材料力学教材(PDF)_cl03

1、第三章材料的力学性质拉压杆的强度计算第一节应力-应变曲线材料的力学性质是指材料在外力的作用下在强度和变形方面表现出的性能， 它是构件设计的重要资料。为研究这些性质所进行的材料试验，是在国标的严格 规定下进行的，具体试验方法可参阅材料力学试验书籍。材料试验有很多种类， 最具有代表性的是拉伸试验。按国标制作一定形状、尺寸的试样，如图2-la所示 将试样安装在材料试验机上，在缓慢的加载中，测定试样的变形，得到载荷一 变形曲线，由此绘出反映应力与应变关系的曲线，称为应力一应变曲线或bs 曲线。这里使用的应力是用载荷除以试样原横截面面积得到的名义应力，而不是 用载荷除以伴随试样伸长而逐渐缩小的真实横截面

2、面积得到的真实应力。图3-la所示的实线是工业材料中最常用的低碳钢的拉伸名义应力一应变曲 线。可以看出，整个拉伸过程大致分成四个阶段。拉伸开始的段是第一阶段 弹性阶段。最初，应力与应变成比例，即呈线性关系，这个比例关系的极限 点d的应力值称为比例极限，用帀表示。前面讲述过的胡克定律适用的最大应力 必须不超过帀。超过比例极限，应力与应变不再是直线关系，但若应力不超过B 点，则试样仍然仅发生弹性变形，B点的应力值称为弹性极限，用be表示。bp 和be虽然意义不同，但数值接近，在工程上通常不作区分。应力超过弹性极限，进入第二阶段一一屈服阶段。应力在较小的范围内波动, 而应变却显著增加，应力一应变曲线

3、呈现水平锯齿状，这个现象称为屈服。此时 的应力值称为屈服应力或屈服点，用bs表示。其中屈服阶段内的最髙应力值称为 上屈服点（C点）；最低应力值称为下屈服点（D点）。屈服是由于材料内部晶体滑 移而致，这是低碳钢（多晶体）和具有与其类似组织的金属所特有的现象。超过屈服点，进入第三阶段一一强化阶段。此时应力随应变的增加再次增加， 但不再是线性关系，这种现象称为应变硬化。在强化阶段的末端F点，应力达到 最大值，称为抗拉强度，用bb表示。此后，进入第四阶段一一颈缩破坏阶段。在试样的局部范围内，横截面面积 急剧变小，发生所谓的颈缩现象。变形集中在颈缩处，该处的真实应力大大增加，直至试样断裂。在试验过程中，

4、若在强化阶段的某点F停止加载，并将载荷逐渐减少至零（称 为卸载），可以看到，卸载过程中的应力一应变关系仍保持线性关系，称为弹性卸 载定律。即而1几乎与刃平行，如图3-1所示。如果卸载后立即加载，加载路 径$可基本上沿而1上升，这时新的b &曲线为01F/G。从图3-1上可以看 出，预先受到超过屈服点载荷的试样，其比例极限bp得到提髙，而断裂时的塑性 变形将减小，这种现象称为冷作硬化。工艺过程中的辗轧、冷轧、冲剪、喷丸处 理都会对材料造成不同程度的冷作硬化。工程中常借此提髙某些构件在弹性阶段 的承载能力。如图2-1a所示，若试验前试样的标距为Z,拉断后的试样标距改变为厂。则 比值l-lX 100

5、%(3-1)称为伸长率。若原横截面面积为4拉断后的最小横截面面积为A,则(3-2)称为断面收缩率。3和都是表示材料具有塑性程度的标志，它和屈服点、抗拉 强度等都是选材的重要指标。一般认为3 $5%的材料为塑性材料，3 5%的材 料为脆性材料。图3-2a所示为其它一些塑性金属材料拉伸时的应力一应变曲线。图中曲线1、 2、3、4分别对应于猛钢、硬铝、退火球墨铸铁和低碳钢，前三种材料没有明显的屈服阶段。由于工程上一般不允许构件产生较大的塑性变形，常取屈服点作为 塑性材料强度的极限应力指标，对于无明显屈服阶段的塑性材料，将产生不影响 实用的塑性变形量的应力值作为屈服点，称为条件屈服强度，用C0.2表示

