信号分析与处理：第2章 连续时间信号与系统的时域分析1

1、第2章 连续时间信号与系统的时域分析2.1连续时间基本信号2.2信号的基本运算2.3信号的卷积运算及卷积性质2.4连续时间LTI系统的时域分析2.5 LTI系统的零输入响应2.6 LTI系统的零状态响应2.7连续时间系统时域分析的MATLAB实现 时域分析 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数 ； 而 。这里用于系统分析的独立变量是时间。 频域分析 本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。第二章 连续时间信号与系统的时域分析2.1 连续时间基本信号2.1 连续时间基本信号

2、阶跃信号和冲激信号都是奇异信号, 阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。2.1.1 单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）n 函数序列n(t)2.1 连续时间基本信号（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数 单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性对函数 t0 部分的截取 2.1 连续时间基本信号（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号（4）阶跃信号的加窗特性对脉冲范围内的截取 2.1 连续时间基本信号（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号2.1 连续时间基本信号（1）冲激信号的物理背景 冲激

3、信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。2.1.2 单位冲激信号2.1 连续时间基本信号单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、 高度无穷大（脉高）、 面积为1（强度为1）的窄脉冲。2.1 连续时间基本信号2.1 连续时间基本信号注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号(t)的数学描述 延迟单位冲激1）(t)的狄拉克定义单位冲激函数一般冲激信号（3）冲激函数的性质 1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质若x(t)在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x(t)(t) = x(0)(t) x(t)(t t0) = x

4、(t0)(t t0) 冲激函数把信号在冲激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分抽样性质2.1 连续时间基本信号也称为抽样性质（4）冲激函数与阶跃函数关系可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如x(t) = 2(t +1)-2(t -1)x(t) = 2(t +1)-2(t -1)求导2.1 连续时间基本信号其中a为不等于0的实常数。(5)冲击函数尺度变换性质(展缩性质) 当取a=1时，有 为偶对称函数 2.1 连续时间基本信号证明：当a0时 根据函数 的定义，有 x(

5、t)为任一在t=0处连续的常规函数2.1 连续时间基本信号当a0时,令 ,同样可证 因此，尺度变换性质 得证。当取a=1时，有 为偶对称函数 2.1 连续时间基本信号 2.1.3 冲激偶信号 为偶函数（1）冲激偶信号的数学描述为奇函数2.1 连续时间基本信号（2）冲激偶信号的性质 1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质 2） 抽样性质 注意：而：2.1 连续时间基本信号0(t)例：简化下列表达式。2.1 连续时间基本信号例：已知求解： 2.1.4 指数信号（1）指数信号的数学描述1）实指数信号指数规律增长指数规律衰减直流2.1 连续时间基本信号2）复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信

6、号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。2.1 连续时间基本信号（2）用虚指数信号表示正余弦信号2.1 连续时间基本信号信号的时域自变量变换（移位变换、反转变换、尺度变换）；信号的分解与合成；信号的微分 、积分。1.2 信号的基本运算1.2 信号的基本运算 2.2.1 信号的自变量变换例: 连续信号 x(t) 移位若 ，信号沿时间轴正方向移位（a）左移t0 (t00) （b）原始信号 （c）右移t0(t00)将1、移位变换若 ，信号沿时间轴反方向移位，（a）左移n0 (n00) （b ）原始信号

7、 （c）右移n0(n00)离散时间信号的移位 离散时间信号 和 （n0为正整数）则分别相当于将x(n)右移和左移n0个序号 。2、反转变换将 ， 以纵坐标为轴反转（旋转180 度），即把信号的过去与未来对调。将例: 连续信号反转离散信号反转例:视频示例。正常视频反转视频3、尺度变换（横坐标展缩） 信号压缩 原信号 信号扩展例:若 ，波形 沿横坐标压缩； ，则为扩展。相当于改变观察时间的量度。 序列的尺度变换与连续时间的有所不同，由于序号只能为整数，当a1的正整数时，要丢失x(n)的一些信息，而a1正整数时 x要填入必要的零值 。 信号的尺度变换x(n)x(n/2)x(2n) 信号压缩 原信号

