全国高中物理竞赛专题六机械振动与机械波训练题答案

1、1 一根未被固定的质量为 m 的匀质弹簧 ,在作用其一端的恒力 FF作用下沿光滑水平面运动 若将此弹簧一端固定在天花板上悬挂起来,则弹簧此时长度比运动时短如图所示,为使弹簧长度与恒力 F 作用下水平运动时相等 ,问在弹簧下端应挂质量M 为多少的重物？解：因弹簧有质量, 在恒力作用下,虽一端未被固定,仍会有伸长但由于弹簧各处张力不同,伸长也不均匀因匀质弹簧质量均匀变化 ,张力也均匀变化（线性变化）,其总伸长量相当于弹簧受到平均M张力 F 时的伸长量：2F（ 1）k l2弹簧竖直悬挂时 ,由于自身有质量 ,将有伸长 弹簧在自身重力作用下,弹簧中的张力时均匀变化的 ,各部分伸长也将均匀变化同样可以利

2、用平均张力mg 作用下计算伸长量：21 mgkl 2依题意 ,M 的物体后ll ,再加质量为如果伸长量变为l 则有关系：1 mgMgk l（ 2）2式（ 1）、（ 2）联立 ,得1FmgM2g2、悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳,绳长均为 l ,下面挂一质量为M 的光滑匀质薄平板平板中央有一质量为m 的光滑小木块开始系统处于静止悬挂状态,两绳互相平行如图（ a）所示 ,而后在两绳平面内给平板一个小的水平速度v0 ,此板即做小角摆动求小摆动的周期 （提示 ,当 很小时 ,有近似式 sin,cos1 12）2lmvMv0图（ a）图（ b）解：此系统在运动中,除重力做功外 ,气体外力均不做功,

3、 m 和 M 间的内力也不做功,所以系统是一个机械能守恒的保守系统又因为 m 和 M 间无水平力 ,所以 M 在摆动时 , m 只作上、下运动,而且 m 的上下运动速度与 M 的竖直运动速度分量相等M 在摆动中 ,由于绳长相等 , M 只作平动 , M 的运动可用M 上的一点代表 （刚体平动时 ,刚体上所有质点的运动状态相同）利用图（ b）写出系统在运动中的动能和势能系统动能为2Ek1 Mv 21 m v sin21 Mv21 mv2 21 Mv 21 Ml 2t222222此处由于摆动的角为小角度 ,所以略去2 项系统势能为EpMmgl 1cos1Mm gl 22系统的机械能 E 守恒2E1

4、Ml 2t1Mm gl222这个表达式与简谐振子的能量表达式相同,因此系统的小角度摆动是一个简谐振动而且振动角频率满足：2Mm glMm gMl 2Ml系统振动周期为T2MlMm g3、如图所示 , 弹簧振子系统中 M2kg, k 100N m, t 0 时 , x010cm, v00 , 在h 1cm 高处有一质量为m 0.4kg 的小物体下落,当 M 沿 xkmk轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M 上 ,且无反弹 ,试求此M后两物体一起运动的规律Ox0 x解：此题涉及的知识内容主要是动量守恒和简谐运动, 而 m从高 h 处下落到与M 发生碰撞的过程, 在该题中可以忽略不计因为粘合以后弹

5、簧的组合总是提供给物体系指向平衡位置的力, 所以我们可以判断两物体一起运动的规律是简谐运动简谐运动的频率、 初相我们可以较方便地得出, 解此问题关键在于粘合后的振幅的确定点则可以借助于动量守恒和能量守恒求解两物体粘合后仍做简谐运动, 从此时开始计时, 设其运动方程为, 这一x=Acost其中简谐运动的角频率为2km2005 30 rad sM2.43设粘合前瞬间 , M 至平衡位置速度为vm ,则1 2k x021 Mv m222vm2kx0221000.12解得M21 m s设两物体粘合后的共同速度为v0 ,则由动量守恒定律有MvmMm v0解得v0215m s2.46又因为12kA21 M

6、m v0222解得AM mv02.4530m2k200660又由题意可知 ,初始位移 ,初相 ,所以粘合以后两物体一起运动的规律为x30 cos530 tm6032、如图（）所示U 形槽置于光滑水平面上其质量为 M,一质量为m的物块用两根劲4a,xFkkfammfxFffaM图（ a）x0图（ b）度系数均为 k 的轻弹簧与 U 形槽相连接 ,系统初始静止 ,现作用一水平恒力F 于 U 形槽后 ,试求物块相对于槽的运动规律解：因为M 和 m 为连接体而且涉及到两根弹簧的组合,因为m 的运动是较为复杂的运动当然,我们可以初步想象到m 的运动可能为简谐运动,因此我们必须为此设想而开拓思路首先我们可

