2001-12南开大学高等代数 (1)

1、南开大学2001年研究生入学考试试题考试科目：p等代数前面为解析几何四.（10分）设于3）是复数域上首项系数为1的ng多项式X/(x)=(广(x) J(x)=(x bi)(x - &2), bi = &2且力-是尸仗）的k重因式（这里f;（x）是f（x）的一阶微商），问于（x）二?为什么?325 16 20 34 1五.（15分）判别4 =2 6 10和方=6 32 51(1 2 3 丿i 4 20 32 丿8.(15 分)是否相似，为什么?如1力1 + 122 + + lnn = &1,021力1 + 222 + + 02nXn = &2,mll + m2x2 + + mnxn =bm-有解

2、.如t是满足1 t “的一个固定的正整数，试证明线性方程组任一解（Cl, C2, - ,Ct, - ,Cm）均 有 = 0的充分必要条件是的增光矩阵刁去掉第t列所得矩阵的秩等于秩A=1.七.（15分）设V是数域P上的n维线性空间説:V T U是线性变换，秩4 = r.证明:存在V的基01,02，0n及可逆线性变换3 : V T V满足BA（ki01 +爲02 + + kr0” + + kn0n = k0i + 斤202 + + kr0” -1.（15分）设V是n维欧式空间Di和0,02是V中的两对向量.如|&1| = |0i|,|2| = |021且Qi和&2的 夹角等于01和02的夹角.证明

3、存在一个正交变换貝:V T V满足貝（Q1） = 01説（Q2）= 02.為砂考试科目：空间解析儿何与高等代数 专收：院，所各专业il20分）设a=l , 0.1,片1 = 02为两个矢显-（1）求过点A（1.1J）且与矢盘a和0均垂更的直线方程;（2）求过点A（lJ,l）h与矢建a和0所夹锐角的角平分线平行的直线方程. 121（10分）求过点MuunJ平Ij r化筑（x= i,i和p= i.0.21的平而k；112（2）求平而71与桶园血-工二I的交线在心八血上的投影22 丙（3| （20分）（1）求下而向览组的加右极夫线性无关组a=（4, -1, 3, -2h a2=（3. -2, 6,

4、-4）. a,=（3, 1.4. -2）, a=（6, -2 8, -4）|4 （15分）设V是n维欧氏空冋，匕和也是V的两个子空何，且V,的维数大 于V,的维数.证明：V,中存在非零向盘与中毎个向區均正交.（15分）设V堤n维线性空何，p,屮：VtV是线性变换，且平屮二屮p. 证明：如（P有n个不同特征值，则V中存在由屮的待征向蜀构成的基（6（20分）设/g和，心）是正定二次型.g（xx:，.心）是实二次型.证明: 存在一个非退化线性变换把/（兀,.心）化为规范形,同时把g（石，心,.,x”） 化为标准形.注：英试卷共4道大越，谆在養楚礙上答赵，注意写清題号.判断题.判断下说论變是芳正繡.若

5、正漏，给出範垂迂珂；若不正 科，请举反例说明.(爭卜題6分.共24分)土果向量ai：n：2, .Q，n生我子空间5.刪S询淮攻十m. ft A * 方停,且 A3 = A2. A * 0, !屮=.1.设V是孜放P n推线性空间.% % .是戋性变换.如 dimHj = dim/(ITt). i = l,2.则/一走是満射设F是叟玫疑Q上的n淮线性空间，/ :t是戋拴变饌.刪V中存左唯一的基(垄向量的次产徐并)使f左这一级荃下的距 萍为若当徐准形.二计算下列行列式的值c/o + 加:？ cin 4- bClt (io + 血1，2 0“ 十 2(n其中71三3.(本更20分)设V是数城P上的3

