北京市朝阳区高三第一次综合练习理科数学

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1,一、一（1）i为虚数单位，复数的虚部是1-iB.C. -1iD22【KS5U解析】11 Ji i 1+i111,二一-一 =L=1+1i ,所以虚部是1 ,选A.1 -i (1 -i)(1 i) 22 22(2)已知集合 M =x2x0=xx+21=xx-1M ON =x 1 x0)的焦点为F,已知点A,B为抛

2、物线上的两个动点，且满足ZAFB =120上过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则1MNJ |AB|的最大值为A.B. 12.3C.3D. 2【答案】AKS5U解析】(8) 已 知 函数 f ( X)_ _ _ * . . , _ _ *以 N 1x ,若 二Xo，nw N , 使f(0X)i(+1X1力)+0f3，则称nX0,n)为函13f(x)的一个“生成点”函数f(x)的“生成点”共有C .3个D.4个A.1个B.2个【答案】BKS5U解析】由题2xo+1+2(址+1)+1+lll+2(x0+n)+1=(n+1)(2x0+n+1)=63,因为x),n=NL,所以n+12

3、2,2x0+n+1n+1。因为7M9=321=63所以当n+1=3时，2%+n+1=2%+3=21,此时解得n=2,x0=9,生成点为(9,2)。当n+1=7时，2%+n+1=2%+7=9,此时解得n=6,%=1,生成点为(1,6)。所以函数f(x)的“生成点”共有2个，选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.,bn为等差数列，且b3=%,则(9)在等比数列an中,2a3_a2a4=0,则a3=数列bn的前5项和等于KS5U解析】【答案】2,10在等比数列中2%a2a4=2a303=0,解得%=2。在等差数列中b3 =a3 =2

4、,所以 S5 =5(b1 b5)5 2b3= 5b3 =5父2=10。(10)在 MBC中，a,b,c分别为角A , B , C所对的边.已知角A为锐角，且b = 3asin B , 则 tan A =【答案】 -24KS5U解析1由 b =3asin B 得 sin B = 3sin Asin B ,所以 sin A = - , cos A =32 ., 2,即tanA ;上4(11)执行如图所示的程序框图，输出的结果 S=开始口输出81结束尸【答案】20K55U解析】第一次循环，i=0,s=_1,；第二次循环，i=2,S=1+2x21=2,;第三次循环，i=4,S=2+2x41=9,;第四

5、次循环，i=6,S=9+2x61=20;此时满足条件输出，S=20.(12)如图，圆O是AABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD=J3,AB=AC=2,则线段AD的长是；圆O的半径是.【答案】1,2KS5U解析】，设AD=x，则CD2=DADB即(J32=xX+2,3所以x2+2x3=0,解得x=1,即AD=1.所以三角形CDA为直角三角形，且OC/BD,所以/OCA=/CAD=600,所以三角形AOC为正三角形，所以半径OC=AC=2.(13)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x).当xW0,1时，f(x)=2x.若在区间-2,3上方程ax+2

6、a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围-22【答案】(2,-)53=f (x)得函数的周期是2.由 ax + 2a - f (x) = 0 得【KE5U解析】一由f(x+2)f(x)=ax+2a，设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象，如图I.3-21，要使方程ax+2af(x)=0恰有四个不相等的实数根，则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAHakAG由题意可知，AHAG.一一一,2,2一22,22、G(1,2),H2)A(一2,0),所以kAH=,kAG=,所以a,即a一二，Q。535353(14)在平面直角坐标系xOy中，

7、已知点A是半圆x24x+y2=0(2wxw4)上的一个动点，点C在线段OA的延长线上.当OA，OC=20时，则点C的纵坐标的取值范围是.【答案】-5,5KS5U解析】由图象可知，当点A位于点B时，点C的纵坐标最大。当点A位于点D时，点C的纵坐标最小由图象可知B(2,2),D(2,-2)。当点A位于点B时,OB =2 底, 因为 OA OC t OA OC=20 ,所以此时OC=5杉.由相似BMOB性可知=，解得yC=5,同理当点A位于点D时，解得yC=-5,所以点C的纵坐yoc标的取值范围是5MyCW5,即5,5。三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程(1

8、5)(本小题满分13分)已知函数f(x)=Y3sinxsin29x+1(。，0)的最小正周期为n.222(I)求切的值及函数f(x)的单调递增区间；(n)当xw0,三时，求函数f(x)的取值范围.2(16)(本小题满分13分)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1,0,1,2.称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)(I)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(H)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(出)在两次试验中，记卡片上的数字分别为之,刈，试求随机变量X=之的分布列与数学期望EX.(17)(本小题

9、满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC_L平面ABCD,且PALACPA=AD=2.四边形ABCD满足BCAAD,AB.LAD,AB=BC=1.点E,F分别为PEPF侧棱PB,PC上的点，且PE=工PBPC(I)求证：EF平面PAD；(n)当九二1时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；2(出)是否存在实数儿，使得平面AFD_L平面PCD?若存在，试求出九的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2(a+2)x+alnx+2a+2,其中aM2.(i)求函数f(x)的单调区间;(n)若函数f(x)在(0,2】上有且只有一个零点，求实数a的取值范围(1

10、9)(本小题满分14分)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1匣),离心率为回，点A为其右顶点.22过点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于E,F两点，直线AE,AF与直线x=3分别交于点M,N.(I)求椭圆C的方程；(n)求EMFN的取值范围.(20)(本小题满分13分)设t=(Xi,X2|,Xio)是数1,2,3,4,5,6，的任意一个全排列，定义10S)=|2Xk3x|,其中X11=xk4(I)若e=(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1),求S)的值;(n)求S(i)的最大值；(出)求使S(t)达到最大值的所有排列飞的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理

