 I5取 AOB 路径，可得 A， B 间电压U ABI（12R） ( I I1) R7 IR5A，B 间的等效电阻变为RABU AB7 RI52、滑动变阻器常用来限流和分压，其原理电路分别如图（2.1）和图（2.2）所示。已知电源端电压为U （内阻不计），负载电阻为R0 ，滑动变阻器的全电阻为R ，总匝数为N，AC 段的电阻为 RAC 。AUUICR0ACBBR0图（ 2.1）图（ 2.2）（ 1）在图（ 2.1）中，当滑片C 移动时

10、，电流I 的最小改变量I 为多少？（设变阻器每匝阻值R0 ）（ 2）在图（ 2.1）中，为使在整个调节范围内电流I 的最小改变量I 不大于 I 的 0.1%，滑动变阻器的匝数 N 不得小于多少匝？（ 3）在图（ 2.2）中，滑动变阻器的额定电流I e 不得小于多少？（ 4）在图（ 2.2）中，设 RR 。证明：负载端电压 U 与 RAC有简单的正比关系。0解析：（ 1）如图（ 2.1）可知IUR0RAC设滑动变阻器每匝电阻为R ，那么滑片C 移动一匝，电流变为IIURACRR0U（ 1）( R0RAC )(1R)R0RAC利用当 a1时有 (1a)n1na，上式可化为IIU(1RRACR0)R

11、0RACIURRAC )2( R0因为RRN（2）所以 IUR（3）RAC )2N(R0始终负号表示当RAC 增大时，I 减小。（2）由（ 1）式和（ 3）式得IRIN (R0RAC )可见当 R0 时，I I 值最大， 只要此时按变阻器的匝数能满足题给要求，则在整AC个可调范围内都能们组题给要求。当 RAC0IR（ 4）时，有NR0I题意要求I1000I因而 NR1000R0（3）设图（ 2.2）外电路的总电阻为R外 ，则R外 R RACR0 RACRRAC2R0RACR RACRRACR1RAC不难看出，当 RAC 增大时， R外 减小，电路总电流I 随 RAC 的减小而增大。 因此当 R

12、ACR时，滑动变阻器最右边那一匝将承受最大的电流I maxU(R0 R)UR外R0R这就是要求滑动变阻器的额定电流I e 。负载上的电压UUR0 RACR0 RACR0RACRRACR0RACURACRRACRACRACRAC11RR00当 RR时， RRAC，故有：00UURACURACRRACRACR即URAC3、如图（ 3.1）所示电路中 C14.710 3F, C2 9.410 3F,R1 5K , R2 1K ,E 6V,内阻不计，先合上K1 ，经过一段是家里后再合上K 2 ，在 合上 K 2 的过程中，通过 K2 的电量为多少？解析： K2 合上前， C1 、C2 串联， K2 合

13、上后， C1 与 R1 并联， C2 与 R2 并联，电容器 C1 、C2 带电量发生变化，变化量之和即为通过K 2 的电量。仅合上 K1 时，C1C2BU ABC2E9.44(V)6K2C1 C24.79.4U BCEU AB2(V)AR1DCR2U ADR1E5 65(V)K1R1R26U DCEU AD1(V)图（ 3.1）因为 UABU AD ，合上 K 2 后， C1 电压升高，充电； U BCU DC ,合上 K2后， C2 电压降低，放电。电容器C1 增加的电量、电容器C2 减少的电量分别为QCU4.710 3 (C)11Q2C2U9.410 3 (C)因此通过 K 2 由 B

14、点流向 D 点的正电荷的电荷量QQ1Q21.41 10 2 (C)4、在如图（4.1）所示，非平衡电桥总，若电源电动势E 1.5V ,电源内阻 r0 0.1，r1 1 ， r2 1.6， r3r52 ， r4 1.2。试求电流及各分支电流。BBI 2rr1r2rAACCr3r5r4ADrDI 4DEr0图（ 4.1）I图（ 4.2）解析：图（ 4.1）中结点 A、B、D 联接成一三角形电路，可将它变换成星形电路。经过变换后的总的电路图如图（4.2）所示。其中rA 、 rB 、 rD 分别为rAr1r30.4()r2r1r3rBr1r50.4()r3r5r1r3r50.8()rDr3r5r1则电

