自动控制理论：7第七章 非线性系统的分析-2

1、2022/7/13四、由相平面图求时间解 相轨迹是系统的时间响应c(t) ， 在相平面上的映象,它虽然可以反映系统时间响应的主要特征,但不能直接表示时间信息,如需要求出系统的时间响应,可以采用以下两种方法。1、根据相轨迹的平均斜率求时间t 设系统的相轨迹如图7-20所示,设相点由A点转移到B点所需的时间为tAB,考虑到 ,故在此期间 的平均值为图7-20 由相轨迹求时间响应2022/7/13据此可求得相点由A点转移到B点所需的时间式中：用同样的方法可求出相点由B点转移到C点的时间,以次类推可得X(t)的曲线,便可以进一步求得其时域响应指标。 2、用面积法求时间t 根据相轨迹图,以x为横坐标,

2、为纵坐标画出 曲线,如图7-21所示。由于 即当时间由t1变至t2时,有2022/7/13 积分的数值等于 曲线与X轴之间包围的面积,如图7-21中阴影部分所示,利用解析法或图解法可以求得此面积。图7-21 由面积法求时间响应2022/7/13第四节 非线性系统的相平面分析【例7-3】图7-22为带死区的继电器系统，设系统在静止状态下施加阶跃信号r(t)=Rl(t) ，试分析该系统性能。解：由结构图知得由系统线性部分的结构有将上式转换成关于 的方程并考虑非线性特性，有图7-22 带死区继电器特性的非线性系统2022/7/13 非线性方程转化为三个线性微分方程,它们分别对应于相平面上I、II 、

3、III区。对相平面e的区域,即 I区,则相应方程可表示为 令 ，得I区相轨迹的等倾线方程 I区内相轨迹的等倾线为一系列平行于e轴的直线,其中对应于=0的等倾线为 ，此为I区相轨迹的渐近线。用等倾线法绘出I区相轨迹族如图7-23所示。2022/7/13对-e的区域,即II区,相应方程表示为 即 相轨迹是斜率=1/T的直线或 者是 的 直线。对e-的区域,即III区, 与I区内相轨迹做法类似，用等倾线法可作出III区相轨迹族。2022/7/13 由图中可以看出，在直线e=及e=-处，相轨迹发生了转折，该直线称为开关线.它表示继电器由一种状态转换为另一种状态。令 分别代入I、II、III区方程，其中

4、I、III区无解，表明相轨迹在I、III区内无奇点。图7-23 带死区继电器非线性系统相平面图2022/7/13 II区中的解为 ,表明在II区内 的所有点都是奇点，都可以成为系统最终的平衡位置，这种线段称为奇线。 从初始相点M1(R，0)出发，相轨迹经过M2、M3、M4、M5最后终止在M6点。在M2、M3及M5处，继电器的工作状态都发生了转换。M1处的误差为正向最大值，M4处误差为反向最大值，在终点M6处仍有残余误差，这是由于继电器特性带有死区，当误差的绝对值小于死区特征值时，非线性环节无输出，系统进入平衡状态。2022/7/13第五节 描述函数法 描述函数法主要用于分析非线性系统稳定性、自

5、振荡特性及消除自振荡的方法。虽然是一种近似方法，但对常见实际非线性系统而言，分析结果基本满足工程需要，在非线性系统分析及设计中得到了广泛应用。它的应用条件：1、非线性特性具有奇对称；2、系统可化为一个线性环节和一个非线性环节串联的典型单位反馈系统；3、线性环节的低通滤波特性好；4、非线性环节的输出中一次谐波分量幅值占优。2022/7/13第五节 描述函数法一、描述函数的定义 设非线性系统的结构图如图7-24所示。其中线性部分的传递函数为 N(x)为非线性环节，它的输出量与输入量之间为非线性函数 若设其输入为正弦信号x（t）=Sin t图7-24 非线性系统结构图2022/7/13则其输出一般不

6、是正弦信号，但仍是一个周期信号，其傅立叶级数展开式为式中 这表明,非线性环节的输出 信号y(t)中含有基波及各高次 谐波。通常谐波的次数越高， 其相应的傅立叶系数越小，即相应的谐波分量幅值就越小。 如果系统线性部分G(s)具有低通滤波特性，则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计, 可以近似认为当输入为正弦信号x(t)时，只有y(t)的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点，其高次谐波分量可忽略不计，即 2022/7/13式中 基波幅值 基波初相位 此时，非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节，可以仿照频率特性的概念建立非线性特性的等效幅相特性。 定义：非线性环节输出量的

