四边形知识结构和复习要点八年级下册人教版数学

1、四边形知识结构和复习要点八年级下册人教版数学一.知识结构一、矩形的性质1.四个角都是直角二、矩形的判定1.有一个直角的平行四边形2.对角线相等3.S=ab3.有三个直角的四边形2.对角线相等的平行四边形三、菱形的性质1.四个边相等四、菱形的判定1.有一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。3.四边相等的四边形2.对角线垂直的平行四边形五、正方形的性质1.四边相等,四个角都是直角六、正方形的判定1.先证它是矩形,再证它还是菱形 2.对角线相等、垂直、平分,每条对角线平分一组对角。3.对角线相等+垂直+平分2.先证它是菱形,再证它还是矩形七、对称性 它们都既是中心对称

2、图形,又是轴对称图形.对称轴如下:八、直角三角形斜边的中线 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.二.典例精析例1 下列语句：有三个角相等的四边形是矩形，四边相等的四边形是正方形，一组邻边相等的四边形是菱形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。其中叙述错误的是（ ） (B) (C) (D) D例2 下列说法不正确的是( )(A)一组邻边相等的矩形是正方形(B)对角线相等的菱形是正方形(C)对角线互相垂直的矩形是正方形(D)有一个角是直角的平行四边形是正方形D例3 在ABC中,点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA。下列四种说法中正确的有 。(A)四边形AEDF

3、是平行四边形 (B)如果BAC=90，那么四边形AEDF是矩形 (C)如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 (D)如果ADBC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形A、B、C、DABCDEF 例1 矩形的一个角的平行线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，求矩形的面积。ABCDEABCDE解:若AE=1,则ED=3. ABCD为矩形,ADBC,AEB=EBC,BE是角平分线,AEB=ABEAB=AE=1,S=ABBC=14=4若AE=3,则S=12例1 已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：AC=BD；AB=AD；1=2； ABBC。其中能说明 ABCD是矩形的有 。1ABCD2

4、例2 菱形的周长为24，一条对角线长为8，求菱形的面积。46ODABC解:菱形的周长为24,AB=244=6若AC=8,则AO=4,ACBD, 练2 菱形的周长为24,两邻角的比为1:2,求对角线的长。630ODABC解:菱形的周长为24,AB=244=6BAD:ABC=1:2BAD+ABC=180ABC=60ABO=30AO=3,AC=6, 例3 矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AEBD,垂足为E,若DAE=2BAE,求EAC的度数解:设BAE=x,则DAE=2xAEBD,AC=BD,AO=DO,例11 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，APBD，DPAC，AP、DP相交

5、于点P。则四边形AODP是什么样的特殊四边形？并说明你的理由。ABPCDO1.先证AO=DO2.再证四边形AODP是平行四边形3.根据定义证四边形AODP是菱形 例4 ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高，AE是ABC的外角平分线,DEAB.求证:四边形ADCE是矩形。证:AD是高,ADC=90AB=AC,B=ACBFAC=B+ACB=2BAE是外角平分线,2FAE=2B,FAE=BAEBCADC=90AB=AC,AD是高,AE=BD, AEBC,DEAB,四边形ABDE是平行四边形,BD=DC,AE=DC,四边形ADCE是平行四边形,四边形ADCE是矩形. 例5 菱形ABCD中,E、F分

6、别是BC、CD上的点,B=EAF=600,若BAE=200,求CEF的度数。解:ABCD是菱形,BA=BC1=2ABC是等边三角形连结AC,B=60,BAC=60,EAF=60,321ADCBEF321ADCBEFB=60BCD=1204AC平分对角,4=60ABC是等边三角形AB=AC在ABE与ACF中,B=41=2B=4AB=AC321ADCBEF4 ABEACFAE=AF,AEC=B+1EAF=60AEF是等边三角形CEF=20AEC=AEF+CEFB+1=AEF+CEFAEF=60例10 如图，ADFE，点B、C在AD上，1= 2，BF=BC。求证：四边形BCEF是菱形。AEBCDF2

7、13证明： ADFE 3=2 1=2 1=3 BF=EF BF=BC EF=BCAEBCDF213 四边形BCEF是平行四边形 ADFE BF=BC 四边形BCEF是菱形(2)若AB=BC=CD，求证：ACFBDEAEBCDF213证明： ADFE，EF=BC，AB=BC ABFE，EF=AB 四边形ABEF是平行四边形 AF=BF(2)若AB=BC=CD，求证：ACFBDEAEBCDF213同理，四边形ABEF是平行四边形 FC=ED AB=BC=CD AC=BD ACFBDE (SSS) 例6 如图,正方形ABCD中,E是AC上一点, AGEB,求证:OE=OF证:ABCD是正方形,AO=