6、维线性空阿.线性交换/ ： V -4 V在I 的基el?e2,e3下的距徉专2 -1 2 5-33-1 0 -2丿求线性变换f主卜为垄心们+.叫+。3下沟；车;艮绘性交谡f的羚吒宝P逹汪向咗；线总交换/可舌庄的芝爼妖下适芳勺对旬彤.为-纟. (卞題巧 :r)夾3 第I页 四 设W是数域P上3维线性空间，线性变换/:V- V在U的 基ei.e,e3下距阵为为什么？（本题15分）设氏4是具有通常为积的欧氏空间，是腱心的子空间.（1）如w是下列方程组r2Il-X2+3X3-X4 = 0J 3X1+2X2-2X4 = 03X1+X2+9X3-X4 = 0的解空间,求W =? W在R4中的正交补【卩丄=

7、?（2）求IV和W丄的标准正交基.（本题16分）设A Rnxn,已知月在nxn中的中心化子C（A） = X eRnxnAX = XA是Rnxn的子空间证明：当.为实对称矩阵时，C（.4）的维 dimC（X） n,且等号成立当且仅当A凉“个不同的转征值.（本题20分）设#是实孜域展上的维线性空间，是7的子空间， 且 Wr n w2 = 0.（i）如（）（，）2分别是汁1柯H；上的力积，证明：左夕r上的力孰 仁）满足（，）|皿=（，）i, i = 1,2：足（1）中的内积（，）是否唯一，为什么？（本题20分）设.4 = （aM）nxn为数域P上的可逆拒F丰，A = B = （L ,i = 1,2：

8、血=Ej=i bucj = 1,2, ,?!. 匹Jnxn,试证明：ndet C = det A（1 +t=i0分）南开大学2004年研究生入学考试试题 考试科目：p等代数1.（15分）设n阶行列式a11a12 a1na21a22a2nan1an2 ann且满足aij = -a.ji, i,j = 1, 2, -,.对任意数b,求n阶行列式an + ba12 + b am + ba21 + ba22 + b a2n + ban1 + ba他2 + b ann + b2.（20分）设A,B分别为数域P上的m x s矩阵和s x 矩阵，令AB=C.证明:如秩4 = r,数域P上 存在一个秩为min

9、s - r,n的m x s矩阵D,满足对于数域P上任何方阵Q,A（DQ + B） = C.为数域P二阶方阵，定义2x2上变换厂如下：a（X） = AX - XA, X G P2x2.1）证明厂为线性变换;2）求b在基Eh,E12,场1,场2下的矩阵，其中E110 1 /3）证明b必以0为特征值,并求出0作为b的特征值的重数.a11a12 a1na21a22 a2nan1,1an1,2 an1,n4.（2 0分）设人=的行向量组是线性方程旳+力2 + + xn = 0的解.令皿表示A中划出1i列的n-1阶行列式.证明:n刀M = 0 A = 0的行向量组不是力+ X2 + Xn = 0的基础解系

10、.i=ln令刀 Mi = 1,求M =?i=l(15分)给定哽2X2标准度量.求出哽2X2中所有保持下列正方形(其中A=(1,1),B=(-1,1),C=(-1,1),D=(1,-1)体不变(即正方形四条边上的点经过变换后 仍落在这四条边上)的正交变换.(20分)设V为n维复线性空间.M是V上一些线性变换组成的非空集合.已知M中的元素没 有非平凡的公共不变子空间.又线性变换3满足AB = BA, VA g M.证明:必存在复数入使得3 = XI，其中Z为恒等变换.(2 0分)设于(xi,X2,x3,x4) = X，AX为实系数二次型,A的特征值为入i = 1(二重)和入2 = 1(二重)知1

11、= (1, 1,0, 0)和2 = (1, 1,0, 1)是属于入I = 1的特征向量.求二次型/(Xi,X2,X3,X4) ?& (15分)在实n维线性空间哽n中是否存在线性变换A满足其中I为单位变换.证明你的结论.1. （20分）设n阶行列式1x1 + 1x12 + x1x2 + 1x22 + x21x3 + 1x32 + x31xn + 1xn2 + xnx1n-1 + x1n-2x2n-1 + x2n-2解：按次序第2行减去第1行，第3行减去第2行，x3n-1 + x3n-2，第n行减去第n -1行L xnn-1 + xnn-2x1x12x2x22xnxn2=n（ x； - X）.（利

