2．2《平面向量的线性运算》

1、平面向量的线性运算1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？3.两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？A B C思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？A B C探

2、究二：向量减法的含义思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎样表示？思考2：a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？规定：零向量的相反向量仍是零向量.（a）=aa在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量ab可以怎样理解？两个向量的差还是一个向量吗？向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b，c，若a+cb，则c等于什么？ 定义：aba（b）.a+c b c = b a探究三：向量的数乘运算及其几何意义已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a） （a）？aaaaOMNP （a）（a）（a）

3、向量aaa和（a）（a）（a）分别如何简化其表示形式？ aaa记为3a，（a）（a）（a）记为3a.向量3a和3a与向量a的大小和方向有什么关系？aaOaaABCaaaOMNP设a为非零向量，那么 a和 a 还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？aaa一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|a|=|a|；（2）0时,a与a方向相同； 0时,a与a方向相反； =0时,a =0.探究四:向量的数乘运算性质 你认为2（5a），2a2b， a可分别转化为什么运算？-2 (5a)= -10a ；2a 2b = 2(a+

4、b)； (3 )a =3a a.一般地，设，为实数，则(a)，() a，(ab)分别等于什么？(a)=() a ；() a =a a； (a b)=ab.对于向量a（a0）和b，若存在实数，使b=a，则向量a与b的方向有什么关系？若向量a（a0）与b共线，则一定存在实数，使b=a成立吗？综上可得向量共线定理：向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a. 若a0，上述定理成立吗？若存在实数 ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？如图，若P为AB的中点，则 与 的关系如何？ABPO向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、x、y，(xayb）可转化为什么运算？ (xayb）=xayb. 理论迁移 例1 计算（1）（3）4a； （2）3（ab）2（ab）a；（3）（2a3bc）（3a2bc）.2b3babO例2 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =ab， =a2b， =a3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abABC课堂小结：1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若a=0，则可能