8、BO,AOF=BOE=90AGBE,BOAC1+3=902+3=901=2在AOF与BOE中AOF=BOE1=2AO=BOAOFBOEOF=OE方法提示: 本题运用了正方形对角线互相垂直平分等重要性质, 但观察出两直角三角形全等才是关键. 练6 如图,点E在AC的延长线上,AG垂直于BE,垂足在EB的延长线上,OE=OF？答:依然成立.先证E=F,再证全等.例10 在ABC中，A=45，ACB=90 EF垂直平分BC交BC于D，交AB于E，且CF=BE四边形BECF是正方形吗？请说明你的理由ABCDEF解：四边形BECF是正方形 EF垂直平分BC BE=CE，BF=CF BE=CF BE=CE

9、=BF=CF 四边形BECF是菱形ABCDEF12A=45 1=45 四边形BECF是菱形ACB=90 2=1=45 2+1=90 EBF=90 四边形BECF是正方形 例7 如图,BD、CE是高,G、F分别是BC、DE的中点,试说明：FGDE证:连EG、DG.在BCD中,BD是高,G是BC中点,DG=EG,DGE等腰.F是DE中点,FGDE 练7 如图,等腰梯形ABCD中,M是BC的中点,ABCD,AOB=60,E、F分别是OD、OA的中点.求证：EFM是等边三角形。1、证AC=BD，进而可证ABD、BAC全等；2、由ABD= BAC，推OA=OB，OC=OD；3、等边OCD、 OAB；4、

10、M为中点，中线EM=FM；5、EF为中位线，为BC一半MFEOCDAB 例8 将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C处,BC交AD于E,AD=8,AB=4,求BED的面积。321ECDABC解:BCD沿BD折叠得BCD1=2ABCD是矩形,ADBC1=32=3设BE=X,得DE=x,AE=8-x321ECDABCDE=BEABCD是矩形,A=90 练8 长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点与A点重合,求折痕EF的长。3、EF是折痕，AC被EF垂直平分，在RtAEO中求1、在RtABC中求AC=52、设BE=x，得EC=4-X，得AE=4-x，在RtABE中用勾股定

11、理求x4-x4-xODDABCEF 例9 用不同的方法将矩形ABCD分成面积相等的两部分。你能将矩形分成面积相等的四等分吗？三等分矩形面积，你会吗？ 例10 你能用一条直线把这块地分成面积相等的两部分吗？请说明你的道理。 例11 在四边形ABCD中,对角线BD、AC交于点O,从下列六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形。答案：125、126、345、346(1)AB=CD (2)ABCD (3)OA=OC(4)OB=OD (5)ACBD (6)AC平分BAD 练11 在四边形ABCD中,ADBC,对角线AC、BD相交于O,若要使四边形ABCD为菱形,还要添加什么条件？2.AD=BC，AB

12、=AD1.ABCD，AB=AD3.ABD=BDC,AB=AD解:有三种添法 例12 在ABC中,AD是BAC的平分线, DEAC,DFAB,AD、EF互相垂直吗？说说你的理由。2.证2=3思路提示:1.证1=24.证AEDF是平行四边形3.由1=3得AE=DE5.证AEDF是菱形三.拓展加深 例13 如图, 动点Q、H、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发沿着AB、BC、CD、DA向B、C、D、A移动,移动速度相同.(1)求证：四边形QHEF是正方形.解:ABCD为正方形,AB=BC=CD=DAAG=BH=CE=DFGB=HC=ED=FAA=B=C=DAGFBHGCEHDFE

13、GH=HE=EF=FG四边形GHEF为菱形.1=32+3=901+2=90FGH=90四边形GHEF为正方形. (2)QE是否总过某一定点，并说明理由.O解:连AC,GE. ABCDAGCEAG=CE四边形AGCE为平行四边形.AC,GE交于中点.GE必过AC的中点. (3)四边形QHEF的顶点位于何处时其面积最大?最小?其值各是多少?解:设AG=x,AB=a,则AF=a-x. 当x=0或x=a时,四边形GHEF就是正方形ABCD.故 例14 在ABC中,ACB=90,DE为中位线,在DE的延长线上取点F,使AF=CE.(1)四边形ACEF是什么四边形?132解:ACB=90,E为中点AE=CE,AF=CE,AE=AF,1=23=F,132EF=AC,EFACACEF为平行四边形.1=2=3=F,AE公共,FEACAEDE为中位线,EFAC2=3 (2)当B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?132解:B=30时,结论成立.B=302=60ACE等边同理,ACE等边AE公共,AC=CE=EF=FA,ACEF为菱形. (3)四边形ACEF有可能是正方形吗?132解:不可