15、路的等效电阻为：rr0rA(rBr2 )(rDr4 )rBr2rD1.5( )r4总电流IE1(A)r因为rBr2rDr42( )故I 2I 4I / 20.5(A)为了确定电流强度I 5 ，可假设 C 点接地，则它的电势C 0,而 B 和 D 点电势分别比 C点的电势高出压降r2 I 2 和 r4 I 4 的数值，即BCr2 I 20.8(V )DCr4 I 40.6(V )因为B D，故在BD 段，电流 I5由 B点 流向 D 点，且I 5BD0.1(A)r5又从图（ 4.2）可知， I1I2 I50.6(A)I 3I4 I50.4(A)5、如图（ 5.1）所示，已知电池组的电动势为E=1

16、0V ，内电阻为 r=0.5，每个电阻均为 R=5 ， n 为有限值。（ 1）C、D 间应接入多大的电阻 Rx ,才能使电源AEC的输出功率跟 n 的具体数值无关？并求此时的输出12nR功率？（ 2）如果要使电源输出功率最大， 各电阻 R 的BFD值应为多大？ （设 Rx 与 R 满足（1）中求得的关系。 ）图（ 5.1）解析：（ 1）由对称性可知1、2、, 、n 各点均为等势点，其间连接电阻可抹去，这样REFRx2R(2 RRx )2R (2RRx )得(5 1)RxR所以RA B R x 5 ( 5 1) ( )由IErRABIRAB得 P出 IU 13.85W()（ 2）当 RABr 时

17、， P出有最大值，这样RABRx(51)R 0.5( )所以R51 ()86、 14、在封口的毛细管内有两段水银柱，它们被一小水滴HgI 2 电解质溶液隔开，如图（6.1）所示。毛细管的内径d=0.03mm, 管子与电阻R390的电阻器串联，再接到电动势 E=10V 的电池上，试问经过多少时间液滴沿标尺移动一个刻度。解析： 在电解质液里，电流流动与物质的迁移有关，本题中在阴极上发生还原反应，从电解液中还原成金属水银；而在阳极发生氧化反应，水银被氧化，即转化为电解液。根据法拉第电解定律，在时间 t 内在阴极上析出水银的质1cm量为m1 M ItF nRE因为金属水银、电解液和电源内阻与R 相比小

18、得多，所以电流等于E图（ 6.1）IR在阴极上析出水银以及在阳极上水银的溶解导致一小滴电解液朝阳极方向移，液滴移动距离 L 与阴极上析出的水银的质量显然有如下关系d 2 l 4由此得电解液滴移动距离L 所经过的时间td 2 Fn RL4ME将有关数据以及L=1cm 代入，得到t=100(h)7、如图（7.1）所示。 R112、R210、R311、R450、R52、R61、R7R8R912，现有 8 个电动势为2V 、内阻为 0.55的电池。问他们如何组成电池组后和 A 、 B 连接，才能是电源的输出功率最大？DDR1 R7R4R2R1R4R2RRE9RFO RRRR8C56R5R6AR3BAR

19、3B图11-62图11-63图（ 7.1）图（ 7.2）解析 对原电路中内部的三角电路进行-Y 变换，得到如图（7.2）所示的电路图。RER7 R912124R8R912 12R712RF RCRE4R1R2再对图（ 7.2）中的电路进行分析，发现有R5 RFR6 RBR112A2R5RF24R3R2102图（ 7.3）R6RC14图11-64因此除 R3 外的电路构成一平衡电桥，所以当A 、B 间接上电压时， D、 O 的电势相等，所以可以去掉 R1 、 RE 。因此图（ 7.2）可等效成图（7.3）。1111RABR1R2R5RFR6RC R31111210244111所以RAB4.4将全