7、以确定一下m 静平衡的位置；然后以此位置来建立坐标,看其回复力或者加速度的表达式是否与简谐运动的回复力和加速的的表达式相符；最后 ,确定初始条件A 、 和1）先求振动体相对平衡的位置设在力 F 作用下 , m 与 M 无相对运动时 , m 离槽中央的距离为 x0 ,此时对整体 ,有amaMF（ 1）Mm对 m 有2kx0mam所以,有x0Fm（ 2）2 Mm k2）判断 m 相对运动为简谐运动 以相对平衡位置为坐标原点,建立图示 x 坐标 , m 在任意 x 位置时 ,受力 m 、 M 如图（ b）所示对 MF2k xx0MaM所以aMF2 k xF m（ 3）MM2 MM m对于 m ,设

8、m 相对滑槽加速度为ar,则2k x x0m aMar（ 4）由（ 2）、（ 3）、（4）可得mar2kMmMx令 k2k Mm ,故 m 相对滑槽的运动为简谐运动M3）设运动方程 x A cos t,下面确定初始条件由 t0时 , xx0 ,即 m 相对于槽未动 ,因而可得A x0Fm,02 M m kk 2k M mmMm因此 ,可得 m 相对于槽的运动方程FmMmxcos2kt2 Mm kMm5、如图（ a）所示 ,在水平桌面上的中心有一光滑小孔O ,一条劲度系数为 k 的轻而细的弹性绳穿过小孔O ,绳的一段系一质量为m 的质点 ,弹性绳自然长度等于OA 现将质点沿桌面拉至B 处（设 O

9、Bl ） ,并将质点沿垂直于OB 的方向以速度v0 沿桌面抛出 ,试求：1）质点绕 O 点转过 900 至 C 点所需的时间2）质点到达C 点时的速度及C 点至 O 点的距离解：沿 OB 、 OC 方向建立直角坐标系,设质点运动至任意位置r ,如图（ b）所示由牛顿定律,有maxf coskxmayf sinky可见 ,质点在 x、 y 两个方向均做简谐运动,平衡位置均为O 两者的周期均为mT2kv0O lA图（ a）时 ,加速度及受力yCayraxfOB x图（ b ）1）质点从 B 到 C ,质点在 x 方向运动的时间为T 4 ,有tTm42k2）因质点到达C 点时在 y 方向的速度为零,

10、因此 C 点的速度就是它在x 方向做简谐运动的最大速度 ,即vCvmaxllkm又因为 B、 C 两处机械能守恒 ,设 OCy ,因而有1mv21ky21mv21kl 22C2202解得yv0mk6、如图所示 ,质量为 M 的箱内悬一弹性系数为k 的弹簧 ,弹簧下端系一质量为m 的小球 ,弹簧原长为l0 , 箱内上下底间距为l 初始时箱底离地面高度为h ,并静 Mk止小球在弹力和重力作用下达平衡某时,箱子自由下落 ,落地时与地作完全非弹性碰撞设箱着地时, 弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等求lmh1） h 的最小值为多大？2）在 1）的条件下 ,当箱子着地后 ,小球不会与箱底碰撞的最小l

11、 值题中设 m M 解：箱子未下落时,弹簧伸长量l1 满足l1mg（ 1）k当箱子自由下落时,系统质心将作加速度为g 的自由落体运动由于箱子与小球质量相等,即 m M ,可以认为质心始终处于弹簧中点在质心系中由于质心加速引起的惯性力与重力平衡 ,因此 m 和 M 均在质心系中只受弹簧弹力作用m 和 M 均在半根弹簧作用下相对质心做简谐振动 ,对应得弹性系数均为k12k（ 2）振动周期均为2ml1（ 3）T22k12g这里已利用式（1）箱子着地时 ,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等,说明下落过程中, m和 M 均经历了n（自然数）个振动周期,即tn nT ,( n 1,2, )（ 4）1

