5.3二次曲线的切线汇总课件_第1页
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文档简介

1、5.3 二次曲线的切线定义 5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点.规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以看作切点.现在我们来求经过二次曲线(1)的直线总可写成切线方程上的点的切线方程.因为通过(2)那么根据5.1 的讨论,知道直线(2)与二次曲线(1)的交点的参数满足容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，因此当 时因为 在(1)上，所以 ；(3) 如果 与 不全为零，那么得：(3) 当 时，直线(2)成为二次曲线(1)的切线的条件除了 外，唯一的条件仍然是(3).因此过 的切线方程

2、为或写成或解法一因为且例 1 求二次曲线的点 的切线方程.即奇点 如果那么(3)变为恒等式，(3)从而切线不确定，切线的方向 不能唯一地被确定,所以 是二次曲线上的正常点，因此得在点 的切线方程为我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这时通过的任意直线都和二次曲线相交于相互重合的两点，奇点:定义 5.3.2 二次曲线上满足条件 的点 叫做二次曲线的奇异点，简称奇点； 二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.定理 5.3.1 每一条直线都是二次曲线的切线.(3)正常点才能用如果 是二次曲线的正常点，如果 是二次曲线的奇异点，那么通过 的切线方程是(3)，是它的切点.那么通过 的切线不确定，或

3、者说通过点 的(5.3-4)对比 公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程(1)中，把写成就得出(5.3-4).推论 如果 是二次曲线的正常点，那么通过 的切线方程是然后每项中的一个 或 用 或 代入后，写成证把(5.3-3)改写为再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为(5.3-5)(5.3-3)即从而得(5.3-4).所以点 不在曲线上,解法一所以不能直接应用公式(5.3-3)或(5.3-4).因为利用切线定义来做.例 2 求二次曲线 通过点 的切线方程.因为过点 的直线可以写成其中 为参数， 为直线的方向数. 又因为所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得化简得从而有即再由过点 的直线方程得消去参数得这两直线的方向分别为1:2与1:(-1)，显然它们都不是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是所求的过点 的切线.或或设过 的切线与二次曲线相切于解法二那么切线方程为即(3)因为它通过 ,所以 满足方程,将 代入化简得(4)另一方面点 在曲线上，所以又有(5)联立解(4),(

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