20、部电池串联，其总阻r0.5584.4()此时与 A 、B 连接，可使电源的输出功率最大Pm(8E)2RRr(82)24.44.44.414.5(W )8、三只容量同为C 的相同的电容器，互相串联后接到电动势为E 的电源上。充完电后与两只阻值为R 的电阻接成如图（8.1）所示的电路。求：（ 1）每只电阻上释放的热量有多少？（ 2）当中间一只电容的电压减小到E 10时，流过电阻 R1 的电流为多少？解析 三只电容器充电完毕后，每只电容器的电压为E 3，所带电量为1EC 然后用,3电阻连接，如图（8.2）所示。由于对称性，C2 上的电荷将均匀的和C1 、 C3 上的电荷中和。RaR1bCCCC1C2

21、C3RR2图（ 8.1）图（ 8.2）(1)开始时，电阻R1 上的电压U ab112EEE333注意到通过 R1 的电荷量为 q 时， C2 上流出的电荷量为2q,由此引起 R1 上电压的改变量U2qq3qCCCU ab故得U ab2 E3qE23C3作出 U ab q 图线（图8.3），这是一条直线，与q 轴的交点表示通过 R 的总电荷量，因为此时 Uab0 ，电荷将不02CEq19再流动。 显然，由电场力做功Wq U 可知，电阻 R1 上图（ 8.3）产生的总热量 Q 就等于图（8.3）中直线下的面积Q12 E2 CE2 CE223927(2) 在 C2 上板的正电荷流出的过程中，C2 的

22、电压会降至E 10 。但要注意的是，C2 放电完毕之后， C1 、 C3 尚未放电完毕，它们上板的负电荷还要流到C2 上板上来， C2 的电压还有可能第二次达到E 10。三只电容最后的稳定电压是UCE 31 E3C9因为 1E1 E ，所以 C2 上确实有两次可达到 E 10。910第一次达到 E 10时，从 C2 上板流出的电荷量q2( 1 E1 E)C7 EC31030这些电荷量的一半与C3 上的电荷中和，C3 上尚存q31 EC7 EC13 EC36060因此，此瞬间 R1 两端的电压U 1(11319E) E106060R1 上的电流i1U 1R119 E60R第二次电压反向升到E 1

23、0 时，从 C2 上板流出的正电荷为1 EC1 EC13 EC31030C3 上尚存的电荷量为1 EC13 EC7 EC36060R1 两端的电压U 1( 71 ) E1E601060此瞬时 R1 上的电流i1U1ER60R9、欲测电阻R 的阻值， 现有几个标准电阻，一个电池和一只未经标定的电流计，联成如图（9.1）所示的电路。第一次与电流计并联的电阻r 为 50.00，电流计的示度为3.9 格；第二次 r 改用100.00，电流计的示度为5.2 格；第三次r 改用10.00，同时将待测电阻R 换成阻值20.00K的标准电阻，结果电流计的示度为7.8 格。已知电流计的示度与多通过的电流成正比，

24、求电阻R 的阻值。RAr图（ 9.1）解析不妨假设电流计上每格代表的电流为I0，电流计的内阻为rg，电池的电动势为E，则第一次分流电阻为r1 =50.00时，干路电流为I13.9I03.9I 0 rgr1EI 1R 3.9I 0 rg所以3.9I 03.9I 0rgR3.9I 0 rgr1E3rgR3rg（ 1）整理得3501.3I 0同理对第二次测量结果有E5.2I 05.2I 0rgR5.2I 0 rgr2E4rg即4R4rg（ 2）1.3I 0100对第三次的测量结果有E7.8I 07.8I 0 rg R7.8I 0 rgr3即E66rg2 0 0 0 0 rg 6(3)1 01.3I0

