必考题型高考数学：平面向量中的线性问题

1、第22练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么eq o(EF,sup6()等于()A.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()B.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()C.eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(DA,sup6()D.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()破题切入点顺次连接，选好基底答案D解析在CEF中，有

2、eq o(EF,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6().因为点E为DC的中点，所以eq o(EC,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6().因为点F为BC的一个三等分点，所以eq o(CF,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6().所以eq o(EF,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(DA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup

3、6()，故选D.题型二平面向量基本定理及其应用例2如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq o(AM,sup6()c，eq o(AN,sup6()d，试用c，d表示eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6().破题切入点利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量解在ADM中，eq o(AD,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(DM,sup6()ceq f(1,2)eq o(AB,sup6().在ABN中，eq o(AB,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(BN,sup6()deq f(1,2)eq o(AD,sup6().由得

4、eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(2dc)，eq o(AD,sup6()eq f(2,3)(2cd)题型三平面向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|eq r(5)，求d.破题切入点向量坐标表示下的线性运算解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以eq blcrc (avs4alco1(m4n3，,2mn2，)得eq blcrc (avs4alco1(mf(5,9)，,nf(8,9).)(2)akc(34k,2k)

5、，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得keq f(16,13).(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，ab(2,4)由题意得eq blcrc (avs4alco1(4x42y10，,x42y125，)得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y1)或eq blcrc (avs4alco1(x5，,y3.)d(3，1)或(5,3)总结提高(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如

6、向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量eq o(AB,sup6()同方向的单位向量为()A(eq f(3,5)，eq f(4,5) B(eq f(4,5)，eq f(3,5)C(eq f(3,5)，eq f(4,5) D(eq f(4,5)，eq f(3,5)答案A解析由题意知eq o(AB,sup6()(3，4)，所以与eq o(AB,sup6()同方向的单位向量为eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,s

7、up6()|)(eq f(3,5)，eq f(4,5)2(2014课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq o(EB,sup6()eq o(FC,sup6()等于()A.eq o(BC,sup6() B.eq f(1,2)eq o(AD,sup6()C.eq o(AD,sup6() D.eq f(1,2)eq o(BC,sup6()答案C解析如图，eq o(EB,sup6()eq o(FC,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(FB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(FB,sup6

8、()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)2eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6().3(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()1，eq o(CE,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(2,3)，则等于()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3)C.eq f(5,6) D.eq f(7,12)答案C解析eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6

9、()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(DC,sup6()22(eq f(1,2)4422(eq f(1,2)24()21.2()eq f(3,2).eq o(CE,su

10、p6()eq o(CF,sup6()(1)eq o(CB,sup6()(1)eq o(CD,sup6()(1)eq o(CB,sup6()eq o(CD,sup6()22(eq f(1,2)(1)2()1eq f(2,3)，()1eq f(1,3)，即()eq f(2,3).由解得eq f(5,6).4(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()等于()A.eq o(OM,sup6() B2eq o(OM,sup6()C3eq o

11、(OM,sup6() D4eq o(OM,sup6()答案D解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OM,sup6()，eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()2eq o(OM,sup6()，故eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()4eq o(OM,sup6().5.如图，平面内有三个向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()，其中eq

12、o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为120，eq o(OA,sup6()与eq o(OC,sup6()的夹角为30，且|eq o(OA,sup6()|2，|eq o(OB,sup6()|eq f(3,2)，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3)，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(，R)，则()A4，2 Beq f(8,3)，eq f(3,2)C2，eq f(4,3) Deq f(3,2)，eq f(4,3)答案C解析设与eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()同方向的单位向量分别为a，b，

13、依题意有eq o(OC,sup6()4a2b，又eq o(OA,sup6()2a，eq o(OB,sup6()eq f(3,2)b，则eq o(OC,sup6()2eq o(OA,sup6()eq f(4,3)eq o(OB,sup6()，所以2，eq f(4,3).6如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq o(AB,sup6()meq o(AM,sup6()，eq o(AC,sup6()neq o(AN,sup6() (m，n0)，则eq f(1,m)eq f(4,n)的最小值为()A2 B4C.eq f(9,2) D9答案C解析e

14、q o(MO,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(AM,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),2)eq f(1,m)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6().同理eq o(NO,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，M，O，N三点共线，故eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o

15、(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)o(AC,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)f(,2)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(,2)f(,n)eq o(AC,sup6()0，由于eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()不共线，根据平面向量基本定理得eq f(1,2)eq f(1,m)eq f(,2)0且eq f(1,2)

16、eq f(,2)eq f(,n)0，消掉即得mn2，故eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,2)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(n,m)f(4m,n)eq f(1,2)(54)eq f(9,2).7(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2为实数)，则12的值为_答案eq f(1,2)解析如图，eq o(DE

17、,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，则1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，12eq f(1,2).8(2013四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AO,sup6()

18、，则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AO,sup6()，2.9(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案eq r(5)解析ab0，ab，|a|b|b|eq r(2212)eq r(5)，|a|eq r(5).又|a|1，|eq r(5).10在平面内，已知|eq o(OA,sup6()|1，|eq o(OB,sup6()|eq r(3)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，AOC30，设eq o(O

19、C,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()(m，nR)，则eq f(m,n)_.答案3解析因为AOC30，所以eq o(OA,sup6()，eq o(OC,sup6()30.因为eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，所以|eq o(OC,sup6()|2(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()2m2|eq o(OA,sup6()|2n2|eq o(OB,sup6()|2m23n2，即|eq o(OC,sup6()|eq r(m2

20、3n2).又eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()meq o(OA,sup6()2m，则eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OC,sup6()|cos 30m，即1eq r(m23n2)eq f(r(3),2)m，平方得m29n2，即eq f(m2,n2)9，所以eq f(m,n)3.11已知非零向量e1，e2不共线(1)如果eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BC,sup6()2e18e2，eq o(CD,sup

21、6()3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2e18e23e13e25(e1e2)5eq o(AB,sup6()，eq o(AB,sup6()与eq o(BD,sup6()共线，且有公共点B，A、B、D三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，只能有eq blcrc (avs4alco1(k0，,k10，)k1.12已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，eq o(OM,sup6()t1eq o(OA,sup6()t2eq o(AB,sup6().(