12、）h 的最小值为h121gT222 mg2gt12l1k2）一旦箱子着地并处于静止,小球将在整个弹簧的弹力和重力共同作用下作简谐振动,即在弹力与重力作用的静平衡位置附近作简谐振动 由于箱子刚着地时弹簧长度与箱子未下落时相等 ,因此 ,箱子刚着地时 ,小球正好于此平衡位置但此时小球的速度为vgT 2l1g2g则小球振动的振幅l2 满足1 mv21 kl2222得l 22l1当小球刚接触箱底而未发生碰撞时,l 应满足l l 0l1l2 l0l1 12l0mg 1 2k7、单摆由一根长为l2 的轻质杆和杆段质量为m 的重物组成 ,若在杆中某点处另加一质量为 m 的重物 ,试求摆的运动周期最多改变百分

13、之几？解：设想有一个摆长为l3 的辅助摆 ,摆角也为,此辅助摆在偏离竖直方向同角度时,与异形摆有同样的角速度,即两者有相同的周期现在原摆杆上固定一质量为m 的重物 ,它离摆动轴的距离为 l1 ,则有mgl1coscosmgl2 cos cos1 ml121 ml2222解得2g l1l2coscosl12l 22同理对 l3 列出能量关系式后可得2g coscosl3由此当 l3l12l22时两摆周期相等l1l2此时的周期为T32l3g而原摆周期为T22l 2g两式相比 ,令 T3k ,则有T2k2l3l12l22l 2l2 l1l2即l12l2k 2 l1l22 k 2l220要保证 l1

14、有解 ,须使0 ,即l2 k224 k 21 l220即k 44k 240解得k0.91因此 ,在杆上加一等质量重物时,它的摆动周期最多改变 9%8、一根劲度系数为k 的轻弹簧水平放置,一端固定 ,另一端连接一个质量为m 的物块 ,放在水平桌面上 , 现将物块沿弹簧长度方向拉离平衡位置O ,使它到 O 点的距离为x0 时静止释放 ,此后物体在平衡位置附近来回运动 ,由于摩擦 ,振动不断衰减 ,当物块第 n 次速度为零时 ,恰好停在平衡位置处 ,求物体与桌面间的动摩擦因数解：由于摩擦阻力的存在 ,物体的振动为阻尼振动 ,不过它的阻力大小却保持不变 ,属常量阻力下的振动因最后物体静止于平衡位置处,

15、若动摩擦因数已知,则第n1 次速度为零的位置确定 ,以此从后往前推,可确定出释放的初始位置,从而想到用逆推法解本题设物块从距平衡位置为x0 处从静止开始运动,以后各次速度为零时到平衡位置的距离分别为 x1、x2、 、xn 2、xn 1 （ xn0 为已知） ,逐次应用动能定理有1 kx021 kx12mg x0 x1221 kx121 kx22mg x1x2221 kxn221 kxn21mg xn 2 xn 1221 kx21mgx2nn 1从以上方程分别可得x02mgx1kx12mgx2kxn 2xn 12 mgkxn 12 mgk各项相加得x0 xn 1n 1 2 mg 2n mgkk即

16、kx02nmg9、如图所示 ,两质量同为 m 的薄木板 ,用一条质量可以忽略、劲度系数为k 的弹簧相连 ,置于靠墙光滑的水平地面上若先把弹簧压缩d0 ,然后释放 ,Cd01C 将作BA）试论述木块 B 离墙后两木块相对于它们的中心什么运动：2）试求出反映出此运动特征的主要物理量解： 1）木块 B 离墙后两木块相对于它们的中心C 将作同频率、同振幅的简谐运动2）设弹簧恢复原长时右侧物体的速度为v0 ,则1 kd 021 mv0222得v0d0km当两物速度相同（为 v共 ）时 ,弹簧形变量 d最大 ,满足mv02mv共1 mv0212mv共212kd 2 2222解得d 2 d04故该简谐运动的

17、振幅同为2 d0 ,角频率为2k4m若取木块 B 离墙的最初瞬间（弹簧处于自由状态）为计时原点,在 C 点参照系来看 ,取A、 B 平衡位置 OA、OB 分别为A、 B 的坐标原点 ,坐标 x 为正向水平向右的坐标,A、B 两振子作余弦简谐运动的初相位A、 B 可由参考圆定出 ,分别为A3 , B12210、如图所示 ,一水平横杆MN 距水平地面高为 1 米 ,横杆下用细线悬挂一小球A,A通过一根轻弹簧与另一相同的小球B 相连静止不动时 ,弹簧伸长 3cm,今将悬线球 A 的细线烧断 , A、 B 便与弹簧一起往下运动假设已经知道, 在重力作用下MANA、 B 与弹簧合成的系统的重心作自由落体