6、，即取塑性应变为0.2%时所对应的应力值作为6.2,见图3-2b所示的S点。图3-2其它塑性金属材料的拉伸应力一应变曲线低碳钢材料压缩试验的应力一应变曲线见图3-1所示的虚线，与拉伸（实线） 相比，在屈服阶段以前，两曲线表现 出来的性质相同，低碳钢压缩时的比 例极限帀、屈服点沢、弹性模量F均 与拉伸时大致相同。屈服阶段以后， 试样越压越扁，并不断裂，由于两端 的摩擦力使其横向变形受阻，圆柱形 试样成为腰鼓形。脆性材料的典型代表是灰铸铁， 其应力一应变曲线如图3-3所示，实 线为拉伸曲线，虚线为压缩曲线。由 于没有明显的屈服现象，通常用抗拉（压）强度作为其强度指标。灰铸铁拉伸时， 由于其抗拉能力

7、很差，在拉应力作用下沿横截面断裂；压缩时，破坏断面的法线 大致与轴线成45 -55的倾角，表明试样是由于切应力引起斜截面相对错动而破 坏。灰铸铁的抗压强度册。是抗拉强度中的45倍，抗压能力比抗拉能力强是脆 性材料的特点。表3-1列出了工业上常用金属材料在轴向拉压时的主要力学性能指标。表3-1几种常用金属材料的力学性质材料名称牌号屈服点os /MPa抗拉强度ob /MPa抗压强度obc /MPa伸长率矗5(%f用途普通碳素钢Q23523537550021 26普通零件Q27527549063015 20优质碳素钢3531553020转轴、螺钉、 连杆等4535560016齿轮、轴等低合金钢15M

8、nV39053018起重机、吊钩、 容器、车架16Mn34551021合金钢40Cr7859809连杆、重要凶轮、轴30CrMnSi885108010球墨铸铁QT4503304505曲轴、齿轮、 活塞QT6004206002灰铸铁HT150150650轴承盖、机座、E轮HT250250750壬自PI .tfe.LY1111024021042018航空构件、挪钉LD92804203内燃机、活塞铜合金Qal9230045020 40船舶零件QA19420050060040齿轮、轴套S5表示标距l=5d的标准试样的伸长率。第二节高温下材料的性质一般金属材料随着使用状态温度的升髙，其弹性模量、抗拉强度

9、等指标会降 低，而伸长率、断面收缩率则变大，最终成为非弹性状态。图3-4所示的是低碳 钢在短时间髙温拉伸试验时的结果，可以看出，有关强度和变形的诸性质由于温 度不同而产生了复杂变化。在某一温度下，对构件施加一定的应力时，随着时间的增加应变不断增长的 现象称为蠕变，图3-5所示为一般的蠕变曲线。应力和温度越髙，蠕变的速度即蠕变速率越髙，蠕变速率为一定值的稳定蠕变阶段逐渐消失。另一方面，如果应 力变小，蠕变速率降为零，使用寿命几乎可以看成无穷大，在某应力中最大的蠕 变称为相应温度下的蠕变极限。图3-4高温下低碳钢力学性质的变化图3-5蠕变曲线与蠕变有密切关系的现象称为应力松弛。这是在施加应力后，将

10、应变保持为 一定值时，所加应力随时间的增加而逐渐减少的现象。蠕变与松弛的计算将在材 料力学(II)中介绍。温度变化是影响材料性质的一种因素，即使外部没有载荷作用，由于材料自 身的膨胀或收缩也会产生应变，这种应变称为热应变。当膨胀或收缩完全自由进 行时，不产生应力。如因某种原因约束了材料的膨胀或收缩，则在内部会产生抵 抗热应变的应力，这种应力称为热应力。例如在温度为时长度为/的直杆，在温度变化到T时，杆自由伸缩量/可 用下式计算Al = a(T - T0)l(3-3)其中a是线膨胀系数，对于不同的材料有不同的a值，在弹性范围内，当温度变 化不大时可认为其为定值。这里，若将图3-6所示的杆两端固定

11、，热应变 Al/l = a(T - T0)完全受到阻碍时，在杆中产生的热应力b可用下式表示o = -E牛=-Ea(T 一 T0)(3-4)当 CTo时，a是压应力，当TTI 1+a (TTo)图3-6直杆的热变形若试样缺口处的横截面面积为d,则冲第三节加载速率对材料力学性质的影响加载速率对材料的力学性质会产生较大的影响。变形速率用de/d/表示。如 果变形速率太大，由于材料的塑性变形来不及进行，材料的断裂过程将要更加复杂。但材料的弹性变形不受变形速率的 影响，这是因为材料内弹性波的传播远 大于一般受力物体的变形速率。图3-7 所示的是不同变形速率下低碳钢的应力 应变曲线。由图可见，随着变形速率

