材料力学教材(PDF)_cl05

1、第五章梁的基础问题第一节平面弯曲的概念结构物中的杆件，在主要承受垂直于轴线的载荷作用时称为梁。轴线是直线 的称为直梁，是曲线的称为曲梁。工程中常用的梁，其横截面大多具有纵向对称轴，对全梁来说，则具有纵向 对称面，如图5-1所示。若所有外力都作用在此纵向对称面内，由对称性知道， 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内，这样的弯曲称为平面弯曲。有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。即使是对称 梁，当载荷作用在对称平面外时，其变形也会呈复杂的状态，此问题将在第六章 中讨论。本章仅讨论直梁的平面弯曲问题。第二节梁的载荷及计算简图一、梁的载荷及支座反力作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力。

2、如表5-1所示，作用在梁上的载荷大致可分为集中力、分布载荷和集中力偶。 集中力作用在梁的一点，如表5-la所示。分布载荷犹如在梁上放置的砂那样，沿轴线x分布作用，其大小用载荷集度q(x)表示，如表5-lb、c所示。q(x)为常数 时称为均布载荷。表5-ld所示的是用两种方法表示的集中力偶，它是由大小相等、 方向相反、作用线不在一条线上的一对力构成的力偶。对于梁的支座则应根据梁受约束的情况加以简化。当载荷为平面力系时，梁 的支座可分为：滑动较支座、固定较支座和固定端三种形式。表5-2示出了各支 座的简化画法和支座反力。表5-2梁的支座及支反力名称图示法支反力支反力数滑动 较支座”(FRy1 Fy

3、)固定 较支座d(Fr2(Fr, Fr)|5|疋$而/(3(Frx，F-Ry, M)二、梁的分类及计算简图通常我们用梁的轴线代替梁，将载荷和支座加到轴线上就构成了梁的计算简 图，如表5-1所示。根据不同的支承方式，可对梁进行如下分类：a）悬臂梁，b）简支梁，c）外 伸梁，d）固定梁，e）连续梁，f）半固定梁。表5-3列出了各类梁的计算简图及支 反力数。在表5-3所列的各梁中，前三种梁的支反力数与平衡方程数一致，解这些方 程就可以求得支反力，这样的梁称为静定梁。后三种梁的支反力数多于平衡方程 数，称为超静定梁。表5-3梁按支承方法的分类梁的名称图示法支反力数a）悬臂梁/3劭b）简支梁/3 (2)

4、c）外伸梁/)/ /3 (2)d）固定梁6 (4)e）连续梁77/ / / /9/5 (4)f）半固定梁/4 (3)若轴线方向支反力为零，则支反力数减少为（）内的数.第三节剪力与弯矩在载荷作用下，梁处于平衡状态。设想将图5-2a所示的简支梁沿1 1横截 面截开，如图5-2b所示，分别考虑左、右两部分。现考查左边部分，其上作用的 外力有，根据静力平衡，右边部分必须对左边部分有作用力。因此1 1截面 上的内力有沿y轴方向的剪力和弯矩。剪力是与截面相切的分布内力系的合力， 用符号尺表示；弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，用符号M表示。在1 1截面处，梁的右边部分使左边部分受到的剪力Fqi、弯

5、矩Mi,与梁 的左边部分使右边部分受到的剪力Fqi、弯矩Mi是作用力与反作用力的关系，其大小相等而方向相反。一般用表5-4来规定Fq、M的符号。剪力的符号规定为： 使假想截面的左侧（左段的右端面）向下位移时，截面的右侧（右段的左端面）向 上位移时的剪力为正（+）,反之为负（_）。弯矩的符号按如下原则规定：凡使梁上边被压缩、下边被拉伸的弯矩为 正什），反之为负（-）。根据以上符号规定，无论考 虑假想截面的左右哪一部分，都 可以根据平衡方程求得剪力Fq 和弯矩Mo假设取左段部分研究, -W卜刘天糸成31即梁任一横截面上的剪力Fq,其数值等于该截面左侧所有外力的代数和，并且向 上的外力产生正的剪力。

