高中数学111正弦定理教（学）案

1、WORD 专业资料. 高中数学 1.1.1 正弦定理 教案教学分析本节容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以与提出问题、解决问题等研究性学习的能力在初中学习过关于任意三角形边对大角、小边对小角的边角关系，本节容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题这样，用联系的观点，从新的角

2、度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构在学法上主要指导学生掌握“观察猜想证明应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力本节课以与后面的解三角形中涉与到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了若在解题中出现了错误，则应与时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理三维目标1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的容与其证明方法，会运用正弦定理与三角形角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过正弦定理的

3、探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神重点难点教学重点：正弦定理的证明与其基本运用教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如RtABC中的边角关系，若C为直角，则有acsinA，bcsinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，进一步提问，等式能

4、否与边c和C建立联系？从而展开正弦定理的探究思路2.(情境导入)如图，某农场为了与时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正向10千米处现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，已知CAB130，CBA30，AB10千米，求AC与BC的长”这就是一个解三角形的问题为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此展开新课的探究学习推进新课eq blc rc (avs4alco1(新知探究)eq bl

5、c rc (avs4alco1(提出问题)1阅读本章引言，明确本章将学习哪些容与本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？4正弦定理的容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？5什么叫做解三角形？6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景与其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向

6、？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形与解决测量中的一些问题关于任意三角形边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系先观察特殊的直角三角形如下图，在RtABC中，设BCa，ACb，ABc，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有eq f(a,c)sinA，eq f(b,c)sinB，又sinC1eq f(c,c)，则eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)c.从而在

7、RtABC中，eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析如下图，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CDasinBbsinA，则eq f(a,sinA)eq f(b,sinB).同理，可得eq f(c,sinC)eq f(b,sinB).从而eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).(当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立教师点出这就

8、是今天要学习的三角形中的重要定理正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq x(f(a,sinA)f(b,sinB)f(c,sinC)上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形边对大角的一种准确的数量关系因为如果AB，由三角形性质，得ab.当A、B都是锐角，由正弦函数在区间(0，eq f(,2)上

9、的单调性，可知sinAsinB.当A是锐角，B是钝角时，由于AB，因此BA，由正弦函数在区间(eq f(,2)，)上的单调性，可知sinBsin(A)sinA，所以仍有sinAsinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法讨论结果：(1)(4)略(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：已知三角形的任意两个角与一边，由三角形角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”这类

10、问题的解是唯一的已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论eq blc rc (avs4alco1(应用示例)例1在ABC中，已知A32.0，B81.8，a42.9 cm，解此三角形活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求C，再利用正弦定理即可解：根据三角形角和定理，得C180(AB)180(32.081.8)66.2.根据正

11、弦定理，得beq f(asinB,sinA)eq f(42.9sin81.8,sin32.0)80.1(cm)；ceq f(asinC,sinA)eq f(42.9sin66.2,sin32.0)74.1(cm)点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角与两角所夹的边，也是先利用三角形角和定理180求出第三个角，再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器变式训练在ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知ceq r(3)，A45，B60，求b；(2)已知b12，A30，B120，求a.解：(1)C180(AB)180(4560)75，eq f(b,sinB)e

12、q f(c,sinC)，beq f(csinB,sinC)eq f(r(3)sin60,sin75)1.6.(2)eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，aeq f(bsinA,sinB)eq f(12sin30,sin120)6.9.例2已知ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)A60，B45，a10；(2)a3，b4，A30；(3)b3eq r(6)，c6，B120.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分

13、析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题解：(1)因为C180604575，所以由正弦定理，得beq f(asinB,sinA)eq f(10sin45,sin60)eq f(10r(6),3)8.2，ceq f(asinC,sinA)eq f(10sin75,sin60)11.2(如图1所示)图1(2)由正弦定理，得sinBeq f(bsinA,a)eq f(4sin30,3)eq f(2,3)，因此B41.8或B138.2(如图2所示)图2当B41.8时，C1803041.8108.2，ceq f(asinC,sinA)eq f(3sin108.2,

14、sin30)5.7；当B138.2时，C18030138.211.8，ceq f(asinC,sinA)eq f(3sin11.8,sin30)1.2(如图2所示)(3)由正弦定理，得sinCeq f(csinB,b)eq f(6sin120,3r(6)eq f(6f(r(3),2),3r(6)eq f(r(2),2)，因此C45或C135.因为B120，所以C60.因此C45，A180BC15.再由正弦定理，得aeq f(bsinA,sinB)eq f(3r(6)sin15,f(r(3),2)2.2(如图3所示)图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，

15、这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会变式训练在ABC中，已知a60，b50，A38，求B(精确到1)和c.(保留两个有效数字)解：ba，BA，因此B也是锐角sinBeq f(bsinA,a)eq f(50sin38,60)0.513 1，B31.C180(AB)180(3831)111.ceq f(asinC,sinA)eq f(60sin111,sin38)91.例3如图，在ABC中，A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：eq f(BD,DC)eq f(AB,AC

16、).活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明证明：如图，在ABD和CAD中，由正弦定理，得eq f(BD,sin)eq f(AB,sin)，eq f(DC,sin)eq f(AC,sin180)eq f(AC,sin)，得eq f(BD,DC)eq f(AB,AC).点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用例4在ABC中，A45，BC45