12、用范德蒙德行列式）1ij nx1n-1xnn-1兀2 + 0X3 + bXq = 02.（ 15分）设齐次线性方程组，-X1 + % +此=0的一般解以X3, X4为自由未知量.0X1 + CX? - 兀4 = 0bX + dr? - ex3 = 0（1）求a,b,c,d,e满足的条件；（2）求齐次线性方程组的基础解系.1）解：设系数行列式 A =0-1由 A1 可逆，A=由 A1-1 =-10-e0A1 A2A1 A2A2 A3O A3 - A2A1 1A2-e，有 A2A1-1A2则 A3 - A2 A11 A2 =0-e-(ad-bc)A1A2A2A3（4为2阶方阵，i = 1,2,3）

13、=A1IA3 - A2A1-1 a2 = A3 - A2A1-1 &|0-1a b10c dac bd0bc - adad - bc 0-e+(ad-bc)0=(ad - bc)2 - e2，即 |A| = (ad - bc)2 - e2由(As - A2 Al- 力2)，又x3, x4为方程组的自由未知量，则A3 - A2A-1 A2 = O有 ad - bc = 0且 e = 0（2）解：由X3, X4为方程组的自由未知量，有n - r （A） = 2，即r （A） = 2则 A 由初等行变换可得 A =，则x3(c,-a,1,0y, x4(d，-b,0,1)构成方程的基础解系.3(20分

14、)1)一 531 _- 830_1-3-2，B=-590-521-2150，且 XA = B，求 X = ?已知 A =2)- 2 1 1 _1 b1 - 2 1，B=2 a1 1 2a 2已知 A =且矩阵方程AX = B有解，求a = ? , b = ? , X = ?-2111b000a+3a + b + 21-212a1-212a11-2a2_03-3a-22 - a _有 a = -3， b = 13+k1(1,1,1)，X2 = (|,|,0)+k2(1,1,1)，则 X =k15+ k1311 + k 2325+ k 232k241A21A311-1-3 _018111)解：由A

15、* =A12A22A32=91011， A =1-3-2_ A13A23A33 _13-25-18_052=19，则 AA*m O-830_1-1-3 _193857 一123_有 XAA = 19 X = BA* =-59091011=7695114，则 X =456-2150_13-25-18_133152171_789_2)解：由初等行变换A =由 AX = B 有解，则 r(A) = r(A) = 2，i=1,2)设X = (X, X2)，齐次方程AXi = 0的基础解系有n - r(A) = 1个矩阵ki (1,1,1)4. (20分)设f(g X2,x”)= X AX和g, %,

16、”)=YBY均为实系数上n元二次型，且存在实数域上 的”阶方阵C和D使得A = DBD，B = CAC .证明：f (兀,X2,Xn) = X和g(儿九,儿)=YBY具有相同的规范形.证明：由 A = DBD，有r(A) r(B)，同理由 B = CAC，有r(B) 0，又a Aa = 0，有g为正定矩阵由 r（G） = n，又 r （A） = n，则 P 可逆，即 p| = P 丰 0由0与a正交，有a 0 = 0，有P0 = 0，则关于0的方程只有零解，即0 = 0.& （15分）设V为数域P上n维线性空间（n 1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列a二使得a：1中任何n个向量都是V的一

17、组基.证明：取 V 的一个基 s1,s2,L,sn，令 sn+1 = S1 +s2 + + sn则在习,g2，,g”+1中取任何n个向量都线性无关，即为V的一组基重复过程 g”+2 =&2 +6 + + &”+1、&卄3 =6 +匂 + + 6+2、n+m =n + &m+1 + + &”+m-1令aKL = 6,二，则a二中任何”个向量都是V的一组基.1（25分）（1） A=2）试证明行列式-1-11-1127775113-1-11-1-1-1-11356925117259987719113343155的值能够被8整除.44，又A为A中的（i, j元素在A中的代数余子式，试求工Ai , j