12、 的提髙，材料的屈服点、抗拉强度6 也提髙，但材料的塑性变化不大。对于 低塑性材料，随着加载速率的提髙，其 塑性降低，脆性断裂的倾向增大。由冲击试验可看到加载速率对材料 力学性能的影响。冲击试验的目的是测 定在单位面积上材料对冲击载荷的抵抗 能力，这种能力称为冲击韧度。图3-8 所示为冲击试验简图，有关试样和冲击 试验机的详细资料参看材料力学试验书 籍。由试验机可测得试样吸收的能量E, 击韧度氐为aKE_A(3-5)图3-8冲击试验简图OK值越大，表明材料的抗冲击能力 愈强。由试验知，脆性材料的冲击 韧度值远比塑性材料的低。另外， OK值与试样的尺寸、缺口的形状有 关，因此必须统一用标准试样测

13、定 的值才能相互比较。应该指出，温度对OK值的影响 最大。图3-9所示为低碳钢的aK值 随温度的变化规律。由图可见，冲 击韧度aK值随温度的降低而减小。 当温度降至某一数值时，aK值突然 降低，这种现象称为材料的冷脆性。 发生冷脆性现象时的温度称为临界.UOO丿%0 _1_1_L-80 -60 -40 -2002040t/ C图3-9低碳钢的冲击韧度随温度变化的曲线温度。材料的冷脆性反映了冲击载荷对材料性质的影响。在常温、静载下具有良 好塑性的材料，在低温冲击载荷下却表现出脆性。第四节材料的疲劳强度前面介绍的屈服点和抗拉（压）强度是在静载荷作用下材料能承受的应力。 但是构件在随时间变化的载荷即

14、交变动载荷的长期作用下，即使应力低于屈服点 也会发生破断现象。长期受到这种交变动载荷作用的材料所能承受的应力比受静 载时要低的现象称为疲劳，因疲劳引起的破坏称为疲劳破坏。疲劳强度是材料的 另一个重要的力学性质。为了研究材料的疲劳强度，通常给试样加一个如图3-10所示的以时间为变量 的正弦波交变应力，通过疲劳试验可求出材料到破坏时能经受的循环数N。设图 中交变应力的最大值为Omax,最小值为Olrnn,则=(CTmax - CTmln ) / 2称为应力幅， bm = Omax + 0)/2称为平均应力。Om = 0这种特殊情况称为对称应力循环。 另外Oax = 0或Omin= 0情况称为脉冲应

15、力。疲劳试验虽有许多类型，但最有代表 性的是旋转弯曲疲劳试验，将静弯曲载荷作用于圆截面直杆，同时使其旋转，这 样就对试样表面的点交替地施加最大拉应力和压应力，而在中心保持为零应力。 详尽的试验方法参看材料力学试验书籍。对同一种材料，用一组光滑小试样，承受大小不同的应力，进行多次疲劳试 验，可求得交变应力的Omax与试样破断的循环次数N之间的关系。若在横轴表示 N的对数，纵轴表示omax的方格纸上画出试验结果，对于钢材就有如图3-11所示 的曲线，称为应力一寿命曲线或S_N曲线。曲线趋于水平时的最大应力omax 被当作临界应力，称为疲劳极限或持久极限。应力在这个极限值以下时可认为试 样经过无限次

16、循环也不破断。图3-10交变应力波形图3-11应力一寿命曲线常温下的试验表明，若钢试样经历107次循环仍未破坏，则再增加循环次数 也不会破坏。所以就把107次循环仍未破坏的最大应力规定为钢的疲劳极限。有 色金属的SN曲线无明显趋于水平的直线部分，通常规定108次循环仍未破坏的 最大应力作为“条件”疲劳极限。疲劳极限和条件疲劳极限统称为疲劳强度。疲劳强度还受材料的表面状态、构件形状和尺寸、载荷种类、周围环境条件 等许多因素的影响。另外，飞机、汽车等所受的往往不是如图3-10所示的应力幅 为常数的简单交变应力，而是应力幅随时间复杂变化的变应力作用。用应力幅一 定时的试验结果，去推定这种情况下疲劳强