6、梁任一横截面上的弯矩M,其数值等于该截面左侧所有 外力对截面形心矩的代数和，且向上的外力和顺时针的力偶产生正的弯矩。表5-4梁的变形及内力的符号变形形态符号Fq, MFq, M引起的变形剪力Fq厂时亡 - -1F忙门卜+(Fq0)二仏1=FqQ二 f(Fq0)MURM(M0)例5-1求图5-3所示简支梁1 1与22截面上的剪力和弯矩。 解：首先求支座反力FAy = 15kN , FBy = 29KN利用式（5-1）可得Fqi = FAy - F = (15 - 8)kN = 7kNMi = (FAy x 2 - F x (2 - 1.5)kN m = (30 - 4)kN m = 26kN m

7、同理F (=8kN)2mFAy1.5m1.5m3mFQ2 = FAy - F - 1.5q = (15 - 8 -1.5 x 12)kN = -11kNM2 = (4.5FAy - 3F - q x 1.52 /2)kN m=(4.5 x 15 - 3 x 8 -12 x 1.52 /2)kN m = 30kN mq=12kN/m1.5m I；Fq(x) = -F(a) b)FI/x勿,1 l(/图5-3例题5-1图第四节 剪力图与弯矩图（Fq、M图）若沿梁的轴线方向取坐标x表示横截面位置，则梁的各横截面上的剪力和弯 矩可写成坐标X的函数Fq = Fq(X)M = M (x)以上关系式分别称为

8、剪力方程和弯矩方程。以纵轴代表内力大小（规定向上为 正），横轴为轴线方向，按上述关系式作出的函数曲线称为剪力图和弯矩图。按此 约定，弯矩图将画在梁的受压侧。下面用例题说明剪力图和弯矩图的作法。例5-2作图5-4a所示悬臂梁AB的Fq 图、M图。解：距左端为x的截面上的剪力方程 和弯矩方程分别为M （x） = -Fx（b）式（a）说明Fq为一负常数，故Fq图 为一水平直线，如图5-4b所示。式（b）说 明M是x的一次函数，故M图是一条斜直线，只要确定其上两个坐标点便可作出弯矩图，如图5-4c所示。可见在固定端 弯矩的绝对值最大，其值为MUax=F1。例5-3图5-5a所示的简支梁受均布载荷q的作

9、用，作该梁的Fq图、M图。 解：该梁的支座反力为FAy = FBy = Q1 /2a)剪力方程与弯矩方程为Fq( x) = _ qx M (x)=企 x -疋2 2(a)(b)式(a)说明Fq图是一斜直线，且 在 x= 0 处，Fq=q2 ； x= 1 处，Fq= -ql/2。 连接这两个坐标点作出Fq图，如图 5-5b所示。b)c)式(b)说明M图是x的二次抛物线。由式(b)可求出M(x)的一些对应值如 下表，连接这些坐标点，即可作出弯矩图，如图5-5c所示。x00.25/0.510.7511M (x)03q“/32q12/83q12/320由图可见，最大剪力发生在支座截面处，其值为|FQ|

10、max=q2；最大弯矩发生 在中央截面处，其值Mmax=q12/8，注意到该处的Fq=O。例5-4在图5-6a所示简支梁AB的C点处作用一集中力只作该梁的Fq图、 M图。解：求出支座反力Fb厂FaFBy =T分段写出剪力、弯矩方程AC：F =冬Fqi = 1M严、1 1 1(0 xi a)(OW xi W a)CB：Fq2M 2FaTFa=T (1 - x 2)(aVx2 1)(aWx2W 1)(a)(b)(c)(d)由式（a）、式（c）可知，Fq图在dC段为正的水平直线，在CB段为负的水平直线，如图5-6b所示。由式（b）、式（d）可 知，两段梁上的M图均为斜直线，因此可 分别定出两个坐标点作M图，如图5-6c 所示。由图5-6b、c可知，在集中力作用的 截面，剪力图发生突变，弯矩图发生转折, 其突变值等于集中力的大小，突变方向沿 集中力作用的方向。例5-5图5-7a所示简支梁的C 点处作用一集中力偶胚，作该梁的Fq图、 M图。解：求出