18、= 1i, j=1j=1j=1j=1j=111111 - 1-1-11- 1 - 1-1- 1 1 - 1-1+1111+-11 - 1-1+- 1 - 1 1-1- 1 - 11-11111- 1 - 1 - 11- 1 - 1-11-1- 1 - 111）1 -1 -113j4解：工A4=5 Ai j4+5A2j +5A4+5A4j-11-11-1-111-1-1-1110001-2-2-21-2-2-21-2-2-2- 1 200+1000+-1200+-1200-1020-10201000-1020-1002-1002-10021000=8+8+8+8 = 322）证明：由各元素都为奇

19、数，第二、三、四行分别减去第一行，则后三行元素都为偶数1 12. （25 分）（1）设 A = 3121 1 0100B =012，试求 A-1，BA-.122）试将矩阵写成若干个形如与1 y0 11x01的矩阵的乘积.211100_03110-2_1）解：由初等变换31201004201-31- 1 00011-100011 - 201013122112211127913569771332511751432599131558771后三行每行提出2 ，则的值能够被8整除.111111222211531, BA1=3 一222223101022 _-2310232 32由351112，1 211

20、01110111011101112)解：23013511有 A - 1 =211111012 X + x2 + 3x3 X4 + X5 = 03. (20分)设线性方程组(3x1 + 2x2 2x4 + x5 = 0的解空间为V3X + X? + 9 X3 X4 + X5 = 0试求V在R (标准度量)中的正交补V丄的一组标准正交基.213121310000解：设 A =32021，由初等变换 A =320211060031911-31911-01910-则 V 由 n r(A) = 2个向量构成，久=(0,1,0,1,0)，02 = (6,0,1,9,0)，V =厶(久02)由R5 = VV

21、丄，则V丄由A的行向量生成，有厂=L(a1,a2,a3)其中a=(o,o,o,o,1)，a = (1,o,6,o,o)，a= (0,1,9,1,0)正交化，有 * = (0,0,0,0,1)，丫2 = (1,0,6,0,0)，Y3 = (54,37,9,37,0)单位伽1 =计=(0,0,0,04)，n(1,0,6,0,0)，nY|y|则n,n,n为v丄的一组标准正交基.(20分)设A为数域P上n ( n 3 )维线性空间V上的线性变换，A的特征多项式为 f (2) = X1 + an12n1 + a”222 + + a12 + a0.试证明a”2 = 2(tr A) tr (A2)，其中tr

22、表示线性变换的迹.证明：设A的特征值为X,X,L,X”，则A2的特征值为X,X,L,X”由f （A） = |2E - A = nd），其中E为7上的单位变换i =1利用根与系数的关系，有an _ 2 =工入a = 2（a +a2+An）2 -（A + A +A）=丄（力（a）2 - tr（a2） i = j22（20分）设f （X） = X AX是一个非退化的二次型，其中A为对称矩阵,证明：f可用正交变换化为规范形当且仅当A是正交矩阵.证明：（n ）设由f可用正交变换化为规范形，则存在正交矩阵T，使得T AT =EpEn-p=B由BB = E，则B是正交矩阵，由AA = （TBT）（TBT）

23、= TBT TBT = E，则A是正交矩阵.（u ）由A为对称矩阵，则A可对角化，又A是正交矩阵，则A的特征值只能为土 1._ E则存在正交矩阵T，使得TAT= p厂 =BE” - ppn取X = TY，有f (Y) = (TY)A(TY) = Y BY = y；-工y；，则f可用正交变换化为规范形.i = 1i = p + 1（20分）设M是Pnxn的一个非空子集.假定M满足下列条件:（1）M 中至少有一个非零矩阵；（2）VA,B e M，A B e M ；(3) VA e M，X e P，AX e M，XA e M .证明：M = Pnxn.证明：取任意A,B e M，有A + B = A

24、 (B B) B e M，则M对加法封闭. E取任意A e M且A丰O，存在可逆矩阵P,Q e P，有PAQ = re M，其中r(A) = r._On r _存在矩阵 B,C e P使得 BPAQC = BErOrC = R?ag1,0，,0 e M令P1 = BP，Q1 = QC，同理得到P2,Q2，使得P2AQ2 = zag0,1,0,L,0 eM重复过程，有 P1AQ1 + P2AQ2 + + PAQ = E e M对于任意 X e P，有 EnX = X e M，则 M = P.7.(2。分)设/为”阶方阵，将/作分块/ = 2其中A，A4分别为k阶和n k阶方阵(1 k n ).已

