大学课件电磁学-电容电场能量

1、2.4.1电容、孤立导体的电容（Capaci 孤立导体：附近没有其它 导体和带电体。理论和实验表明，孤立 导体的电势U与其所带的电 量Q成正比。孤立导体的电容：C = QU物理意义：使导体每升高单位 电势所需的电量。单位 1F = 1C/VWF = 10-6 F1pF = 1012F仅与球的半径有关。例如：求真空中孤立的导体球的电容。4n R地球：Re = 6.4 x 106m, CE 沁 7 x 10_4F真空中孤立导体的电容只与导体的几何形状 和大小有关，与导体是否带电无关。电容反映了孤立导体贮存电荷的能力。欲得到IF的电容，孤立导体球的半径人为多少?由孤立导体球电容公式知1R = 二 9

2、 x109m 恋14 x 103R4兀勺E二、电容器(Capacitor)的电容由于静电感应，力的电势会随着周其它导体、带电体的分布变化。若在/的周围加一接地屏蔽层民则血间的电势差与外界无关。这样的导体组称为电容器。通常, 由彼此绝缘、 相距很近的两导体构 成电容器。使两导体极板带电士 Q电容器的电容大小不仅取决于两导体的形状、大小、相对位置, 还与两极板之间填充的电介质有 关, 与所带电量无关。两导体极板的电势差U AB * Q电容器的电容：QC = Q Ua - Ub实验表明：在电容器的两极板间填充电介质时,电容器的电容将增大。假设两极板之间充满某种均匀电介质，则其电容c是真空时的电容Co

3、的r倍，即:8r称为电介质的相对电 容率，它是表征电介质本身 特性的物理量。在真空中:8r = 1除真空外，各种电介质的 8的值都大于1。在实际应用中，常见的电容器有：平行板电容器、球形电容器和柱形电容器。三、电容器电容的计算步骤：1）设电容器两极板分别带电荷+ Q和-Q2）求出两极板间的场强分布 E；3）通过场强，计算两极板间的电势差 UA -UB ；4）由电容器电容的定义式C = Q 求出CoU A -UB1、平板电容器(1)设两导体板分别带电土 Q两带电平板间的电场强度E =纟= -Q% %S两带电平板间的电势差U = Ed = Qd% S 平板电容器的电容C=Q=&SU 0 d4）平板

4、电容器的电容Q_ SU=片dc 二 Co二 r_= = 0 r 称为电容率。E =工=2r %片 SU =申+ 申_ = Ed = c = Q 二 rS=U _ dQdr S（5）如果在两极板间充满相 对电容率为r的电介质时， 则其电容为：例1 平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方 形，两板之间的距离d = 1mm。如两极板的电势差 为100V,要使极板上储存土 10C的电荷，边长l解：c二二需F 二10_6FQ_ ScdS = l2 l = 10.6mU=弘d2、圆柱形电容器柱形电容器是由半径分别为Ra和Rb的两同 轴圆柱导体面 A 和 B 组成，圆柱长度 l RB。1）设两导体圆柱面单

5、位长度上分别带电2(2) E =匚,(Ra r RbB电容C = Q = 2 n牡I In R3、球形电容器的电容球形电容器是由半径分别为K和R的两同心金属球壳所组成。解设内球带正电（+ Q），外球带负电（-Q）。 廿 Q -E 2er （R1 r R 2）4 n 片 r212u 訂 e . d；=214 n Jri r2丄d4 n R RR 2 T 厲,C = 4 n qR孤立导体球的电容。 13C 二 Q 二 4 n % R R2 _ U _ R2 - Ri例：平行板电容器，已知S、，插入厚度为t 的铜板。求： C 。:A. B带电分别为土 Q由高斯定理知场强分布铜板内E =0间隙内Eq二

6、二00 S二 E J + E t + E q d 2=E o(i + d 2)C E Q = S=UA - UB d + d2电容器的串联和并联1 串联(Series Capacitors):Q = Qi =u 二 Ui + tM l=y丄c 一乙G152 并联（Parallel Capacit o:U = U1 = U 2 = U 3Q = Q1 + Q 2 + Q 3C = z C并联时总电容增大，但电容器组的耐压能力取决于 耐压能力最低的电容； 串联时总电容减小，但电容器组的耐压能力提高了。五.电容器的两个主要指标电容、耐压能力A电介质的击穿在强电场作用下, 电介质分子中的正负电荷变成可

7、以 自由移动的电荷, 电介质变为导体。击穿场强：电介质材料所能承受的不被击穿的最大 场强。也叫介电强度。并联电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的那 个电容器的限制;串联电容器由于总电压分配到每一个电容上 , 所 以串联电容器的耐压能力提高了, 但是若一个电 容被击穿, 其余的也可能被相继击穿, 因此整个电 路可靠性不高随堂小议心脏除颤器是一种应用电击来抢救和治疗心律 失常的一种医疗电子设备, 其核心元件为电容器 。如果把一个已充电的电容器在极短的时间内放 电, 可得到较大的功率。除颤器的工作原理是首 先采用电池或低压直流电源给电容器充电, 充电 过程不到一分钟, 然后利用电容器的瞬间放电, 产