25、由（ 1）（ 2）两式可得33rgR3rg44rg R 4rg50100解得rgR50()R150由（ 1）（ 3）两式可得33rgR3rg63rg20000 6rg（ 5）505将（ 4）代入（ 5）解得R=120 （K）10、图（ 10.1）所示电路中R1 是阻值为1.0K且阻值不随温度改变的标准电阻，电源电动势为7.0V,其内阻可不计。图（10.2）中实线是电阻R 的伏安特性曲线，电路周围的环境温度保持t0=25C 不变，电阻R 散热跟它与环境温度的关系是，温差每相差1 C ，放热610 4 J s 1 K 1 .求：（1）调节 R2，使 R1 与 R2 消耗的电功率相等，这时R 的温度

26、是多少？（2）当 R2 =0 时， R 上的电压和R 的阻值各是多少？RU V4R2R132E1012345I mA图（ 10.1）图（ 10.2）解析 （1）因 R 与 R1串联且电功率相同，则由 PI2R和RR11k，由 RU 查电I阻R的UI 图，得此时 R 上的电压对应值为3V ，I 3 10 3A ,故 R 上每秒放热为U V4QI 2 R 9 10 3 J/s32设 R 的稳定温度为t，则 R 与环境的稳定温差为1tt0 15（）01234 5I mA图（ 10.3）即得t= 40（）（ 2）设 R2=0，电路中电流为I，则电阻R 两端电压为UE URIE IR17 1000IR

27、上的 U、 I 值既要满足曲线关系，又要满足上式，故可以在图（10.2）上做满足上式得 UI 曲线，如图（ 10.3）所示，得U R 3.4(V) , I R 3.710 3 (A)则RU R940( )I R11、如图（ 11.1）所示， 12根电阻均为R 的电阻丝连接诚征六面体框架，在2 根电阻丝中连有电动势分别为E1 和E2 的电源，另外5 根电阻丝中连有5 个相同的电容器C。设电源正、负极之间的距离可以忽略，内阻也可忽略，且E12I0R ， E2I 0R。试求：（ 1）图中棱AB 中的电流IAB ；(2) 图中棱 A B 中电容器极板上的电量 QAB .ABX1E1 Y1X1RARX2

28、CCRRRX 2E2Y2E1E2CCACBY1R BRY2图11-83图11-84图（ 11.1）图（ 11.2）解析：（ 1）为计算 I AB 可将图中含电容的部分拆去，得出只含电阻和电源的电路，如图（ 11.2）所示。在图（ 11.2）所示的电路中，运用电流迭加原理。只有 E1 存在时（即取走E2，因其无内阻，可短接）流过AB 的电流为I AB(1)E15R同理，只有E2 存在时，流过AB 的电流为I AB(2)E25RI ABI AB (1)I AB(2)故1(E1E2 )5R1(2 I0R I0R)3 I05R51(2)将图（ 11.2）电路中的R 替换为C， I 替换为 Q，得出的电

29、路如图（11.3）所示，这两个电路完全可以类比，因此相应的 X1Y1 电压， X2Y2 电压以及 AB（图（ 11.3）对应为 A B ）电压均应相等，即U AB11I ABR(E1E2) U AB QAB5CE1E2得QA B15C注意，图（ 11.1）中与电容有关的电路如图（11.4）所示，与图（ 11.3）电路有区别，少了两个电容，但因图（11.4）中的 U X 1Y1 ， U X 2Y 2 与图（ 11.3）没有区别，故 U A B 也应没有区别，于是仍有QAB E1E2C (2I0R I0R)3 I0RC5155C1111X1CACX 2X1 CACX 21111CCU X1Y1UX