18、运动,而且发现当 B 触及地面上的橡皮泥时 ,弹簧的伸长刚好为3cm然后 B 与橡皮泥发生完全非弹性碰撞,试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量B解：设 A、 B 各自质量为 m ,弹簧的倔强系数为 k ,细线被烧断橡皮泥前弹簧伸长量为l1 ,则有mg kl1细线烧断后系统下落 ,系统的重心自由下落,由于 A、B 等质量 ,故系统重心始终位于弹簧的中点 C 取随 C 一起自由下落的非惯性系S ,在此非惯性系中等价于 A、 B 都只受半根弹簧的作用力 ,对应得倔强系数为k 2k在这种情形下, A、 B 均作简谐振动振动的角频率为k2gml1振动周期为T22l12g由于 B 触地时 ,弹簧的伸长刚好为

19、初态,即伸长 3cm,这表明系统下落的时间为弹簧振动周期的整数倍 ,即tnn T( n1,2,3)重心下落距离为hn1 gt n2n21 gT 2n2h122其中 h11gT 20.3m 很容易发现 , n2 时 , hn 超过 1米 ,不合题意所以 B 触地时 ,21 k弹簧的弹性势能为l12 , A、 B 相对地面的动能值各为mgh12B 球与橡皮泥接触后,其动能为零而后弹簧被压缩的过程中, A 的动能、重力势能与弹簧弹性势能之和为一恒量设弹簧相对自由长度的最大压缩量为l,则有mgh11 kl12mgl1l1 kl 222将 kmgl13.0cm, h1 30cm 代入上式 ,得,l1l1

20、8cm11、如图所示 ,一手电筒和屏幕组成的系统,质量均为 m ,被倔强系数均为 k 的弹簧悬挂在同一水平面上 ,当平衡时手电筒的光恰好照在屏幕的中心已知屏幕和手电筒相对于地面的上下振动表达式分别为x1A costx2A cost12kk问： 1）在屏幕上的光点相对于屏静止不动；O2）在屏上的光点相对于屏幕作振幅A12 A 的振动x初相位1、2 应满足什么条件？用何种方式让它们启动,才能得到上述结果解：光点相对于光屏的运动实际上就是手电筒和屏幕的振动的合成xx1x2Acos t1A cost 2 ,即得x2A sin12 sint12（ 1）221）光点相对于屏静止不动,即 x0由（ 1）式得

21、sin1202即122）当光点相对于屏幕振幅为2 A 时 ,由（ 1）式得sin1212故12由以上讨论可知 ,若想使光点相对于屏不动,要求12 ,即初位相相同 ,可以把它们同时往下拉（或往上托）A 位移后再同时放手即可办到同理,若要求光点对屏有2A 的振幅 ,1、 2 必须满足初位相相反,这可以让手电筒在相对平衡点A 处 ,屏在相对平衡点处 ,而后放手即可办到12、如图（ a）所示 ,质量为m 的圆盘 ,悬于劲度系数为k 的弹簧下端, 在盘上方高hmg k 处有一质量也为m 的圆环 ,由静止开始自由下落,并与盘发生完全非弹性碰撞,碰撞时间很短,求圆环开始下落到圆盘向m下运动至最低点共经历多少

22、时间？h解：圆环下落后 ,与圆盘作完全非弹性碰撞,共同以一定的初速m向最低点运动值得注意的是,振子的质量为2m ,所以未碰前圆盘图（ a ）静止位置并非为振动系统的平衡位置v12m环自由下落至盘面时的速度为2 gh gk环与盘碰撞 ,动量守恒 ,有mv12mv2v2m1v1m环与盘共同初速为v1g2m22k环与盘一起作简谐振动的周期为T22mk未碰之前 ,弹簧的形变 x1 为x1mgk碰后振动系统的平衡位置形变为x22mgkmgAP可见初始位置离平衡位置的距离为x2x1kN图（ b）是简谐振动过程的参考图,环与盘的运动可以看作从图中M到O MxN 的过程 , N 对于最低点 , OMmg k

