概率论与数理统计课件：第8讲 第三章 随机向量

1、 第三章 随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。3. 导弹在空中位置坐标 (X, Y, Z)。1. 某人体检数据血压X和心律Y；例如：2. 钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ； 一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , , Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。 由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。3.1 二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为，X=X()与Y= Y()是定义在上的两个随机变量, 由它们构成的向

2、量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。定义:二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。 如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。 由上面的几何解释，易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1xx2, y1yy2内的概率为 Px1Xx2 , y1Yy

3、2=F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).说明二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质(1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数； 即 yR 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)F(x2, y). 同样, xR 给定，当y1y2时, F(x, y1)F(x, y2).(2).x, yR, 有 0F(x, y)1； (3). yR, F(-, y)=0， xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(, )=1.其中3.2 二维离散型随机向量 如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离

4、散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。离散型随机变量 X 的概率分布: 离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布: 联合概率分布也可以用表格表示。 表3.2.1 二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数 设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为 pij， i=1, 2, , j=1, 2, .于是, (X, Y) 的联合分布函数为例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令: X=1：若第一次取到的产品是次品， X=0：若第一次取到的产品是正品， Y=1：若第二次取到的产品是

5、次品， Y=0：若第二次取到的产品是正品。求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。PX=0,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品,利用古典概型，得： PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。同理，得 PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30, PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30, PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。例2：为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中。X=1若被调查者不吸烟，X=0若被调查者吸烟，Y=1若被调

6、查者未患肺癌，Y=0若被调查者患肺癌。从表中各种情况出现的次数，计算各种情况出现的频率，就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布: PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996。3.3.1 概率密度 设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数, 简称概率密度。.3.3 二维连续型随机向

7、量连续型随机变量 X 的概率密度: 连续型随机向量 (X,Y) 的联合概率密度: 对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：在 f (x, y)的连续点；解: (1). 由例 1：设(X,Y)的联合概率密度为其中A是常数。(1).求常数A；(2).求(X,Y)的分布函数；(3).计算 P0X4, 0Y5。(3). P0X4, 0Y53.3.2 均匀分布 定义: 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为:则称(X,Y)为服从 D上的均匀分布。 (X,Y)落在 D中某一区域A内的概率 P(X,Y) A,与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。P(X, Y)A=A的面积/d.解: 例2：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布，计算P(X,Y)A，这里A是中阴影部分的区域。 圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。 若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度3.3.3 二维正态分布正态分布(X,