8、信号扩展例：尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)例:音频示例。例:视频示例。正常视频慢放视频快放视频4、综合变换设顺序：尺度、平移 （顺序不能变） 顺序：尺度、反转、平移 (前两种变换可以交换 顺序，平移必须在最后）注意始终对时间 t 进行变换顺序：平移、尺度、反转 (后两种变换可以交换 顺序，平移必须在最前）（2）解析法（1）图解法设顺序：反转、尺度、平移变换解：（1）图解法例8： 的波形如图所示，画出 的波形。x(-2t+1)= x2(t1/2)（2）解析法例 x(t)的波形如图所示，画出 x(-2t+1)的波形。x(-2t+1)=x-2(t-1/2

9、)顺序：尺度、反转、平移变换例 x(t)的波形如图所示，画出 x(-2t+1)的波形。x(-2t+1)x-2(t-1/2)例 f (t)的波形如图所示，画出 f (-0.5t-2)的波形。f (-0.5(t+4)例 x(-2t+1) 的波形如图所示，画出 x(t)的波形。x(-2t+1)=x-2(t-1/2)顺序：平移、反转、尺度变换作业：2-1 （2） （4） （6）2-42-52.2.2 信号的分解与合成 1.信号分解成矩形脉冲2.2.2 信号的分解与合成 1.信号分解成矩形脉冲 时域里任一函数可近似地分解为一系列矩形脉冲之和，而当矩形脉冲宽度趋于无限小时，上述矩形脉冲变成了冲激，任意连续

10、信号可表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。 任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。2.2.2 信号的分解与合成 2.信号分解为正交函数分量 （1）正交函数（信号正交）（2）正交函数集 若n个函数g 1( t )， g 2( t )， g n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 2.2.2 信号的分解与合成 2.信号分解为正交函数分量 （3）完备正交函数集2.2.2 信号的分解与合成 （3）完备正交函数集2.2.2 信号的分解与合成 （3）完备正交函数集2.2.2 信号的分解与合成 （4）函数的正交分解帕塞

11、瓦尔定理 2.2.2 信号的分解与合成 3.信号合成 两信号 的 指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。信号处理的任务之一是产生合成信号，它是由对多个基本信号的各种运算完成的。2、积分信号经微分后突出了变化部分信号经积分后平滑了变化部分1、微分2.2.3 连续信号的微分与积分运算2.2.3 连续信号的微分与积分运算利用对信号微分的突出变化作用，可以检测异常状况发生的时间和特征。 利用对信号积分的平滑作用可以削弱信号中混入的毛刺（噪声）的影响。 2.3.1卷积运算的定义 对于任意两个信号x1(t)和x2(t),两者的卷积运算定义为2.3 信号的卷积运算及卷积性质2.3.2 卷积的图解方法公式步骤

12、（1）变量代换，由t 改为，（2）反转（3）移位 。 在坐标系中，t0图形右移；t0图形左移；（4）两信号重叠部分相乘 ；（5）完成相乘后图形的积分，即求上述乘积曲线下 的面积。卷积的图解说明例 已知 求 。 解卷积的图解说明例 已知 求 。 解(1) t 0，卷积的图解说明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，卷积的图解说明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t 2，卷积的图解说明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t 2，(4) 2t 3，卷积的图解说明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t

13、 2，(4) 2t 3，于是卷积的图解说明例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应 (1) t -1 区间 卷积的图解说明例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应 (2) -1t 0 区间 (1) t -1 区间 卷积的图解说明例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应 (2) -1t 0 区间 (3) 0t 1 区间 (1) t -1 区间 卷积的图解说明例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应

14、(2) -1t 0 区间 (3) 0t 1 区间 (1) t -1 区间 卷积的图解说明例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应 (2) -1t 0 区间 (3) 0t 1 区间 (1) t -1 区间 故响应为 2.3.3 卷积的性质交换律（代数性质）分配律（代数性质）结合律（代数性质）与奇异信号的卷积时移性质卷积的微分卷积的积分卷积的微积分1）交换律注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。 在系统分析中，卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h(t) 的LTI系统对输入x(t)的响应与一个单位冲激响应为x(t)的LTI 系统对输入

15、h(t)的响应是一样的。2）分配律分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。x(t)h1(t)h2(t)3）结合律结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。 h1(t) h2(t)x(t)4）与奇异信号卷积与冲激函数的卷积=推广到一般情况k表示求导或取重积分的次数，k取正整数表示导数阶次，k取负整数时为重积分的次数。与阶跃函数的卷积与冲激偶函数的卷积例 求 解 根据移位性质和微积分性质，有 例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应y(t) 。解 输入信号为根据卷积的微积分性质，得系统响应5）时移性质h(t)x(t)y(t)h(t)