《线性代数》学习指导矩阵的特征值与特征向量(43P)

1、第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得 则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方阵 与特征值 对应的特征向量不唯一 4）一个特征向量只能属于一个特征值. = 2 * Arabic 2特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1） 计算n阶矩阵A的特征多项式EA；（2） 求出特征方程EA的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3） 设1 ，2 ， ，s 是A的全部互异特征值。 对于

2、每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量. = 3 * Arabic 3 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量； （2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量； （3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A1的一个特征值，是A*的一个特征值； （4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个

3、特征值。性质2（1） （2） 性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P1P 则称A与B相似。记作AB. 并称P为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是等价关系，满足：1 反身性：AA. 2 对称性：若A，则A. 3 传递性：若A，B 则 A.5矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若AB，则 （1） ； （2） ；（3）A、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A，B或者都可逆或者都不可逆. 当A，B都可逆时，； （5）设f（x）= amxm + am-1xm-1

4、 + + a1x + a0 为一个多项式，则 f（A） f（B） ； 6n阶矩阵A相似对角化的条件（1）n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（2）n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个k重特征值恰好对应有k个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。7n阶矩阵A相似对角化的方法（1）解特征方程，求出的全部特征值，设是重根（2）对每个特征值，解齐次线性方程组，求得基础解系；（3）令可逆矩阵 则8.实对称矩阵的特征值和特征向量8.

5、 = 1 * Arabic 1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使得为对角阵8.2 用正交变换法化实对称阵为对角阵的步骤 1） 解特征方程求出对称阵的全部的特征值（根），设是重根；2）对每个特征值，解齐次线性方程组，求得基础解系3）将基础解系正交单位化，得正交 单位向量组4）令可逆矩阵则 = 2 * CHINESENUM3 二重点难点 = 1 * GB1 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值与特征向量的定义、性质与求法；矩阵的特征值与迹、矩阵行列式的关系. = 2 *

6、Arabic 2 相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化的必要条件与充分条件；矩阵对角化的判定与对角化的方法；矩阵对角化的应用. = 3 * Arabic 3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，实对称矩阵正交相似于对角阵的化法.三学习要求理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.掌握实对称阵化为正交相似对角阵的方法.四典型题分析 例1 设A是四阶矩阵，已知则A的伴随矩阵的一个特征值是_分

7、析：考虑根据可得A的一个特征值，再根据A与其伴随矩阵的关系即可求解.解 由于，于是有是A的一个特征值.又由于易知 由，所以是A的一个特征值，则是的特征值，因此的一个特征值是例2 已知三阶矩阵A=有三个线性无关的特征向量，则参数=_分析 三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，则A可以对角化，可通过先求特征根中的重根再代入即可求得解 矩阵A的特征多项式为 解得矩阵A的特征值为因为A有个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，则其二重根有两个线性无关的特征向量。于是，对作初等变换，有例设矩阵 A、B 均为阶矩阵，则矩阵A与B相似的充分条件是：A与B有相同的特征值.A与B有相同的特征向量.A与B和同一矩阵

8、相似.与相似.分析 A与B有相同的特征值不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵，使 （ = 2 * ALPHABETIC B） 显然，易举反例 （ = 3 * ALPHABETIC C）由相似的传递性可知正确 （ = 4 * ALPHABETIC D）举反例：设 显然相似，但是矩阵A与B不相似解 选(A)例4设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求的值 .分析 本题可根据特征值和特征向量的定义求得未知参数.解 根据题设可得： 两边同时左乘得 ： 即所以有由此可得： 解得：由于 又得：因此：例5：设矩阵 ，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆矩阵，使得

9、为对角阵.分析 根据有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，代入，即可求出中未知参数。解 因为有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，所以的属于的线性无关的特征向量必有2个 ，故秩 即：于是解得：矩阵 先求的特征值：最后解得可逆矩阵：例6设阶矩阵 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.解 () 当时， ,得的特征值为，对，解得，所以的属于的全部特征向量为(为任意不为零的常数)对， 得基础解系为，故的属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)当时，,特征值为，任意非零列向量均为特征向量() 当时，有个线性无关的特征向量，令，则当时，对任意可逆矩阵, 均有 【注】本题

10、通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于综合性的题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.例7设是阶矩阵A的两个不同的特征值，是A的属于的特征向量，试证明不是A的特征向量.分析 该结论用定义即可证明，为叙述方便运用反证法.证明 用反证法。设是的属于特征值的特征向量，则 因为是属于特征值的特征向量，且，则有：代入上式，有： 于是 即 由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故 从而 与已知矛盾，所以不是A的特征向量.五习题解析 习题7.11. (1) 若A2 = E，证明A

11、的特征值为1或1;(2) 若A2 = A，证明A的特征值为0或1.证明（1）（2）2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 1.证明3求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.解所以：特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,0)T + k2(0,1,0)T + kn(0,0,1)T ，(k1, k2, , kn不全为0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.（1） （2）（3）（4）解（1）A属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k0)A属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T，(k0)解（2）将其代入，求得特征向量：，不全为零 解（3）代入，求得特征向量

12、：A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ，(k0)；A属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ，(k0)；A属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ，(k0)解（4）特征值为-1，-1，-1；A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ，(k0)解（5）设为的任一特征值，的属于的特征向量为：，则 于是 而故 =0，因为特征向量，所以 ，即矩阵的所有特征值为0. 解得基础解系：特征值为0（n重）；A属于n重特征值0的全部特征向量为：k1+ k2+ + kn1（ k1，k2，kn1不全为零）解 (1）(2）6. 已知12是矩阵的一个特征值，求a的值.解