30、2Y2CCE1E2Y11B1Y2Y11 B1Y2CCCC图（ 11.3）11-85图（ 11.4）图 11-8612、如图（ 12.1）所示，电路中电流表示数为10mA ，电压表示数为2V ，当电阻器与电压表分开， 同电流表并联后，电流表示数变为2.5mA 。电池内阻不计，试问根据这些数据可以确定电池的电压、电阻器的电阻、两个电表的内阻，这些物理量中的哪些？解析本题涉及到不定方程组求解的问题，求解时应结合观察、计算、论证、才能找到问题的答案。在第一种情况中，如图（12.1）所示，由欧姆定律有EU1 I1RA(1)U 1U1I1(2)RXRVRAI ARVAVEU1I 2ERV VRxRA AR

31、x图（ 12.1）图（ 12.2）在第二种情况下，如图（12.2）所示有E I2RA ( I2RAI 2 )Rv（ 3）Rx以上（1）（ 2）（ 3）式是所有可以列车的独立方程，但是其中包含了E 、 Rx 、 RA 、 Rv ，个未知数，由不定方程组理论知最多能解出两个未知数。将 I110， U12 ， I 22.5代入，由（ 2）有5Rx RvRxRv联立（ 1）（ 3），经化简有2.5Rv Rx 2.5Rv RA 2Rx 7.5RA Rx（ 4）将第一项用（4）的结果代入，有0.5RV0.5Rx2.5RV RA2Rx 7.5RA Rx （ 5）即得RV (15RA )3Rx (15RA )

32、故RV3Rx（ 6）由（ 4）（ 6）联立，即可解得40. 27(K，)RV4Rx0.8(K )155而 RA ，E 是不可确定的。说明细心的读者可以发现，只要给出U1 、 I1、 I2 三个量， RV 、 Rx 总是可以确定的：RVU1, RXU 1。I 2I1I 213、( 第十六届全国中学生物理竞赛复赛题) 六个相同的电阻 （阻值均为R ）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、 4、5 和 6，如图（13.1 ）所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1、D2、D3、D4 、D5 。图（ 13.1）图（ 13.2）现将的、 、三点分别与D的 、 、三点用导线连接，如图（）所示

33、。然D15613.223124后将 D3 的 1、3、5 三点分别与D2 的 2、4、6 三点用导线连接，依此类推。最后将D5 的1、 3、 5 三点分别连接到 D4 的 2、 4、 6 三点上。1证明全部接好后，在D1 上的 1、3 两点间的等效电阻为724R。6272求全部接好后，在 D5 上的 1、3 两点间的等效电阻。解析：（ 1）先将空间网络压缩为平面网络，如图（13.3）所示再将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点， 2、4、6三点为三边中点，如图（13.4 ）与图（ 13.5 ）所示整个连好的线路相当于把Dn 的三个顶点分别接到 Dn 1 的三个中点上。图（ 13.3）图（

34、13.4）于是图（ 13.3 ）变为图（ 13.6 ）这样第 1问归结为求图（ 13.6 ）中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。图（ 13.5）图（ 13.6）为使图形简化， 讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r 的电阻构成一个三角环， 将其顶点接在另一由六个阻值为R 的电阻构成的三角环的中点上（如图（13.7）所示）。图（ 13.8 ）是由六个阻值为 R 的电阻构成的三角环。若图（ 13.8 ）顶点 1、 3间的电阻与图（ 13.7 ）顶点 l 、 3间的电阻阻值相等，我们称图（ 13.8 ）中的 R 为等效单环电阻图（ 13.7）图（ 13.8）用符号“ / ”表示

35、电阻的并联，如RA/ RB1(1/ RA )(1/ RB )由图（ 13.7 ）中的对称性可知l 、 3两顶点间的电阻R1, 3 等于图（13.9 ）中 1、 0间的电阻 R1,0 的 2倍，即R1，3=2R1,02 R / /r / /(2 r )R /R1R /R图（ 13.9）2 11 1（ 1）Rr 2r1 r / / R3同理，图（ 13.8）中1、 3两顶点间的电阻R1, 3为R1, 32(2 R )/ R 4 R（2）3由（ 1）、（ 2）式得等效单环电阻R 为R3 R1 r / R（3）44现在考虑把D1 、 D2 、 D3 、 D4 、 D5 按相反的次序，由内向外依次连接的