25、知A4为可逆矩阵.又B = (bi，b2,L,bn)为一个列矩阵，作线性方程组AX = B ,其中X = (%i，x2,l,x”),X, x2,xn为未知数.证明：A1 A2A；1 A3可逆，则线性方程组有唯一解；设 Bi = (bi，b2,bk )，B2 = (bk+1，bk+2,bn )，B3 = Bi A2A7B2 -若r(A - A2A；1 A3,B3) = r(A A2A；1 A3) r(A - A2A；1 A3)，则线性方程组无解；A A A A A i A O(1)证明：利用初等行变换|A| = A1 A2 = 12 4 3= A1 -A2A1 A3|a4|A3 A4A3A4由

26、A1 - A2A-A3，A4 可逆，则A丰 0，有 r(A) = r(A,B) = n，则 AX = B 有唯一解；_ A1A2B1A1- A2 A4 A3OB1 - A2A4b2_ A3A4B2 _A3A4B2(2)证明：利用初等行变换(A,B) =A1 - A2 A；1 A3 O b3 A3A4 B2 _若 r(A1 - A2A；1 A3, b3) = r(A1 - A2A；1 A3) k，有 r(A, B) = r(A) r(A1 - A2A-A3)，有 r(A, B) r(A)，则 AX = B 有无解.南开大学2007年硕士研究生入学考试试题学院： 数学科学学院考试科目：高等代数!专

27、 业：数学院、所各专业注意：请将答案写在专用答题纸上,答在此试题上无域! 一.计算题（60分）1.试求下列行列式的值：-25-131-91373-15528-7-10/ a 1 ax y 2.求3阶实矩阵1 a x +ay的秩. b c bx cy )3.设4, B为n阶实正定对称矩阵,C为任意阶实矩阵.试求分块 矩阵（W J的秩./6 324.设3阶方阵4 =1 52 .试将3阶单位矩阵厶写成人的多项U 13/式./-3 -1-n5.设 4 =1 -1-3试求4的若当标准形7,并求可逆矩阵71 0 02丿使得 T1AT = J.（20分）设U为数域卩上的耳维线性空间，,%是U的子空间, U

28、= H.又设仏是卩上的线性变换.证明：人是可逆的线性变换当 且仅当 V =Q A（V2）.:第1页共2页(20分)设U为数域卩上的有限维线性空间.对V中m个向量组 成的向量组S = 山,饷,定义严Xi中的集合s = 1,。2,，如1)血 6 P, ag +。2。2 + += 0.证明：WS为严xi的线性子空间；设S = ai,Q2,0 = ；,!；, ,必为两组向量组.证明: 存在卩中线性变换71使f(a)=况,Z= 1,2, ;/.的充分必要条件 是s U必，而存在可逆线性变换T使T(aJ = a；, 1 = 1,2,-.,m的 充分必要条件是Ws = W-(20分)设人为几阶正交矩阵且-1

29、不是4的特征值证明B = (A - /n)(A + In)-1 是反对称矩阵且A=(In + B)(/n- 3)-1.(15分)设卩为数域卩上的有限维线性空间.A为V上线性变换. 已知力满足44+/3一3力2一仏+ 2沁=0,其中况为恒等变换，又存在 一个非零向量V使得AS) + 2Aq) -4(q) = 3a.试问是否存在V 的一组基使得山在这组基下的矩阵为对角矩阵？说明理由.(15分)设4为允阶实正定对称矩阵,B为71阶实反对称矩阵证 明A-VB的行列式det(4 + B) 0.第2贞共2页南开大学2008年硕士研究生入学考试试题学 院：011隊省身数学研究所、0吃数学科学学060生命科学