13、7. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量.求k及X所对应的特征值.解 习题7.2判断习题7.1第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.1）2）二重根有两个线性无关的特征向量，可以对角化.相似变换矩阵为 对角阵为3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化. 对角阵为4）不能对角化.5），所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P,使为对角阵.（1） （2）解 (1) 代入解得对应的特征向量分别为：所以：可逆矩阵 解 (2)3设A是一个3阶矩阵，已知A的特征值为1，1，0，A属于这3个特征值的特征向量分别为求A.解 A有三个互异的特征

14、值，所以可以对角化.4计算解 ，5设 A与B相似.求a,b的值；求可逆矩阵P,使=B.解 1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即： （2）最后解得可逆矩阵使得6. 设A =与对角阵相似，求x，y满足的条件.解由于与对角矩阵相似，7设A与B相似，f（x）= a0 xn + a1xn1 + + an1x + an（a0 0），证明 f（A）与 f（B）相似证明故f（A）与 f（B）相似8若A与B相似，C与D相似，证明 与 相似.证明习题7.31求正交矩阵Q，使为对角阵.(1) （2）解 （1）先求特征值和特征向量解得特征向量：于是构成正交矩阵 ,解（2）先求特征值和特征向量单位化于是构成正

15、交矩阵 2已知 = 6，= 3是实对称矩阵A的三个特征值，A的属于 = 3的特征向量为X2 = ， X3 = ，求A的属于= 6的特征向量及矩阵A 解 令的属于的特征向量为：且A的属于的特征向量为：解 （1）的另一特征值为0，令其相应的特征向量为，满足习题七(A)一、填空题1已知3阶矩阵A的特征值为1，3，-2，则A-E的特征值为 , 的特征值为 的特征值为 .解 A-E的特征值为A的特征值减1，故A-E的特征值为0，2，-3.的特征值为2n阶矩阵A的特征值为1，2 ，3 ， ，n ，则 .解3. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则= .解4. 设A为3阶方阵，且，则= ， = ，= .解

16、由题意知：5若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则= . 解6已知3阶矩阵A-1的特征值为1，2，3，则的特征值为 . 解7. 已知矩阵的特征值为1,2,3,则x= .解8. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，2，则的特征值为 .解9. 设A，B均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，= 1，则= . 解10. 设 有相同的特征值，则a= ， b = .解有相同的特征值，即11. 已知矩阵A的各行元素之和为2,则A有一个特征值为 .解显然A有一个特征值为212已知0是的一个特征值，则a= . 解 由于0是的一个特征值，则：，即，即二、单项选择题1. 若4阶方阵A与B相似，A的特征值为，则（ ）.

17、 (A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32解 选(A)2. 设A为n阶矩阵,为A的一个特征值,则A的伴随矩阵的一个特征值为( ).解 3. 设A为n阶矩阵, X为A属于的一个特征向量, 则与A相似的矩阵B=P-1AP的属于的一个特征向量为( ).(A) PX (B) P-1X (C) P TX (D) P nX解4. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量,则a,b的值分别为( ).(A) 5, 2 (B) -1, 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1解选(D)5. 下列结论正确的是( ).X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于

18、的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数A, B有相同的特征值, 则A与B相似如果=0, 则A至少有一个特征值为零若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值解(C) 正确 （D）显然不是A+B的特征值6. 设1 ，2是矩阵A的两个不相同的特征值，是A的分别属于1 ，2的特征向量，则（ ）.（A）对任意k1 0 ，k2 0 ，k1 + k2都是A的特征向量（B）存在常数k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量（C）当k1 0 ，k2 0时 ，k1 + k2不可能是A的特征向量（D）存在唯一的一组常数k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量解（A）显然不

19、成立；（B）不存在；（C）正确；（D）不存在.所以选（C）7. 与矩阵相似的矩阵是（ ）. 解是二重根，将分别代入,只有在(C)中，故选(C)8. 下列矩阵中,不能相似对角化的是( ).解 答案(C)中，是三重特征值，代回中，显然(C)不能对角化.9. 若A与B相似，则（ ）.（A） （B） （C） A=B （D） A*= B*解 因为存在可逆矩阵,使则选(B)10. 设向量=（a1 ，a2 ， ，an）T ，=（b1 ，b2 ， ，bn）T都是非零向量，且满足条件T= 0，记n阶矩阵A =T,则( ). (A) A是可逆矩阵 (B) A2不是零矩阵 (C) A的特征值全为0 (D) A的特征

20、值不全为0解故的特征值全为零，而若设A的特征值为，则的特征值为，显然有 选(C) (B)1设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为解（1）由题意 （2）化为线性方程组形式求解，得增广矩阵（3）解2设A为4阶方阵，且，=9，（1）求的一个特征值；（2）的一个特征值.解（1）由已知：（2）3已知向量X = 是可逆矩阵A = 的伴随矩阵的一个特征向量，求a,b与X所对应的特征值解 两边同乘以 得解得：4. A是n阶正交矩阵，证明1是A的特征值.证明5. 设A是正交矩阵，证明故是的特征值，也是的特征值.6已知矩阵解7，已知A可相似对角化，求与它相似的对角阵和An.解 先求A的特征值：是二重特征值，则有：解得特征向量解得特征向量：所以得相似变换矩阵：8设A是3阶方阵，A有3个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为令证明：线性无关.解线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）故有：由于 （范德蒙行列式结论）所以方程只有零解.即线性无关9若A与B相似且A可逆，证明：A*与B*相似.证明