36、情况首先将 D4 接在 D5 外面，求双环 D4D5 的等效单环电阻R (2)即（3）式中的 R 这时 r R 由（3）式得到 R (2) 为R(2)3R1R/R7 R448其次，在双环D4D5 外面接上 D3 ，这时 rR (2) 三环 D3D4D5 的等效单环电阻R(3) 为R (3)3R1R/ R (2)3R1R /7R13R4444815由此可得一般公式，( s1) 环的等效单环电阻R ( s1)可由 R( s) 求出R (s 1) 3 R1 R/ R( s)（ 4）44于是RR( 4 )( 5)31RR/ R4431R/ R44( 3)( 4)3 113974RR/RR4151123

37、1971814RR/RR4112209由（2）式 R1,3(4/3)R 得出由一个环（ D5 ）、两个环（ D5D4）直至五个环（ D5D4DD2D ）构成的线路1、 3点间的电阻为31R1,3(1)4R4R33R1,3(2)47R7R386R1,(3)3413R52R31545R1,3(4)497R97 R311284R1,3(5)4181R724 R3209627答：所求的五个环的1与 3间的等效电阻确为724R 证毕。627（ 2）根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性，D5 的 l 、3两点等价于 D1 的 2、4两点等价线路如图（ 13.10 ）与图（ 13.11 ）所示设二图等价，

38、求图（13.11 ）中的 R 即可图（ 13.10）图（ 13.11）R (2R)/(2 R(4) )1194 R1562092R97R所以R2,(5)4 R / 2R2 R388 R3627【训练题】1、有一无限大的导体网络，它是由大小相同的正六边形网眼组成，如图（ 1.1），所有六边形每边的电阻都为的电阻。2、证明图（ 2.1）中的 Y 形电阻网络与图（1I1I22R1R2R3I 33图（ 2.1）R ，求结点 a 、 b 之间dacb图（ 1.1）2.2）中的形电阻网络的等效变化关系为：1 I12R12I 2R31R23I 33图（ 2.2）R1R2 R R23RR3 1R1R31R12

39、R12R3R23R31R12R1 R2R2 R3R3 R1和R2R12 R23R23R1R23R31R12R1R2R2 R3R3R1R3R23 R31R31R2R23R31R123、用均匀电阻线作成的正方形网络如图（3.1）所示，由9 个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为 r8 。D（ 1）在 A B 两点间接入电池，其电动势E 5.7V，内阻可、B忽略，求流过电池的电流；（ 2）若用导线连接C D 两点，求通过此导线的电流（略去A、导线的电阻）。C图（ 3.1）4、电动势分别为E1 和 E2，内阻 r1 和 r2 的两个电池， 用一个电动势为E 和内阻为 r 的电池代替，分别如图（4

40、.1）和（ 4.2）所示，流过 R 的电流不变，并与R 无关。问， E 和 r 应随 E1、E2、 r1、 r2 怎样变化，如果开始不是两个而是n 个电动势分别为E1、E2、 En 和内阻为 r、 r、 r的电池，那么 E 和 r 的公式应是怎样？12nE1r1ErE2r2RR图（ 4.1）图（ 4.2）5、实验室有一个破损的多量程磁电式直流电流计，有 1mA 、10mA 和 100mA 三档。 由一个单刀三掷开关转换，其内部电路如图（5.1）所示，GR3 1mA电流计的表头已烧坏，无法知道其电特性，但三个精密R1R2分流电阻完好，且测得 R1=144 。现有两个表头A 和10mA100mAB