30、学院 考试科目；802肓等牝数专 业基軸数学计算数学、槪率论与数理统甘、应用数学*生物信息学一、计算题（毎题12族60分一请写谢必要的计算涉驟）L设呼阶塞矩阵人=（知）“满足条持.鯨： 0, i =i l,2h 件， 0, . 卩）工二e厲k二12e 试或点的联r（A）.J . I.设=対数域F上的能阶方阵.定又円上的強性变换丁使T（x）= 冲垃 X 产.试求T的迹和行死式一妙为藝犠龌如,G_i P. 4/ 0Q l x j0、100 0亠X兰01D 0一54m）.证明：对任何I k 兽血丁 （本题器分）,四、设人M -人都是?i阶实对称正罡矩阵.证明：几一 A也是正定矩洙（本題15 分）1

31、!五、设/（y）为线性空间卩上的非退化双境性函数.证期：对千任何y V存在唯一 的a G V,使得g（0） = /（, /?）, VjS V.（本题 15 分） 六、设f为欧几里得空间1/上的城性变换，濒足条件%內W K （丁眄如=-匕、丁誚或（7,5/）=（H、Tg）至少有个成立.证尉；T或为对祢变换或为反对称变换.（本懸10分）七、设凡B劭71阶篡方阵7C = AB-BA.证明：如渠C与A可交换，刖U为無 零矩阵（本魁分）南开大学2009年硕士研究生入学考试试题常 曉：011陈省身数学研究所、012数堂科学学院 考试科目：302髙筹代数专 业：基硼数学、计算数学、攤率论与数埋统计、应用数学

32、、*生物信息学五谴冠濟有答蘇在专舟警靈祇土,痂竝题上无牌-、设线性变甌4在基S知他3下的矩阵为 TOC o 1-5 h z /I 20 IX3 0-12 A =.2 531U 213 丿过求貝在基G , 】+旳用】4曲+说、0| +电卡口3扌仇下砲矩阵（本题20分）二、谊/ 1-1iI1 1=-L1-！-1-1-i11在F1上定义践性变换貝A（X） = AXt X PW 试求1的像inHH） &kerM）的地数却十磁（本題20分）三，试决定当实数為取何直时，窕元宴二出型/（两该珈）=（萄卜礙籬十!海十瞬彳严+（%屮卡1籍j+h倉邀筍y是疋罡的？ （20分）四、设o定.且在RTL1上的标准度衆下

33、“为单位向捷.还胆：必存在一Z 阶实对療正交矩阵卫使欝起的第一列，（寧题20分 五、垃讨为数域卩 打加维线性空飢貝为貯上的城性变换比4的t（A） = 1. 证明：如果/不可对角化，则必是幕零的一（嵐軀15分）乳、设儿E为你阶复方眸，证胆: AB + A BA- A育相阀的特征值丽且毎 牛将证值的重薮椰榕岡（莖题15分）七、谩A, B是?1阶(实)正交矩阵且tletfX + 2?) deM - det B.证期: del A detB.(齐题 15 分)八、= 曲从月=佝几曲为数域P上的叽附頁阵，浦足张枫 = 矿5 其中b询一个非零常數.柞塩性方程組(I): AX = C及(II)： BX二D.

34、试证明 方程绘对任何C e PnKl荷解当且仅当力程组)对任何D e Pxi有解-体題5九 D.2.阳IM屮元捷全为艱乩则血必为茶伞悭熨时平方,半題15廿）扎、i&V为m谁复觥世仝風，EndV为1/上游有战挫变换构成的纜性空问，又扎B AEndV的干空阿AQB.A? cs jt EehJ Viy 剳工电儿 Vj B）.饴淞0 M満血議件t珂觀讷，你 M,证阴；Zq血为矗爭划性变锤（本剧。学 院：010组合数学研究中心、01!陈省身数学硏究所、012数学科学学院 考试科目；802高等代数专 业：基砒数学、计算数学、旣率论与数理统计、应用数学 生物信思学飞意:齐将所有答案育石专用滿血匚M舌吐画上无效！一、（20分 设加为秩为1的n阶复方阵.川的迹=试求出月的所有歸征值（写出an一、（20分设卩为4维实线性空问.%石忌為-戦毎 己知V上线性变换丁鎚勺 0 -I -1）0 12 2”?石，巧卜的重阵为.0