2001-8北京航空航天大学高等代数

1、咼等代数试题（共2页）考生注意:全部答案必须写在答题册上，写在试题上的答案无效0（共十题，每题10分）设戸（工）是一个整系数多项式，又知P（0）及P（l）都是奇数,i 明PQ）= 0没有整数根。求一个次数最低的多项式,使其被才+1除余丁+1,被工彳+. .+ 1 除余 X2 1 o用线性代数方法证明:若一个n次多项式尸Q）在” + 1个互: 相等的数工1，工2,，工卄1处取值为0,则PQ）三0。4.已知a0,证明”阶行列式a10 00-1a1 00D =0-1a - 0 0 0000 a1000 -1a5-设向量组,a,线性无关,试讨论向量组ai + a2，a2+a ,4 + 5的线性相关性。

2、试证:任意满秩方阵A可以表成一个正交阵Q与一个正定 P的乘积。设方阵A的特征值全为0,证明一定存在一个自然数菇使 =0。&设A及均为正定阵。证明AB的特征值均大于0。试证”维（”2）实线性空间V的一个线性变换必有1维 或2维的不变子空间。设f是”维欧氏空间E上的一个线性函数，试证有唯一的向 量0WE,使对任意aE,有y（a） = （a,0）,其中（，）表示内积。北京航空航天大学二0 0二年硕士生试题 题草号：493高等代数（共3页）考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试 题单上的答题一律无效（本题单不参加阅卷）。填空题（本题满分10分，每小题2分） 0 J1）设矩阵：Amxm

3、 ,氏和，= b则b q =H bj-的线性空闾的基底为3）坡三维线性空间V上的线性变换荃底”,：下的走阵为 G % %、4 二,口巧 Qrr Qy |an a33 J则A在勺，雄吗下的矩阵为fo 0（k不为零）此矩阵芝兰标准形2）实数域R上全体形如 许的二阶矩阵对矩阵询加法和数乘运算所敲5）设V为n维欧氏空间，岭=囲（工,刃=0卫；冷訂,则人的绘数为二、选择题（本题満分10分，每小题2分）1）且可逆，则第斗93-1页4) |才卜团rB)才卜|4|C)#卜国Amn,秩(A)=”-3,尙耳心为非齐次线性代数方程组心比的三个线性无关的解，则为AX=O的基础解系+ 1.(f(：i)Ji(x)= 1(

4、f(x)：gx)h(x)=l匹、(本题满分10分)求下茴药行列弍討這卜：一”乞r,兀；xx. -mx.-込:；忖：工：心兀-加B 493-2五、（本题满分io分）设非齐次方程组AX = b的特解弘，它对应的齐次线性代数方程组AX=O的基 础解系为ax,alt.,an_r,且秩（A） -r ,证明：久皿讥+他皿讥+ a2 ”“可”-产耳o + a”,为盈线性无关的解向 量，若帀=肛+切（+“ + Vr7n-r且上0 +俎+ Vr =】，则耳为 盈=0的全部解向量六、（本题满分10分）4 -12、已知a是矩阵4= 5 a 3的特征向量，确定参数a,b以及_1 b 2特征向量a所对应的特征值。七、（

5、本题满分10分）设缶,逐,Qi为n维欧氏空间V的线性无关的向量，件,02均和 ava2 a”正交，证明0”02线性相关。八、（本题满分10分）V = XX = （%）”“，工“ =0円 eR,i;J = 1,2n,求 V 的基底和维数，九、（本题满分10分）A为/阶正定矩阵，E为单位矩阵，证明|4 + 2E|2j十、（本题满分10分）设A为n阶方阵，且秩（A） =r, A-=A,证明A的对角线元素之和为r第493-3页北京航空航天大学2003年硕士试题 题单号：493高等代数(共3页)，考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写 在本试题单上的答题一律无效(本题单不参与阅卷)。一、(本

6、题10分)设行列式町L”中对任意i.j有勺=-，且n为奇数，证明匕,丄”=0,二、(本题10分)设A , B均为n阶方阵，证明AB-BA=I .ifc处I.为n阶草泄迂,三、(本题10分)设h(x) .f(x) ,g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)|f(x):而h()不螯除g(x),证明 h(x)不整除 f(x)+g(x) 匹、(本题10分)若向量a,.a2.a线性无关，证明a, +a;. a2+a3. a. +at也线性无关五、（本题10分）设Wi ,W2是线性空间V的子空间，若W（UW2也是V的子空间，证明 必有 W!CW2 或 W2UW1 .六、（本题10分）设7是线性空间V上的

7、线性变换，证明b可逆的充分必要条件为7是单 的（即O是1-1的）。七、（本题15分）is A, B, C, D为nxn阶矩阵，且制=0, AC=CA.证明八、（本题15分）设 A= -I求正交阵T使T仃7为对角阵.九、（本题15分）设A为n阶正定矩阵的充分必要条件是存在一福异矩阵C,使得A= C C。十、（本题15分）设A , B都是n阶实矩阵，秩Ap秩B二、（本题15分）设A是有夏维唆性空间V的线性变换，W是V的子空间.AW衰示三V 中向量的象里成的子空间，证明：维（AW） +维（Anff ）=维W北京航空航天大学二00四年硕士试题题单号：493-高等代数（共3页）考生注意：所有答题务必书写