7、基波分量与其输入正弦量的复数比即为其描述函数，其数学表达式为 2022/7/13式中：N（X）非线性环节的描述函数 X 正弦输入信号的振幅 非线性环节输出基波分量的振幅 非线性环节输出基波分量相对于输入信号 的相位描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记作N（X），当非线性元件中包含储能元件时，N同时为输入信号振幅及频率的函数，记作N（X，）。二、典型非线性环节的描述函数1、饱和特性 饱和非线性环节的输入/输出特性及其在正弦信号作用下的输入输出波形如图7-25所示。2022/7/13 当输入正弦信号的幅值Xa时，由于饱和非线性作用，其输出波形为一削顶的正弦波，其数学表达式为式中考虑到y(t)波形

8、的对称性和周期性，故只列出0/2 区间的关系式 。图7-25 饱和特性及其输入输出波形2022/7/13考虑到饱和非线性特性为单值奇对称，有由上式，得饱和非线性的描述函数为2022/7/13实际应用中，常将描述函数中的某些参数分离出来，将其归算到线性部分中去， 构成相对描述函数，又称基准描述函数。对饱和非线性特性，其相对描述函数为 分析非线性系统自振时，常用到相对描述函数的负倒特性。饱和非线性相对描述函数的负倒特性如图7-20所示，随输入信号振幅X的增加，-1N0(X)曲线起于（-1，j0）点，趋向（-，j0）。 图7-26 饱和特性相对描述函数负倒特性2022/7/132、死区特性用类似的方

9、法可以求得死区特性的描述函数为其相对描述函数为它的相对描述函数的负倒特性如图7-27所示。也是一条沿负实轴变化的曲线。但它随X的增加，从（- ，j0）沿负实轴趋向（-1，j0）点。图7-27 死区特性相对描述函数负倒特性2022/7/133、间隙特性间隙特性的描述函数为：其相对描述函数为它的相对描述函数的负倒特性如图7-28所示。图7-28 间隙特性相对描述函数负倒特性2022/7/134、继电器特性继电器特性的描述函数为：其相对描述函数为它的相对描述函数的负倒特性如图7-29所示。图7-29 继电器特性的负倒描述函数2022/7/13 常见非线性特性描述函数见表7-1。表7-1 常见非线性特

10、性描述函数2022/7/13续表7-1 常见非线性特性描述函数2022/7/13第六节 用描述函数法分析非线性系统 许多包含非线性环节的控制系统，经过对方框图的变换及简化，都可以表示成由线性部分G（s）（低通滤波器）与非线性部分N相串联的系统。如图7-30所示 对非线性系统进行分析时,必然要分析系统的稳定性以及是否产生自振荡。 描述函数法对系统稳定性、产生自振荡的条件、自振荡的振幅及频率、消除自振荡的途径等问题，都可得出较为符合实际的结果。 自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加给定信号及干扰信号无关，可认为r(t)=0,n(t)=0。 图7-30 非线性系统的典型结构2022/7/13

11、 假定由于自振产生系统输出信号，经反馈后成为非线性环节的输入，是一个正弦信号。从前述可知非线性环节的输出信号为非正弦信号周期信号，其中包括基波及高次谐波，仅有基波信号通过线性环节，得以反馈到非线性部分。 但是一般说来，高次谐波的幅值较小，当系统的线性部分具有低通滤波特性时，高次谐波将被进一步衰减。因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性环节输入端的信号只是基波正弦信号。这个结果，与前面的假定相吻合。 2022/7/13在上述的条件下，用非线性环节的描述函数近似表示非线性环节的特性，此时非线性系统的方框图如图7-31所示。 图7-31 非线性控制系统方框图2022/7/13 描述函数N(x)