17、，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R与面积S.活动：教师引导学生分析条件BC45，由于ABC180，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角与最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨解：由ABC180与BC45，可设B4k，C5k，则9k135，故k15，那么B60，C75.由正弦定理，得Req f(10,2sin75)5(eq r(6)eq r(2)，由面积公式Seq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)c2RsinBsinA7525eq r(3).点评：求面积时，b未知但可转化为

18、b2RsinB，从而解决问题1.在ABC中，(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a2RsinA，b2RsinB以与结论sin2Asin2Bsin(AB)sin(AB)，由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，(sin2Asin2B)sin(AB)(sin2Asin2B)sinC.(sin2Asin2B)sin(AB)sin(AB)sin(AB)sinC.若sin(AB)0，则AB.若sin(AB)0，则sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形

19、故选D.2已知ABC中，ABC123，那么abc等于()A123 B321C1eq r(3)2 D2eq r(3)1答案：Ceq blc rc (avs4alco1(知能训练)1在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积S的值是()A.eq r(2)B.eq r(3)1C.eq f(1,2)(eq r(3)1) D2eq r(2)2在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边长为_3在ABC中，若(eq r(3)bc)cosAacosC，则cosA_.答案：1B解析：由正弦定理eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，得ceq f(asinC,sinA)2eq r(

20、2)，B180AC105，ABC的面积Seq f(1,2)acsinBeq f(1,2)22eq r(2)sin105eq r(3)1.2.eq f(53r(2)r(6),6)解析：B105，C15，A60.b为ABC的最长边由正弦定理，得beq f(asinB,sinA)eq f(5sin105,sin60)eq f(53r(2)r(6),6).3.eq f(r(3),3)解析：由正弦定理，知a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为ABC的外接圆半径)(eq r(3)sinBsinC)cosAsinAcosC，化简，得eq r(3)sinBcosAsin(AC)sinB.0sin

21、B1，cosAeq f(r(3),3).eq blc rc (avs4alco1(课堂小结)1先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题与解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解2我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想涵3通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理的关系但应引起学生注意，R的引入能给我们解题带来极大的方便eq blc rc (avs4alco1(作业)习题11A组1、2

22、、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证

23、法，开阔学生视野备课资料一、知识扩展1判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析设已知a、b、A，则利用正弦定理sinBeq f(bsinA,a)，如果sinB1，则问题无解；如果sinB1，则问题有一解；如果求出的sinB1，则可得B的两个值，但要通过“三角形角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断2利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC或sinAeq

24、f(a,2R)，sinBeq f(b,2R)，sinCeq f(c,2R)(R为ABC的外接圆半径)这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用3正弦定理的其他几种证明方法(1)三角形面积法如图，已知ABC，设BCa，CAb，ABc，作ADBC，垂足为D.则RtADB中，sinBeq f(AD,AB)，ADABsinBcsinB.SABCeq f(1,2)aADeq f(1,2)acsinB.同理，可得SABCeq f(1,2)absinCeq f(1,2)bcsinA.acsinBabsinCbcsinA.eq f(sinB,b)eq f(sinC,c)eq f(sinA,a

25、)，即eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).(2)平面几何法如图，在ABC中，已知BCa，ACb，ABc，作ABC的外接圆，O为圆心，连结BO并延长交圆于C点，设BC2R，则根据直径所对的圆周角是直角以与同弧所对的圆周角相等可以得到BAC90，CC，sinCsinCeq f(c,2R).eq f(c,sinC)2R.同理，可得eq f(a,sinA)2R，eq f(b,sinB)2R.eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R.这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式eq f(a,sinA)eq f(

26、b,sinB)eq f(c,sinC).这种证明方法简洁明快在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R，得到eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R这一等式，其变式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可以更快捷地实现边角互化特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利(3)向量法如图，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于eq o(AC,sup6()，则j与eq o(AB,sup6()的夹角为90A，j与eq o(CB,sup6()的夹角为90C.

27、由向量的加法原则可得eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j(eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()jeq o(AB,sup6()，由分配律可得jeq o(AC,sup6()jeq o(CB,sup6()jeq o(AB,sup6().|j|eq o(AC,sup6()|cos90|j|eq o(CB,sup6()|cos(90C)|j|eq o(AB,sup6()|cos(90A)asinCcsinA.eq f(a,sinA)eq f(c

28、,sinC).同理，可得eq f(c,sinC)eq f(b,sinB).eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).如图，ABC为钝角三角形，不妨设A90，过点A作与eq o(AC,sup6()垂直的单位向量j，则j与eq o(AB,sup6()的夹角为A90，j与eq o(CB,sup6()的夹角为90C.由eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()，得jeq o(AC,sup6()jeq o(CB,sup6()jeq o(AB,sup6()，即acos(90C)ccos(A90)，asinCcsinA.eq f(a,

29、sinA)eq f(c,sinC).同理，可得eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).当ABC为直角三角形时，eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)显然成立综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立二、备用习题1在ABC中，A45，B60，a10，则b等于()A5eq r(2) B10eq r(2)C.eq f(10r(6),3) D5eq r(6)2ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinBeq f(1,2)，sinCeq f(r(3),2)，则abc等于 ()A1eq r(3)2 B11eq r(3)C12eq r(3) D21eq r(3)或11eq r(3)3ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ceq r(2)，beq r(6)，B120，则a等于 ()A.eq r(6) B2 C.eq r(3)D.eq r(2)4在锐角ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且B2A，则eq f(b,a)的取值围是 ()A(2,2) B(0,2) C(1，eq r(3) D(eq r(2)，eq r(3)5在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积为_6