23、,它对应的圆运动时质点从P 沿PAN 弧运动到 N ,对应半径转过图（ b）由机械能守恒得2212mv222mgmgA1kmg1k2mgA2k2k2k求得振幅A2 mgk由图中几何关系有cosOMmg k2OP2mg k2所以初相为4则34于是从振动开始到最低点的时间为t1T3 T32m284k自由落体时间为t22g2mhk总运动时间为32mtt1t214k13、如图（ a）所示 ,劲度系数为k 的轻弹簧竖直悬挂,下端与一质量为M 的圆柱体（不能转动）相连 ,不可伸长的细绳跨过圆柱体,两端分别系有质量为m1 和 m2 的重物细绳与圆kxMm2TTm1Mg图（ a）图（ b）柱体之间的摩擦力可忽

24、略不计试求当两重物同时运动时,圆柱体的振动周期解：取圆柱体为研究对象, 它的受力如图所示, 其中 kx 为弹簧对它作用的向上的弹力, Mg 为其自身重力 , 两边的 T 是两条绳对它的拉力, 圆柱体就是在这几个力的作用下而运动, 两边的重物 m1 、m2 和圆柱体三者的运动是想关联的, 由其运动学关系和牛顿第二定律可列出方程 , 找出圆柱体运动中的受力特征或者是其运动学特征, 如其满足简谐运动的判据 ,便可根据简谐运动的规律求出圆柱体的振动周期取弹簧为原长时圆柱体的中心位置为坐标原点, 竖直向下为x 轴 , 当圆柱体中心位于任意位置 x 时 , 受向上的弹簧力kx , 向下的重力Mg 及两绳的

25、拉力2T ,由牛顿第二定律 ,对于圆柱体有2T MgkxMa（ 1）上式中a为此刻圆柱体的加速度 , 又设此刻物块m1相对于圆柱体的加速度为a（设其方向为向下） , 则此刻物块 m 相对于圆柱体的加速度则为a, 故此刻 m 和 m 两物块的加速212度 a1 和 a2 分别为a1 a a（ 2）a2aa同样根据牛顿第二定律对物块m1 和 m2 可分别列出方程为m1a1m1 gTm2 a2m2 gT由（ 2） - （ 5）式解得2m1m2g aTm2m1（ 6）式代入（ 1）式中有4m1m2 g4m1m2 aMg kx Mam1 m2m1 m2整理上式得4m1m2M g kx4m1m2M am1

26、 m2m1 m2故得圆柱体的加速度为4m1 m2akxm1m2 g4m1m2Mkm1m2引入一个新的变量x , 令4m1m2xxm1 m2 gk则前式变为akx4m1m2Mm1m2由上式可见 , 对于新变量x 来说 , 圆柱体将作简谐运动, 其振动的角频率为3）4）5）6）7）k4m1m2Mm1m2因 x 与 x 只差一个常量 , 故对于 x 来说 , 圆柱体也是作简谐运动 , 其振动的角频率也就是上面的 , 故得圆柱体作简谐运动的周期为4m1 m2M2m1 m2T2k讨论：以上结果与一个劲度系数为k , 质量为4m1m2M的弹簧振子的振动周期相m1 m2同, 故对于图（ b）中 M 、m、m

27、4m1m2M三者组成的系统 , 它们可等效为一个总质量为12m1 m2的物体 , 由此有时也将4m1m2M 称为这一系统的等效质量（也有称之为折合质量的）m1m2y14、沿x 方向传播的简谐波在t0 时刻的波形如图所示,已知该波的振幅为A ,波速为 u ,波长为试写出该波的波动表达A式A2x解：原点 O 的振动表达式为：00y(0, t)Acos tA0原点 O 处质点振动的初始条件为：t0 时 , y0A 2, v00 故有y0 Acos0A 2即03于是 ,原点 O 的振动表达式为y(0,t )Acost3在 x 轴上任取一点 P ,其坐标为 x ,则 P 点的振动表达式为y( x, t)

28、A cost3 2 xAcos2utx3其中用到22u15、同一媒质中有两个平面简谐波,波源作同频率、同方向、同振幅的振动两波相对传播 ,波长为 8m ,波传播方向上A、 B 两点相距 20m , 一波在 A 处为波峰时 ,另一波在 B 处位相为,求连线上因干涉而静止的各点的位置2解：由已知条件知,此两平面简谐波为相干波,在两波平面的连线上形成驻波如果以A为原点建立 Ox 坐标轴 ,如图所示 , 以甲波在A 点的位相为零AB的时刻作为计时起点Ox在 A、B 间 ,甲波的方程为y甲 Acos t2x乙波的方程为y乙 A cos t2x当甲波使 A 质元位移最大正值时,乙波在 B 点的相位为,因

