概率论与数理统计课件：第12讲 方差

1、 前面介绍了随机变量的数学期望。数学体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。 但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。4.2 方差 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：乙仪器测量结果 甲仪器测量结果较好因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。 中心中心 为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值偏离其中心(均值)的程度。这个数字特征就是我们要介绍的方差。4.2.

2、1 方差的定义 注: 有的书上也将Var(X)记成 D(X)。 定义1: 设 X 是一随机变量，若EX-E(X)2 存在, 则称其为X 的方差，记成 Var(X)，即 Var(X)= EX-E(X)2 ; (1)并称 为X的标准差。 采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正的作用若X 的取值比较分散，则方差较大。若方差Var(X)=0，则 X 以概率1取常数。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度 。若X 的取值比较集中，则方差较小；均值E(X)X为离散型，PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望 。 X为连续型，f (x)为密度。计

3、算方差的一个简化公式Var(X)=E(X2)-E(X)2 . 展开证：Var(X)=EX-E(X)2=EX2-2X E(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2.利用期望性质例1：设 X 服从几何分布，概率分布为P(X=k) = p(1- p)k-1, k=1, 2, , 其中 0p1, 求 Var(X)。解：记 q=1-p，则交换求和与求导次序无穷递缩等比级数求和公式求 Var(X)。 例 2：设连续型随机变量X 的密度函数为:解：例3：设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y 为一天中卖出的油量(当然YX)。设(X,Y)具有概率密度函数这里1表明1个容

4、积单位，求每日卖出的油量Y 的期望与方差。解：当 y 1 时,当0y1时,4.2.2 方差的性质 (1). 设C是常数, 则Var(C)=0;(2). 若C是常数，则Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若X1与X2 独立，则 Var(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推广为：若X1, X2, , Xn相互独立，则(4). Var(X)=0 PX= C=1，这里C=E(X)。例4：设随机变量X 的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，且Var(X) 0，求解：4.2.3 几种常用随机变量的方差 1. 两点分布若 X B(1, p)，则 Var(X) = p(1-p)； 2. 二项分布若 X B(n, p)，则 Var(X) = n p(1-p)； 3. 泊松分布若 X P()，则 Var(X) = ；利用前面讲过的 E(X) =，得而 4. 均匀分布若 X U(a, b) ，则利用E(X)=(a+b)/2，得5.指数分布 6.正态分布若 X N(, 2)，则例5：设随机变量X N(, 2)，计算(1). P - X + ;(2). P -2 X +2 ；(3). P -3 X