8、在考场提供的答题纸上，写在本试 题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）（本题10分）计算下面行列式的值a】+ 几a?* a”a2+Z aat -勺a”+几（本题10分）设介）=吟+仏严+ a。是一个整系数多项式，如果存在干个素数P，使得1）p不能整除2）p|a”-” an-i ao3）h不能整除宓则此多项式在有理数域上是不可约的，監,.0”的秩分别为$”$2，心，其中 ，人第4931页（本题10分）设向量组,禺7，=a（ i = l,2,.?n证明：5 s2+s3 s2sx+s3 s30 i = l,2,.n第4933页北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题 科目代码：493 高等

9、代数（共3页）考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试 题单上的答题一律无效（本题单不参加阅卷）。选择题（本题满分40分，每个小题4分）1）设A为N阶矩阵，且国=0,则A中A）必有一列元素全为零B）必有两列元素成比例C）必有一列元素可以由其余列线性表示D）任一列向量是其余列向量的线性表示2）设久爲是非齐次线性方程组AX= 6的两个不同的解，两吗是AX=Q的基础解系，$为任意常数，则AX=b的通解为A）片务+&（+a2）+S-0J/2B）片再+為（a】-”2）+ +爲）/2C）丘冋+MA+02）+ -02）/20）耐舛+焉3-02）+ 0+角）/23）设A, B都是n阶非零矩阵，

10、且AB=0 ,则A和B的秩A）必有一个等于0B）都小于”C）个小于”，一个大于nD）都等于“4）设两个矩阵为心B则有：A）当mn时，必有|姐*0B）当mn时，必有|48| = 0C）当mn时，必有|ABj*0D）当mn时，必有5）设A, B为同阶可逆方阵，则A） AB=BA B）存在可逆矩阵C, CtAC = BC）存在可逆矩阵P使得PSP = BD）存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=B6）设a”均为N维向量，那么下面结论正确的是A）若Alx1 + kjOj +k”a”=O,则a”a”,a”线性相关B）若对枉意一组不全为零的数耐,$，“玄”有耐內+為色+斤”工0,则a-a?a”线性无关C）若函卫2

11、,.卫,线性相关，则有对任意一组不全为零的数 砧，”“,k “有如+也+“从川“ =0D）若0） + Oaj + a”=0,则a”线性无关7）设乂为A的特征值，/（对为N次多项式，则代旳的特征值为一A） /（A） B） k C） A, D） M|8）A为对称矩阵，且正交，则豪=A） E B） A C） 2A D） 3A9）设A为实的反对称矩阵，且丫=际，则（X，丫）=A） 0 B） 1 C） 34）国10）数域P上的有限维线性空间人2同构的充要条件A）人，人维数相等B）%=C） X，耳有相同的基D） /p卩2的和为V（本题满分15分）2-2 0设4= -21-2,求一个正交矩阵Q，使得QrQ为

12、对角矩阵0-2 0三.（本题满分10分）计算下列行列式:123算a121aa1.n-2aaa.2aaa.1（本题满分15分）a为何值时，下列方程组有解，并求出解。aXj +Xj +x3 =a-3 Xj +口2 +七=-2Xj + x2 + ax3 = -2（本题满分10分）判断下列二次型是否是正定的/=#+ L x円MliKJin（本题满分10分）假设K.=u*为线性子空间，为直和的充要条件岭nx = o,i=u3j.（本题满分10分）设向童组a“a”.a,与仇点是两组维向量，证明：若这两个向量组都线性无关，则厶佃宀町&厲屁几）维数筹于齐次 方程组：+灭2口2 +X/X, +儿01 +”02

13、+ H0，= 的解空间的维数。（本题满分10分）设,町为欧氏空间v的两个对称变换，证明T+T也是 V中的对称变换.（本题满分10分）设A是复数域上一个”阶方阵，证明A相似于一个上三角 阵.十.（本题满分10分）设A, B为矩阵，且A有个互异的特征值，则A的特 征向量恒为B的特征向量的充要条件证明是AB=BA十一.（本题满分10分）设T为线性空间V的一个线性变换，并且T2=T,证明:1）T（0）= a-Ta|aeK2）T（0）,77对V的线性变换S不变的充要条件是T与S是可交换。北京航空航天大学2006年 硕士研究生入学考试试题 科目代碣；493 高等代数 f共2页）考生注意所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试 题单上的答题一律无效本题单不参与阅卷一、 （本题巧分）设e fix. F为数域，令LG亀 + + /X| g, eTx,i = l则（卮/+幻=1.此处（/，刘指的最大公因式.三、（本题均分1-23已寫矩阵/= 369 ,求一个三阶矩跌叭 使得矶於）=2,且 X % xx an(12 3(2) A2008 ,其中 A =0 1 2 、 o 1?肽=0的解.（f指矩阵&的秩.）五、（本题15分）R =薦是分块矩阵,其中/是阶可逆方阵.证明R的秩等于n当且仅当D = CAXB.六、七、（本题15分）已知方阵4= -3 5-3 3-1