强基计划 数学

1、强基数学讲义函数、方程和导数1.为正实数求abc、m的最大值2.已知实数满足(q2+4)(F+1) = 5(2 1),求+ *3.整数Z满足xy + yz + xz = ,则(i + x2)(i + y)(i + z2)可能取到的值为()。A. 1 6900 B1 7900 C1 8900 D前三个都不对。4.求次数最低的整系数多项式/使/(sinlO) = 05. 已知/(x)=| x1 +ax + b，若对于任意的a，b ,均存在x0 el,4，使得/(x0)m 求 m 的取值范围。6. 已知多项式：= ax3 + bx2 + cx + d的系数为实数，且满足: min d, b + d

2、max |c|, a + c|证明：方程P(x) = 0在区间1,1内无解。7.已知/(x) = 10”+lg(F7T + x|-l(P+10,求解集/(3x+l) + /(x)209.A. / (x) 0,x g (-5,5)C /(x) l,x w(0,5)设函数/十-3”，则(B. /(兀)0在(5,5)上单调递增D /(x) l,x g (-5,0)(A) /(兀)有极大值，但无最小值。(B) /(兀)有极大值，但无最大值。若方程f(x) = b恰有一个实根，则b=。若方程f(x) = b恰有三个不同实根，则0b2。10. !|arctanF=()A3兀B.兀4兀D.3兀11.设多项式

3、/E的各项系数都是非负实数，且/(1)=广(1)=厂(1)=广(1),则/S)的常数项的最小值为()D.C.12.卡特兰数是组合数学中一类经常出现的数列，它的通项公式为Cn=-C。现定义数列%,满足an=n试求的值。(15北能)13. 下列函数中，有两个零点的是A. f (x)=八,2C /(x) = 3 Inx 无14.设函数/(兀)在区间(-1,1)内有定义，则A.当导数广(0)存在时，曲线y = /(x)在点(0,/(0)处存在切线B.当曲线y = f(x)在点(0, /(0)处存在切线时,导数/(0)存在C.当导数广(0)存在时，函数/(x2)在x = 0时的导数等于零D.当函数/(x

4、2)在x = 0时的导数等于零时，导数广(0)存在15.已知实数.儿z满足討 _尹=1，_z = ，*3 -1-x2 -X=1,则，A. (x,儿z) 只有1组B(x,儿z)有4组C. 儿z均为有理数D. 儿z均为无理数21 21的最大值为1 6.设实数兀1，兀2丄，兀21满足0 xz 0)，P(x) xn + C1xn-1 + C2xn-2 +nnCn-1x+1o若二次三项式/ +px + q的系数p, q为整数，且该多项式有两个无理根仇1，仇2，则称 其为“无理根二次三项式”，求血| + |仇2|的最小值。设函数f(x)在0, 1上有定义，f(0)=f(1)。如果对于任意不同的x1?x2

5、e09l， 都有 |/(!)-/(2)| |%! -X2| o 求证：|/(兀1 ) - /(兀2 ) t25.设k m为实数，不等式x2 kx m 1, Vx G a, b.证明b a 2近.26.已知函数f （尤）=ax3 + bx2 + ex + d（a 主 0）,27.当0 x 1时，|f (巧| 1,求a的最大值.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间例如，当01(兀)=疋，02(兀)=$血时，。则下列命题中不正确的是( )A.右函数y(x),g(x)的定义域相同，且g(x)wB，贝U

6、/+gB.函数/(兀)g B的充要条件是/(x)有最大值和最小值C.函数/(x)=ahi(x + 2)+ : (x有最大值，则/(兀)D.设函数/(兀)的定义域为D,则/g A的充要条件是:b w o(1 )求讥求。（3）求。2Too ）29.已知函数 / (x) = q ln(x + l) 1。(1 )求函数/(x)的最小值；(2)若0尹x ,求证：幺歹一lln(x + l) ln(y + l)30.以血和1-迈为两根的有理系数多项式的次数最小为()31.已知定义域为正实数的实函数/(x)满足:(1)如果兀，则/(兀)/(尹)；(2)对于所有的正实数, /证明：存在实数使得/(兀。)0，疋+

7、加+仑二。有实根，求证:38.已知函数求/(兀)图象与它的反函数图象交点的横坐标。39.=1,求x的解的个数。40.已知函数f(x) = a sin x.aO.x e (0,y,若/_1(x)与/有2个交点，则实数Q的取值范围为41.设兀o是方程x2021 -x-l = 0的正实根，几 是方程/042 -y = 3x0的正实根。试比较X。和几的大小。(2)试求卜0-几|小数点后面的第二位数。42.已知勺(i = 1,2丄，10)满足a+ a? 。10二30,aa2術21，求证：存在勺，使得勺1。43设为素数，/(x) = %x+%_1XT+L +%x + pwZx/l，且 Yapz=l求证：/