11、工类）2013.4、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(6)(8)答案ADACCDAB、填空题:题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案2,10金4201,2(5号-5,5（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I）一、3.1-cosx1f(x)二sinx TOC o 1-5 h z 222二二sin,x1cosx22=sin(0 x+上).4分6因为f（x）最小正周期为冗，所以切=2.6分所以f(x)=sin(2x三).6nnnnn由2knE2x+E2kn+,k=Z,得knExkn+26236nrJT所以函数f(x)的单调递增区

12、间为knt,kn+二,kWZ.8分367：(n)因为xu0,所以2x+一一，一,10分2666二所以一一Wsin(2x+)W1.12分6所以函数f(x)在0,2上的取值范围是1,1.13分22（16）（本小题满分13分）解：（I）设事件A:在一次试验中，卡片上的数字为正数，则21P（A）=二=7421.，、答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是一3分2（n）设事件b：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数.由（I）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是所以p（b）=1-c4）（-）0（-）4十c41（-）3=.42242216答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的

13、概率为121116（m）由题意可知,4n的可能取值为-1,0,1,2,所以随机变量X的可能取值为P(X= -2)=P(X= -1)=7 P(X=0)=4 4162 P(X=1)=4 4P(X=2)=P(X=4)=4 4 162,1,0,1,2,4.所以随机变量X的分布列为所以 E(X)= -216161.1 10 1 1 1 2 1 4 工1616 413分（17）（本小题满分14分）证明：（, PEI）由已知，PFPB PC所以因为BC二；AD,所以EFkAD.而EF值平面PAD,AD仁平面PAD,所以EF1：平面PAD.4分(n)因为平面ABCD_L平面PAC,平面ABCD口平面PAC=A

14、C,且PA_LAC,所以PA_L平面ABCD.所以PA_LAB,PA_LAD.又因为AB_LAD,所以PA,AB,AD两两垂直.5分如图所示，建立空间直角坐标系,因为 AB=BC=1, PA = AD =2,所以 A 0,0,0 , B 1,0,0 ,C (1,1,0 ),D (0,2,0 ),P (0,0,2 ).1当九=时，F为PC中点, 211所以 F(2,-,1),.-1 1-所以 BF =(-,2,1),CD=(-1,1,0).设异面直线BF与CD所成的角为日，1 1一|(-,9,1)0,且fx)2x-(a+2)+aJ2x-a)(X-1).2分Xxa当aW0,即一W0时，令f(x)0

15、,得0Mx0,得x1,函数f(x)的单调递增区间为(1,也). TOC o 1-5 h z aa当01即0a0,得0 x1,22a一函数f(x)的单调递增区间为(0,a),(1,十比).2a,一.a.令f(x)0,得x1,函数f(x)的单调递减区间为(一，1).22当亘=1即a=2时，f(x)之0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0,).7分2(n)当aW0时，由(I)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1),f(x)在(1,2单调递增所以f(x)在(0,2上的最小值为1)=a+1, TOC o 1-5 h z 112a12a由于f(2)=422+2=(21)2十1A0,eeeeee要

16、使f(x)在(0,2】上有且只有一个零点，“1)：0,2需满足f(1)=0或/解得a=1或af(2)0,ln2当0aM2时，由(I)可知，(i)当a=2时，函数f(x)在(0,2上单调递增；一414一.一1且f(e)=84-20,所以f(x)在(0,2上有且只有一个零ee与八、.(ii)当0a0,所以当xW(a,2时，总有f(x)0.22a2因为e丁二1:a2所以2a 22a 2 2a 22a 2f(e- a ) =e a e- a -(a 2) (aln e- a 2a 2) ： 0.一 aa所以在区间(0, a)内必有零点.又因为f (x)在(0一)内单调递增,从而当0 a E2时，f(x

17、)在(0,2 上有且只有一个零点.综上所述，0a W2或ab0 ), b2依题意得2.22a = b c ,aa2逆一 234b2,解得b2 =1.二12所以椭圆C的方程为+4=1.(n)显然点 A(2,0).(1)当直线l的斜率不存在时,不妨设点E在x轴上方，易得 E(1,), F(1,-)22M(3,-EM FN(2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y =k(x1),显然k = 0时，不符合题意.,y=k(x-1),口2222由J2得(4k2+1)x28k2x+4k24=0.x24y2-4=0设 E(4yi),F(X2，y2),则 x +x?8k24k2 -4=4k2 1 4

18、k2 1直线AE , AF的方程分别为:yiy 二； x1f2(X -2), y =y2x2 - 2(x-2),令x=3,则m(3,_y_),N(3,y).x1-2x2-210分所以EM=(3_x1,y1(3-Xl),FN=(3_x2,y%).x1-2x2-2gcpi匚R不匚心/a、/ayi(3-xi)y2(3-x2)EMFN=(3-x1)(3-x2)x1-2x2-2= (3-xi)(3-x2)(1y1y2)(xi - 2)( x2 - 2)_2=(3 -x1)(3 -x2)(1k(x1 -1)(x2 -1)(x1 -2)(x2 -2)=xx2 -3(x1 x2) 9 1 k2 取2 -(x1 Xz) 1:x1x2 -2(x1 x2) 44k2 -4一 (4k2 1-3471 9) (1224k2 -48k2 彳22 1k2 4 1 4k J_)X . 24 44k2 14k2 116k2 5-3k2=(2-)(1r)4k2 1 4k2_ 216k5216k2 412分因为k2 0 ,所以_ 22_16k2 516k +4 4 ,所以 1 216k2 455一,即 EM FN 匚(1).4