29、t0 时 , B 处 x 20m 22x,t2.2当 AB 间的点因干涉为静止时 ,甲、乙两波在该点的位相差满足AB 2n1,t2t22n 1 ,xx得x 4n13当 n3, 2, 1,0,1 时 , x1,5,9,13,17m 这就是 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置坐标16、一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率1200Hz ）甲、乙、丙距广场中央都是100m 远 ,且分别在广场中央的南东北面第四个伙伴丁则从西面乘车以 40m s 的速度赶来 ,忽然又一阵稳定的风由南向北吹丙北过来 ,速度为 10ms ,如图所示 ,求甲、乙、丙、丁四个人听到哨声的频率各是多少？已知当时

30、声速为320m s西乙丁东解：由于风吹动引起介质相对声源和观察者以速度vF运动 ,即 u观u源vF ,应用多普勒效应公式南vF甲vu ,1 2 0 0 H zvu对甲：vvF ,uvF ,则vvF1200Hz甲vvF对乙：由于 vF 在东西方向无速度分量,故 v u0,所以乙v0v1200Hz0对丙： vvF , uvF ,vvF1200Hz丙vFv对丁： u0,v40m s,丁vu3 2 0 4 01 2 0 0 1 3 5 0 H zv03 2 017、一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动,其表达式分别为x2cos 2 t2ysinty设, 试求质点的轨道方程, 并在 xy 平面上给出12

31、0.5其曲线；若,轨道曲线怎么变化？解： 1）时 ,-2-1012x-0.521图（ a）x2cos2 t2cos t2 1x4y 22这里 , x 和 y 的变化范围为2x2,1y1由轨道方程 x4y22 给出曲线如图（a）所示2）时,2sin 2ty10.5-2-1012xx2cos 2t22cost2 12sin 2t2 4 y2和 y 的变化范围同前 ,轨道曲线如图（ b）所示18、沿 X 方向传播的简谐波在t 0时刻的波形如图（所示 ,该波的振幅为A ,波速 u 和波长均已知1）试写出该波的波动表达式2）试画出 tT时刻的波形图 ,其中 T 是周期a）-0.51图（ b）yu2解：

32、1）设坐标原点O 点的振动为y 0,tAcostox图（ a）初始条件 t0 时 , yA , A costA则于是 O 点的振动为y0 , tA c o s t在 X 轴上任取一点P ,其坐标为 x ,因波沿X 方向传播 ,因而 P 点的相位比 O 点超前2 x ,于是 P 点的振动为2yy x, tAcostxt02Acosut x此即波动表达式oxT2）如图（ b）所示 ,与 t0 时刻的波形（图中虚线）t2图（ b）相比 , tTX 方向传播了的距离 ,如图中实线所示时刻的波形应向2219、一个质点同时参与两个方向的振动振动方程分别为x1A1c o s 1 0t3x ,2 A 2y设

33、A1A24c o s t1 04试求： 1）当 y1时合振动的振幅和初位相；2）当 y 为何值时 ,合振动的振幅最大？y 为何值时振幅为最小？解： 1）当 y1时 ,13,21,如图所示 ,用合成法可求出合振动振幅的大小和44初相位值 ,即 A2A1,AOA212；合振动的相位相2AOA22422）由合成振幅公式可知,当 cos211时 , A 2 A1 达到最大即2KK 0,2,3A213y2KA1A2441所以y3 8KK0,1,22Oxcos 211,A0,时达到最小即212K1K0,1, 23y2K144所以y18KK0, 1,220、在图中 O 处为波源 ,向左右两边发射振幅为A 、

34、频率为的简谐波 ,波长为当波遇到波密介质界面时将发生全反射,反射面与波源O 之间的距离为d5,4试求波源 O 两边合成波的波函数解：设波源的振动方程为波密 B波疏y0A cos 2td54x波源在 x0区域产生波函数为OCxy入Acos 2tu波源在dx0 区域产生波函数为xy入Acos 2tu在 xd 处 ,入射波所引起的振动为y入Ad ,tA cos 2dtuA cos 2t2由于反射波存在有半波损失,即有相应的突变 ,所以反射波在 xd 处引起的振动为y反AAcos2t2反射波的波函数为y反 A cos 2tx x0u25xA cos 2t4u2A cos 2xtu在5x 0 区域合成波为4y y入 y反A cos 2xxtA cos 2tu