8、(x)不可能分解为两个非常数整系数多项式。三角与复数1.smfarctanHarcsm.arccos).2.A. 1B.10D.已知复数可，孔在复平面内对应的点为乙，ZVj。为坐标原点，若5Z2ZZ2+z；=0,则厶 OZXZ2 的面积为().3.A. 1 B.也C2设复数z满足险-7,3,令，则B的().A.最大值为|C.最小值为中B.最大值为彳D.最小值为彳4.设丿为锐角，且cos(o:+/?)=Srj，则A返 B 心tanof的最大值为()C. 15.复数Z, z2满足K _ 3z = 2启 _ 8| = 1，则由复数Z z2所围成的几何图形的面积是BD、= DxD2 = D2D3 =

9、L = D2Qi9D2Q2Q = D2Q2QC设 Z2L4D二 a】,XDAD2 = a2 , L , AD2Qi)AD2()2Q = tx2020 , XD2Q2QAC = tz2()2isinax sin3 sin2021 TOC o 1-5 h z 贝o sin&2 sin&4 sin&2020 的值为()A-1010D前三个答案都不对C-20217.若复数的实部为0,w + 1Z是复平面上对应订的点，则点Z(xj)的轨迹是(A) 一条直线(B) 条线段(C) 一个圆(D) 段圆弧8.设均不为k+兀。其中k为整数，已知9.sin (尹 + z - x)，sin (兀 + z等差数列的是(

10、 )y)，sin(x + y z)成等差数列,则依然成A.B COS X, COS 尹,COS ZC. tanx, tan j?tanz d.以上三个答案都不对设a.b.c.d是方程+2x3+3/+4兀+ 5 = 0的4 个复根，则q + 2 b + 2A.-|的值为()c + 2 + 2B.C. fD.以上答案都不对11.12.13.14.A/（z） = 0存在实数解/（习=0共有20个不同的复数解/C） = 0复数解的模长都等于1/（习=0存在模长大于1的复数解确定所有的复数&，使得对任意的复数可二2 （ | Z |，| Z2 |O,/3HO，0wR）的虚根，证明：（1） q,c都是正实数

11、。（2）存在 一个以丽，丽,为边长的三角形。设/(x) = 2021x?2i +2020 x2 +L + 3x3 +2x? +x + l,求证：/(兀)至少有一个根为虚数。1J 0,0 g（0,7t）,z3 = z/?若|Zj z31 = r +1 o求r和&的取值范围o已知复数习，勺满足条件|z1|29|z2|2且为实系数方程x2 + mx + m = 0 的两根 (1 )求满足条件的实数m的取值范围设arg =a.argz2= /3(a 0)且实数m在区间1,*上变化,求a-p的取值范围。已知方程+ (13x-l)10= 0的10个复根为口疋疋丄 疋上,而q与丐11111互为共轭复数。求的

12、值。rxrr3K3 q 厂4 r5rs设NW丄，乙为复数，且满足B + RI + L |zj = l ,求证：上述n个复数中必存在若干个复数，它们的和的模不小于*o21. 已知P（z） = z/7+c1z,7_1+2z/72+l- +c是复变量z的实系数多项式且 |（/）|1。求证：存在实数d，b使得户（Q + bZ）= O且”+戸+1）24方 2+1。22.设z是虚数单位，复数z和w满足zw + 2zz-2zw + l = 0（1）如果z和w满足w-z = 2i，求z和w的值。 求证：如果|z| = V3，那么|w-4z|的值 是一个常数，并求出这个常数。23.（1）设不为零的复数Z的辐角为

13、e（Q0n2，s = i2”,卩二坷心，“是s的一个子集。已知 T 中的任两个数都不能同时整除 S 中的任何一个数，求证： TOC o 1-5 h z 111m+n1%a2an m将集合2X +2y Qx3称为理想的，若存在正整数lkn-l,使得构成等差数歹X则不超过2020的理想数个数为。把实数67 = （5 + 3能）221写成十进制小数，则Q得十分位、百分位和千分位上数字之和 等于（ ）A. 0B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对在一个6x6的棋盘上放置11块1x2的骨牌，每一块骨牌恰好覆盖两个方格。证明： 无论11 块骨牌怎么放置，总能两放入一块骨牌？设%卫2,，2“+1均为整

14、数，性质P为：对%,佝，叫+1中任意2个数，存在一种 分法可将其分为两组，每组巾个数，使得两组所有元素的和相等，求证：卫2，卫2+1 全部相等当且仅当。2“+1具有性质P。9.设/ =吆00）是一个整数数列，其中6Z-E -1000,1000，若+勺+吆。，求证：存在A的一个非空子数列,其和为0.10.实数（V2+V3）2020的小数点的前一位数字为，小数后一位数字为11.已知集合/ = %卫2，。3,Q八伙n 2)其中a. G Z(i = 1，2，,広)，由/中的元素构成两 个 相 应 的 集 合 S = a.ba g A.b g A.a + b e a ， T = b)aeA,bEA.a-