8、 生较强的脉冲电流对心脏进行电击, 也可描述为 先积蓄定量的电能, 然后通过电极释放到人体。 除颤器工作时, 电击板被放置在患者的胸膛上, 控 制开关闭合, 电容器释放它存储的一部分能量通 过患者从一个电击板到另一个电击板。2.5电场能量一。 静电场的能量定义 ( Electrostatic Energy )一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间存在着相互作用的电场力。任何一个带电系统在形成的过程中，外力必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。因此，带电系统具有能量。定义：把系统从当前状态无限分裂到彼此相 距无限远的状态中静电场力作的功，叫作 系统在

9、当前状态时的静电势能。简称静电 能。或： 把这些带电体从无限远离的状态聚合 到当前状态过程中，外力克服静电力作的 功。可见，静电能就是相互作用能。1 .点电荷在外电场中的静电势能点电荷在外电场中某点的静电势能We = qU式中是该点的电势一个电荷在外电场中的电势能为该电荷与产生电场的电荷系所共有。例题求：电子在原子核的电场中的电势能。解： 以无限远为电势的零点 电子所在处的电势为ZeU =4ne0 r所以W = -eU =Ze-4隔r2. 点电荷系的静电能 电荷系的相互作用能以两个点电荷系统为例，设qi和q2相距尸。现使 q1静止，移动q2到无穷远。在这过程中，q1对q2做的 功: 式中S为q

10、在q2处的电势。We就是两电荷系统的相互作用能。25例题：求：由三个点电荷构成的系统的静电能。解：W - 弘q2+ 孙仏 + q2034加沁 4加沁 4加/3推广到一般情况：We -工所有对dq 连续分布电荷系统的静电能将连续分布的电荷分成许多电 荷元dq,把每个电荷元当作点电 荷, 考虑将这些电荷元聚集起来 要做的功, 就得到连续分布电荷 系统的静电能We 訂 UdqU为任一时刻已聚集的电荷在dq所在处的电势例题：均匀带电球体，半径为R,电荷体密度为，求 这一带电球体的静电能。解：考虑将球上所有电荷从无限远处聚集过来 需要做的功设：到某时刻，球半径已达匚电荷量为:此时球面上一点的电势为U =

11、4亦 r继续从无限远处搬迁电荷呦至球上需做功Udq整个球聚集完成需做的功为We = J UdqQ取电荷元dq pdV = p4nr 2drR p 4W | 兀r p4nr dr3爲二5必Jo 4 隔 r 3P 4 広-R 53坯5上式给出的是一个带电体的静电能，也称它是均匀带电球系统的自能一个带电体的静电自能就是组成它的各电荷元之间的静电互能二、电容器的储能电容器充电过程就是储存能量的过程, 可看成是把电荷从一个极板移动到另一个极板的过程。在这个过程中,电源要克服电场力做功,消耗电源的化学能。这部分能量以电能的 形式储存在电容器中。某一瞬时, 两极板的 带电量分另I为+$和-q,极 板间的电势

12、差为乩+ + + + + + + + +U丨囱1+/dq电源将电荷dq由电容器负极板搬运到正极 板时所作的功为:dW = Udq = qdq+ + + + + + + + +dqdW = Udq = qdq1 Q QW = qdq =- C Jo % %2CC = Q.W =1 QU = - CU2U 2 2电容器贮存的电能W二Q二-QU二-CU2e 2C 22上式对各种结构的电容器都成立。31例 除颤器中一个70pF的电容器被充电到5000V 电容器中储存能量为大？11解 W = - CU2 = - x (70 x 10一6) x (5000)2 = 875(J)22这个能量中的约200J在

13、2ms的脉冲期间被发送 通过患者，该脉冲的功率为100kW，它远大于电 池或低压直流电源本身的功率，完全可以满足救 护患者的需要充电过程中电源做功所转化的电能究竟是储存 在哪里的？是伴随着电荷储存在电容器的极板上， 还是储存在电容器两极板间的电场内？这个问题需要通过实验来El答。在静电场的情况下，电场总是与电荷同时存在的，所以我们无法分辨电能是与电荷相联系、还是 与电场相联系。但是在电磁波中，电场可以脱离电荷而传播到远处。电磁波携带能量，已被近代无线电技术所证实。事实说明，电能储存在电场中。三、静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例, 将电能用电场的量表示。 TOC o 1-5 h z H

14、YPERLINK l bookmark20 o Current Document W =1CU2 =-竺（Ed ）2 = - sE2 Sd =1 eE 2V e 22 d22电场中单位体积的能量称为电场能量密度：W 11We =# w = - sE 2 = - ED HYPERLINK l bookmark24 o Current Document Ve 22（均匀电场） （普遍适用）物理意义：电场是一种物质，它具有能量。w = - E2 = - ED 电场能量密度e 2 2只要确定 we 就可计算电场能量 We。 非均匀电场能量的计算：非均匀电场中不同地方的能量密度不同。 可以用微元积分法求

