中考复习之——_动点问题

1、无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿PAGE PAGE 5动点问题专题精讲：要动点题是中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量x、y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象动态几何问题是中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。常用到的解题工具

2、有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理典型例题剖析:一会找“静止点”例1如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，DC5，BC10，梯形的高为动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t（秒）（1）当MNAB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形例2如图1，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之

3、间的位置关系为 ，数量关系为 ；图1 图2 图3当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB=AC，BAC90，点D在射线BC上运动在图4中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；如果BAC=90，ABAC，点D在射线BC上运动在图5中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；（3）要使（1）问中CFBC的结论成立，试探究：ABC应满足的一个条件，（点C、F重合除外）画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC=22，BC

4、=32，求线段CP长的最大值图4 图5 【点拨】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解例3已知如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC4，,点M是AD的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且MPQ60保持不变设PCx，MQy，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由【点拨】第二问和

5、例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.ADCBPMQ60以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.例4已知正方

6、形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【分析】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，讨论其中的不动关系。第二问将BEF旋转45之后，就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全

7、等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。例5已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B 处（1）当 eq f(BE,CE)1 时，CF=_cm，（2）当 eq f(BE,CE)2 时，求sinDAB 的值；（3）当 eq f(BE,CE)x 时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要

8、解题过程）CADB【分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状