41、,外形都与原表头相同。 表头 A 的满刻度电流为0.2mA ，内阻为 660 ；表头 B 的满刻度电流为0.5mA，内阻为图图（ 511.1-36）。试问在保留分流电阻 R1、 R2 和 R3 的情况下，应该用哪个表头修复此电流计？如何修复？6、如图（ 6.1）所示，已知表头内阻Rg0 满篇电流为 I g0，改GR2R3R1装后电流表的三档量程分别为 I1n Ig0， I2n Ig0，12I3n Ig0，求分流电阻 R1 ，R2， R3。I 3I 2I13图（ 6.1）7、金属导体中的自由电子在外电场的作用下产生定向漂移运动。（ 1）被电厂加速的电子收到的阻力与速度成正比，即fkv ，从整体上

42、看，可以认为电子做匀速运动，是求出这个速度（设导体内场强为E）（ 2）在截面积S、长 L 的铜线的两端加上电压，产生稳恒电流。设每单位体积中自由电子数位 n，电子作匀速运动，受到的阻力与速度成正比，比例系数为k ，试求这根铜线的电阻。（ 3）电流会产生热，这可作如下解释：电流流动要反抗阻力，为了保持自由电子的匀速漂移运动， 需从外电场供给能量，这些能量变成了热。设 S=1.010 -6m 2 ，n=1.01029m 3 ，k =3.0 10 1710g s 1 ，问这根铜线中每秒产生多少焦耳的热量？设电子漂移速度为v=0.8010 4m s 1 .8、在 FeCl3 溶液中有直流电流通过时，阴

43、极板上铁的沉积速度为v（沉积速度等于每秒钟极板上沉积铁的厚度增加量） ，设阴极板面积为 S,试计算该通过多大的电流（已知铁的密度 ，铁的化合价 n，铁的摩尔质量M ，法拉第常数F）。D19、图（ 9.1）电路中， R1=R2=4000,R3 =2000，D1，D2 为理想二极管，电源电动势E=6V ，内阻不计，当RR2R31电键闭合时， 电源功率为多少？若将电源正负极对调，电D2源功率又为多少？EK图（ 9.1）10 、 用 长 为 l500m 的 细 铜 线 烧制 成 半 径 为 r25cm 的 线 圈 ， 线 圈 以 角 速 度300rad s 绕自己的轴线（垂直于线圈平面）旋转。一只用来

44、测量电量的冲击电流计通过滑动触点与线圈连接。整个电路的总电阻为R21。当线圈突然停止时，通过冲击电流计的电量为q10nC 。求铜导线内载流子的荷质比。11、一只电炉，加热元件是一根镍铬电热丝，此电热丝在20时电阻率为1.2 106m ，截面积S210L（升）水从 20加4501（ mm） 。电炉在 15 分钟内将热到 100。已知电炉所加电压为220V，电炉通电后温度达到 450，加热水的效率为 0.9 ，电热丝在 450时的电阻率为4501.6 10 6m ，水的密度为 d1000kg/m3 ，水的比热为 c4185J/kgK ，试确定：（ 1）电炉电热丝的长度（ 2）假定电热丝的电阻率与温

45、度的关系是线性的，求出电阻率温度系数，并画出20到 450之间电阻率与温度的依赖关系。（ 3）利用（ 2）中得到的曲线，画出电炉的功率随温度变化的关系。取下述温度：20,100,200,300,450（），画出功率温度曲线图。12、如图（ 12.1 ）所示，线路中各电阻阻值均为r ，求等效电阻RAB .DEBBADC图（ 12.1）13、由7 个阻值均为r的电阻组成的网络元如图（13.1）所示，由这些网络元彼此连接形成单向无限网络如图（13.2）所示，试求图（13.2）中P、 Q两点之间的等效电阻RPQ .rrrrrPQ图 11-6713.2图（11-6613.1）图（）图14、图（ 14.1）所示为由粗细、质地均匀的细金属丝连成的无限内接网络。已知金属丝单位长度电阻为R0，求等效电阻RAB 。ABC 为等边Ca三角形，内接三角形的顶点均为三角形各边的中点。aaaAaB图（ 14.1）图11-70