15、beA，其中(Q,b)是有序实数对，集合S和卩的元素个数分别为加若对于任意的a,总有-QE/,则称集合/具有性质户.(I )检验集合0,123与-123是否具有性质户，并对其中具有性质户的集写出相应的集合S禾口卩；(II )对任何具有性质P的集合证明：n)个奇数、2个偶数。甲、乙两人玩一种游戏：甲先开始从盒 子中取出两个数，这两数的和为兀，然后乙从盒子剩下的数中取出两个数，这两数的 和为尹。若兀为偶数，尹为奇数，则甲胜；若兀为奇数，尹为偶数，则乙胜；若兀尹奇偶性相同，则为平局。求使得平局的概率最小的 n 的值。1 5.方程x + y + z = 2010满足x y n。若恰有18个不同的正整数

16、k，满足|ln m In k In n，则满足条件的所有mn的和为x2 + y2 36例4在满足 xy工0的区域中，横坐标与纵坐标互素的整点的x2 + y2 2xy 12x 12y 36 0个数为例5在1,2,2018中取一组数，使得其中任意两数之和不能被其差整除。则最多能取 个数。a 2017ib 2017i例6己知正整数a, b满足a + b = 2017。记A = Y 丝巳，B = Y 竺口，,=i a,=1 b则 A + B = 例7设A = 100101102103499500为1203位的正整数，是由从100到500的全体三位数按顺序排列而成。则A除以126的余数为a例8用K (x

17、)表示所有既约分数一(a, b e Z+，a x，b 0，且满足a2 + a = 3b2 + 2b，则下列说法正确的有()A. a 2bB. a b D. a 2时，S” = ”(a” + a”)，则学尹=例 21 整数列an满足 a1 = 1， a2 = 4，且对任意 m 2 有 a”2 - aa” = 2” -1，则 a2020 的个位数字是( )(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案都不对例22将正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数去掉后，按原顺序构成新数列a”，求通项 a” 。例 23 设数列a”、b”满足a1= a2= 1，b1= 1，b2= 3，an+2= 4a”+1- 5a

18、”，b”+2 = 4b”+1 - 5b”(” e Z + )。证明：1 a1b1 1 + I a2b2 + +1 a”b” | 5”。(1)求an的通项公式;证明：丄+丄+丄 2 )。 an2例25设数列an满足a1 = 2,a2 = 7 , an二3an_ + 2an_2 (n 3 )。证明 对于任意的正整 数n , a2n-1可表为两个正整数的平方和。14 号例 1 己知 | a 冃 b |= a - b = 2， (a c) - (b 2c) = 0，则 | b c | 的最小值为例2 在 AABC 中，| BC |cos B | CA |cos A = 5| AB |。求 tan( A

19、 B)的最大值。 2 2 2 2例3对于四边形ABCD，若平面上任意一点P，均有PA + PC = PB + PD，则四边形ABCD的形状为|c|例4设向量a, b, c满足a丰b， c丰0， (c a) - (c b) = 0，则的最大值为|a+b|+|a b|例5设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D，ADBD，则三角形BCD的面积为()6近3J3価3J33迥23二人杠亠如十丄(A)(B) (C) (D)前三个答案都不对16 16 16例6设非负实数x,y满足3x + y = 1，则x + y/x2 + y2的最小值为例7若正AABC外一点M，满足

20、MB = 2，MC = 1，则MA的取值范围是例8己知AABC的顶点坐标A(3, 4),B(3, 4),C(4,3)，则AABC的外接圆上的点P到三个顶点的距离的平方和的最小值为例9设正方形ABCD内部一点P满足PA: PB: PC = 1:2:3，则ZAPB =例10己知直线y = x + 2与曲线x4 + y4 = 1有两个交点A,B，则AB的中点M的坐标为x例12设直线j = kx (k 0 )与椭圆才+尸二1交于E, F两点，A(2,0),疗(0,1)。则四边22例13己知椭圆圆a+务=形AEBF面积的最大值为 1( a b 0)的左、右焦点分别为片,F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I,G分别为APFF2的内心、重心。当IG丄x轴时，椭圆的离心22例14设F,f2为椭圆+当=a 2b2率为 1(a b 0)的两个焦点，A,B分别为椭圆与x轴负半轴、22例15己知椭圆r：+ = 1a 2 b2j轴负半轴的交点，P为线段AB上一动点。则PF1 -PF2的最小值为(a b 0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点，且椭圆r的焦点到椭圆的最短