15、总能量。在电场中任意的体积元中的电能为：dW = wedV 电场空间所存储的总能量为：We=w=v 2 比2 w例：已知均匀带电的球体，半径为尺带电量为0。求：从球心到无穷远处的电场能量例：球形电容器的内、外半径分别为R1和R，所带电 荷为土Q。若在两球壳间充以电容率为8的电介质， 问：此电容器贮存的电场能量为多少？ 解：E二丄Qer4 n s r 92 Q 2 w e = sE =32 n2 sr4取一体积元，dV = 4 n r2 drQ2dW = w dV = -QdrWeE = Qs 弊=Qs( R -急e e8 n sr2Q 2 111Q 2W =- () =Q e 8 n E k

16、R R224 亦 R RR2 R1W二QR T8 C = 4nz 巴R2 - R1球形电容器电容）W = 8 n 旳孤立导体球贮存的能量）Q2例：同轴电缆由内径为Ri、外径为人2的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带电量分别为+2、-2,其间充有片电介 质。求：1）两柱面间的场强E； 2）电势差U； 3）单位长 度电容 ；4）单位长度贮存能量。解：1）极板间作高为h半径为 r 的高斯柱面，护-dS = 1 q oD =2nr2D2nrh =入 h,场强E =t 2n0 rr介质中高斯定理：2) 极间电压：U = J 2 E - dl = j 2 EdrR2R12 A dr _ A In R?J

17、ri 2ns0sr r2ns0rR、3) 单位长度电容h长电容2n% rhln( R2 / Ri)单位长度电容c =h2n0 rln( R Ri)h 长贮存的能量1We = - QU=-入 h - ln R22ns0 r R乃h 、R TOC o 1-5 h z =ln2 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 4ns 0 rR单位长度贮存的能量We 朮1 R2we =- =In -h4ns 0 rR静电场中的导体和电介质小结一、静电场中的导体导体的静电平衡条件 场强：E内 =0E表面丄表面或电势：导体是等势体表面是等势面2. 静电平衡时导体上的电荷

18、分布 当地表面紧邻q内=0, ” = %E厶处的电场强度静电屏蔽:静电平衡时, 金属空壳的外表面上及壳外的电荷 在壳内的合场强总为零,因而对壳内无影响。有导体存在时静电场的分析与计算(1) 分析方法:用电荷守恒用静电平衡条件用高斯定理电势概念(2)常见导体组: 板状导体组 球状导体组二、 静电场中的电介质1. 电介质的极化：在外电场的作用下，电介质表 面出现束缚电荷的现象（均匀电介质），叫做电 介质的极化。无极分子电介质的极化位移极化束缚电荷-亠1有极分子电介质的极化-转向极化电极化强度：对各向同性电介质，在电场不太 强的情况下p = o（r_ 1）E =御 E力二片_1介质电极化率电介质表面

19、束缚电荷密度：b = P COS0 = P - e“束缚电荷的面密度: 在数值上就等于极化强度矢量在介质表面法线方向的分量。4.电位移矢量:D = s0E + P D = sE D -d S=Z q 0 内D 的高斯定理：通过任意封 闭曲面的电位移通量等于该 封闭面包围的自由电荷的代 数和。6. 静电场中有电介质时解题思路:问题：E = Eo + E q ?在电荷分布具有某种对称性的情下，首先由的高 斯定理出发求解万高斯定理D = 尼e P = s0（片一 i）E a = pn q = bdsqDPq9三、电容器的电容c=Q典型的电容器电容的计算设Qd平行板Q= fofrS U 一 dU电容器

20、组（1.串联:2. 并联：!1!电容器的能量电介质中 电场能量密度：1 Q 2 1 1炉=2 Q = 2 CU = 2电容器的贮能公式=J wed VdVW = - E2 = - DE = - D e 222 s静电场中的导体和电介质练习题1.如图，若N接地时，导体N上MN（+卜+1（A）正电荷消失；（B）负电荷消失；（C）正负电荷都消失；（D）正负电荷都不消失。两个完全相同的电容器Cl和G，串联后与电源 连接，现将一电介质板插入中，则 TOC o 1-5 h z (A)电容器组总电容减小；一 _(b) G上的电量大于c2上的电量；口 rC1=(C) C上电压高于C2上电压；ZpC2 =53电容器组储存的总电能增大。！!111=+C T.c t 串联 Qi = Q2W = -CU2 C t u不变:.W t2一球形导体，带电量为如 置于一个任意形状的导 体空腔中，当用导线将两者连接后，系统的电场能(A)增大；(B、减少；(C)不变。腔内电场消失，腔外电场不变。将一负电荷从无限远处移到一个不带电的导体附近， 则导体内的场强_不_变_，导体的电