17、度的方法是迈因纳提出的线性累积损 伤定律，称为迈因纳(M. Miner)定律。该定律是在假定疲劳损伤成线性累积的 情况下被导出的。所以可表示为：对不同的应力幅6, 02,，o的疲劳破坏循环数分别为Ni, N2,，M时，如果在对应的应力幅下连续循环ni 2, %次，这时发生疲劳损坏的准则是 = t命=弗+養+俞二1(3-6)称为疲劳损伤。虽然上式并非所有情况下都成立，但在推定实际工作应力下的 疲劳寿命时具有重要意义。对疲劳破坏的详细论述见材料力学（II）。第五节许用应力和安全因数为了使机械和结构物在使用过程中不发生破坏，也不产生损害其性能的变形, 载荷在各构件上产生的应力必须限制在某个数值以下，

18、这个被容许的最大应力值 称为许用应力。确定许用应力时要考虑载荷的种类、温度等环境状况和其它许多 使用条件。在一定的条件下，材料的强度按一定的标准确定。材料的标准强度一般是指屈服点、抗拉（压）强度、疲劳极限、蠕变极限等。 例如，塑性材料在常温下受静载作用时取屈服点作为标准强度，受交变载荷作用 时取疲劳极限作为标准强度等等。总之，必须根据使用情况选择适当的材料强度 作为标准。但是，实际使用中还不能以标准强度作为许用应力。由于无法预料到使用中 可能出现的问题和环境状态的变化，构件可能承受比预期略大的载荷，加上构件 应力计算的不准确性、材料的不均匀性、加工和装配的缺陷等因素，所以，只有 将许用应力取得

19、比标准强度小才能保证构件安全工作。标准强度与许用应力的比 值称为安全因数，其值必须大于1。安全因数的选取，涉及到安全与经济的关系。 安全因数过大将造成结构笨重、材料浪费和成本提髙；过小的安全因数又会使安 全得不到保证，甚至会发生事故，因此，在结构设计中必须采用适当的安全因数。 确定安全因数的数值一般应参照类似结构物以往所取得的经验数值，按照不同情 况来决定。对于飞机、船舶、建筑物、压力容器等分别有不同的标准，可供设计 时参考。第六节轴向拉压杆的强度及变形计算在求得轴向拉压杆横截面上的最大正应力Eax后，令其小于或等于材料的许 用应力b就可以保证轴向拉压杆安全工作而不破断，故轴向拉压杆的强度条件

20、 可用下式表示omaxW b(3-7)使用上式可对构件进行强度校核、设计截面尺寸和确定结构的许用载荷三方面的 强度计算。例3-1图3-12a所示的托架，为圆截面杆，直径d=32mm, 杆由两根 N巧槽钢组成。材料均为Q235钢，其许用应力b =120MPa,求该托架的许用载 荷F。若Q235钢的弹性模量=210GPa,试计算F作用下B点的位移。解：(1)求许用载荷鬥取结点B为研究对象，受力如图3-12b所示。由平衡条件易得Fni=1.67F, Fn2=1.33F按dB杆计算，根据强度条件有11n x322F W 丄bd =丄 x 120 xN = 57.8kN1.6711.674按BC杆计算，

21、查型钢表哑5槽钢横截面面积d=6.928cm2,根据强度条件有F W bd2 =占 x 120 x (2 x 6.928 x 102)N = 125.0kN故该托架的许用载荷FW57.8kN。(2)求许用载荷F作用下B点的位移为了求解B点的位移，将两杆假想地从B点拆开，各杆沿所受轴力方向分别 自由缩伸至B1和B2点，如图3-13所示，由于两杆在B点应该钱接，因此B点的 最终变形位置应该是分别以C、d点为圆心，CB1、亟为半径作出圆弧的交点 B。为简化计算，考虑到小变形假设，在实际计算中可以用过B- B2点的两条切 线亚和B；歹分别代替两条弧线，交点也就相应地变成B 点。B点的位移就是 |BB在

22、载荷F作用下，dB和BC杆内力分别为JFN1 = 1.67F = 96.5kNFN2 = 1.33F = 76.9kN利用胡克定律计算两杆的变形量F l l1=96.5 x 103 x J1.82 + 2.42 x 103 x 4210 x 103 xnx 322mm = 1.71mm（伸长）AI276.9 x 103 x 2.4 x 103210 x 103 x 2 x 6.928 x 102mm = 0.63mm (压纟筍maxA得到等直杆的横截面面积为YlW Qc3 000 x 103AN / y 厂 106 - 25 x 103 x 30m2 = 12 m2利用图3-13所示的变形图，