12、是一个复变量，它的幅值及相角是输入信号幅值X的函数。将N(x)看成一个可变的放大系数，使用线性系统频率特性的概念，图7-31所示系统的闭环频率特性为： 闭环特征方程式为 或 对于某一个特定的X o及o，上式成立，相当于线性系统中G(j)=-l的情况，将产生等幅的周期性振荡。式中- 1N(X)为描述函数的负倒特性，它相当于线性系统的临界点(-1，j0)。 2022/7/13一、乃奎斯特稳定判据的应用 在复平面上同时作出线性部分的频率特性G（j）及非线性部分描述函数的负倒特性- 1N(X)，判断非线性系统稳定性的方法如下： (1)如果在复平面上，-1N(X)曲线不被G(j)曲线所包围，如图7-32

13、(a)所示，则非线性系统是稳定的。 (2)如果在复平面上，-1N(X)曲线被G(j)曲线所包围，如图7-32(b)所示，则非线性系统不稳定。 (3)如果在复平面上，-1N(X)曲线与G(j)曲线相交，如图7-32(c)所示，则在非线性系统中产生周期性振荡，振荡的振幅由-1N (X)曲线交点处对应的X值决定，振荡的频率由 G (j)曲线交点处的值决定。2022/7/13图7-32 非线性控制系统的稳定性分析2022/7/13二、自振荡分析若复平面中-1N (X)曲线与G (j)曲线有交点，则该交点对应着可能的等幅振荡，问题是这个等幅振荡能否稳定地存在？也就是说，如果系统受到某个扰动使振荡的振幅发

14、生变化，系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡状态的能力？如果系统具备这种能力，则该等幅振荡能够稳定地存在，并能被观察到，称这个稳定的等幅振荡为自持振荡。反之，振荡不能稳定地存在，必然转移到其它运动状态(收敛到零或发散)。2022/7/13二、自振荡分析以图7-32(c) 为例进行分析。图中-1N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b， 对应于不同的振荡频率和振幅。对a点，振幅及频率为Xa及 (j)，若由于扰动使振荡的振幅略有增大，这时工作点将沿-1N (X)曲线由a点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围，故系统进入稳定区，周期振荡的振幅要衰减，并逐步恢复到Xa，即自动返回原状态；若由于

15、扰动使振荡的振幅略有减小，这时工作点将沿-1N (X)曲线由a 点转移到d点，2022/7/13由于 d点被G (j)所包围，故系统不稳定，输出将发散，其结果将使输出信号振幅变大，工作点又从d点返回a点。由此可见a点是稳定的等幅振荡点，形成可观察到的稳定自持振荡。 用相同方法分析b点的等幅振荡状态。若干扰使得振荡加剧，则系统的工作点由b点移至e点，由于e点被G (j)曲线包围。故系统将发散，振荡的振幅继续变大,更加远离b点。若干扰使振荡振幅略有减小，则工作点由b点转移到f点，f点不被G(j)包围，所以系统的振荡将收敛，振幅将一步减小，更加远离b点。由此可见，b点的振荡状态是不稳定的，无法观察到

16、。 2022/7/13 显然，图7-32(c)所示系统将最终呈现两种可能的运动状态：当扰动较小，其振幅小于Xb时，系统趋于平衡状态，不出现自振荡。当扰动较大，其幅值超过了Xb时，系统将出现自持振荡，其振幅为 Xa，角频率为a。 判别-1/N(X)与G(j)曲线交点是否是稳定的自振点还有一个简便方法：若在交点处，被 G (j)包围的-1N(X)部分对应的振幅X值小于未包围部分对应的X值，则该交点为稳定的自振点。若在交点处，被G(j)包围的-1/N(X)部分对应的振幅X值大于未包围部分对应的X值，则该交点为不稳定的自振点。或：在交点处，若沿X增加的方向，-1/N(X)从稳定区域进入不稳定区域，则系

17、统不稳定周期运动；反之，若从不稳定区域进入稳定区域，则系统稳定自振2022/7/13三、分析系统自振荡的例题 例1：判断系统的稳定性，交点是否为自振点0ImRe0ImRe0ImRe0ImReG(j)G(j)G(j)G(j)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)aba(1)(4)(3)(2)(1)不稳定的周期运动点(4) a稳定自振点 b不稳定的周期运动点(3)稳定的自振点(2)稳定2022/7/13(5)稳定的自振点0ImRe0ImRe0ImRe0ImReG(j)G(j)G(j)G(j)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)-1/N(A)abab(5)7)(8)(6)(6) a不稳定的周期运动点 b稳定自振