23、可以采用图解法量出B点的位移3=|BB|,也可用解 析法计算得到3Bx = Al2 = B1 b = 0.63mm3By = |B1 B31 + |B3 B = Al1 sin a + (Al2 + Al1 cos a) cot amm = 3.69mm1.71 x18 + (0.63 +1.71 x 耳)x 24331.8SB =32x + 32y =yj0.632 + 3.692mm = 3.74mm这种在小变形下，用切线代替弧线计算 结构位移的方法在求解超静定问题，特别是 轴向拉压超静定问题中使用较为广泛。例3-2石桥墩的顶面作用轴向压力F=3 OOOkN，已知桥墩高度为l =30m,材

24、料 的许用压应力为oc=1MPa ,弹性模量 E=8GPa,重度Y=25kN/m3,试按照等截面直 杆和各横截面应力相等的变截面杆，分别设 计所需要的横截面面积，并分别计算桥墩的 总重和两者的轴向变形。解：（1）按等直杆设计桥墩（如图3-14a 图3-13所示）显然危险截面为轴力最大的底面，由强度条件桥墩总重为Gi = ViY = AY = 12 x 30 x 25kN = 9 OOOkN轴向变形为A li你i EA(2)按各横截面应力相等设计桥墩(如图3-14b所示)从x截面截取dx微段为研究对象，如图3-14c所示。根据题意，dx段上下两 截面上的应力均为oc,由平衡条件有工 Fx = ：

25、oc A(x) + YA(x)dx - ocA(x) + dA(x) = 0对上式两边进行积分，得到In A(x) = Y x + Coc积分常数C可利用杆顶端的边界条件确定，即F 2 x = ： A() = A =3m2 oc得到积分常数C = InA,代入式(b),即得横截面沿杆长的变化规律为Y25x13(a)(b)(c)(d)A(x) = A=3e 后 =3e o025x桥墩总重为(30G? = V?Y = YI A(x)dx = 3 351 kNJ 0轴向变形为A12 = |ddx = d |dx = dl = 3.75mm2 Ji EA Ji EE Ji E任意横截面上应力都相等的杆

26、件称为等强度杆。由上题可以知道，从节省材 料的角度来看，等强度杆最经济。但由于加工困难，工程上常采用阶梯杆或锥形 杆来代替等强度杆。第七节简单拉压超静定问题由理论力学可知，所有约束反力能通过静力平衡条件求解的结构称为静定结 构，否则称为超静定结构(或静不定结构)，如图3-15a、图3-16a所示的结构。超 静定次数可通过约束反力的个数减去独立平衡方程的个数得到，图3-15、图3-16 所示的结构均为一次超静定结构。求解超静定结构约束力问题称为超静定问题。 下面通过例题来说明拉压超静定问题的解法。例3-3三杆桁架结构如图3-15a所示，已知1、2杆尺寸及材料相同，抗拉 压刚度为E1A1, 3杆的

27、抗拉压刚度为EA 试求在垂直力尸作用下各杆的内力。解：由图3-15b所示的受力图列静力平衡方程工 Fx = 0 ： FN2 sin a - f sin a = 0工 F = 0 = FN3 + 2FN1 cos a- F = 0可见，凭两个静力平衡方程无法求得三个未知力耳1、Fn2、Fn3,必须寻求补充 方程。由于1、2两杆材料相同，结构左右对称，所以桁架变形也对称，仿照例3-1的“以切代弧”法作出桁架的变形图，如图3-15c所示。有如下变形协调方程A I、= AI3 cos a（b）All和A/3可以由胡克定律求得A1、=你11, A l3 =厶1Ei Ai cos aE3 A3这两个表示变形与轴力关系的式子称为物理方程，将其代入式（b）,得到Ei Acos aFn3_E3 A3cos a(c)(d)这是在静力平衡方程之外得到的补充方程。将式（a）和式（d）联立，可解出FE1A1 cos E1A1 cos3 a + E3 A3 aFE3 A32E1A1 cos3 a + E3A3计算结果表明，各杆的内力分配与各杆的刚度有关，这是超静定结构的特点之