第08讲 基本不等式（学生版）

1、第08讲 基本不等式编【学习目标】.掌握基本不等式yab + （a 0/ 0）. 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比拟大小问题.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.能够利用基本不等式解决实际问题.【基础知识】知识点一基本不等式如果0,。0,那么如中，当且仅当。=b时，等号成立.我们把这个不等式称为基本不等式.知识点二基本不等式与最大（小）值当X, y均为正数时，下面的命题均成立：V2假设x+y=S（S为定值），那么当且仅当x=y时，孙取得最大值了；（简记：和定积有最大值）假设孙=P（P为定值），那么当且仅当x=y时，x+y取得最小值2杯.（简记：积定和有最

2、小值）知识点三基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.（4）根据实际意义写出正确的答案.【考点剖析】即。，求产的最小值；解答过程：4x2 = 2； h a考点一：对基本不等式的理解及简单应用.以下运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）7 设xl,求y = x+5的最小值； x-1 2 当且仅当工=一?即工二？时等号成立， x-1A. 0个B. 1个考点二：利用基本不等式比拟大小 亡例

3、2.设A =，+ ，其中。、b是正实数，且出b, B = -x2+4x-2,那么A与B的大小关系是()A. ABB. ABC. ABD. A 2.，x-1 Vx-1把x = 2代入2、叵得最小值为4.C.2个D. 3个考点三：利用基本不等式证明不等式例3.设。，6为正实数，求证:(a + b)(/+/?3)之8/73.考点四：利用基本不等式求最值A. 4假设40/0,且3。+ = 1 .那么的最小值为( a bB. 2a/2D. 4+26考点五：利用基本不等式求解恒成立问题江例5.当xl时，不等式 +占2 a恒成立，那么实数a的取值范围是(A. (-oo,2B. 2,+ oo)C. 3,+ o

4、o)D. (-oo,3考点六：基本不等式在实际问题中的应用例6.如图，将一矩形花坛ABC。扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点3在AM上，点。在AN上，点。在MN上，蚀=3米，4) = 2米.要使扩建成的花坛面积大于27米2,那么an的长度应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积.【真题演练】.假设。,且他0,那么以下不等式中，恒成立的是 2baA. a1 +b2 2ab B. a + b2yabC. + 7f= D. + y2a b yjaha ba1 +b2 2ab A ab0。力 2,1x = 21）2.假设。那么力+ 乒+6的最baba b

5、 aa b小值为. 设x0, yOf x + 2y = 4,那么（入十口呢）十的最小值为. 孙.假设a0, /20,氏2,那么以下不等式对一切满足条件的。，恒成立的是（写出所有正确命题的编号）.叱1； &l+M 4亚; 2+/2； （4）6Z3+/?33；+ y 2. a b.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使 一年的总运费与总存储费用之和最小，那么1的值是.要制作一个容器为4加3,高为血的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是 （单位：元）.x,yR+,且x+4y =

6、l,那么叱丁的最大值为.围建一个面积为360小的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2机的进出口，如下图，旧墙的维修费用为45元/如新墙的造价为18。元/加，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总费用为丁XX（I）将y表示为X的函数;（H）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.设a, b, c均为正数，且+Z?+c=l,证明:(I ) ab+bc+ac1. b c a.假设0力0,且_1 +，=而 a b（1）求+63的最小值;（2）是否存在力，使得2+ 3/? = 6,并说

7、明理由.【过关检测】1.以下结论中正确的选项是（）A.假设 ac be ,那么B. a2 -h2 1）最小值为3 x-19 QD.假设 + b = 6,那么一+丁的最小值为3 a b.几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据, 通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如下图图 形，点尸在半圆。上，点C在直径A3上，且ObJ_AB,设AC =。，BC = b,那么该图形可以完成的无字证 明为（）a + yfab(ci O.b 0) 2iC. a 0,/? 0) a + ba + yfab(ci O.b 0)

8、2iC. a 0,/? 0) a + ba2 +b2 2ab(a 0,b 0)D./ +人2八7 八、-(q Q,h 0).当0%2时，M2 工)的最大值为()A. 0B. 1C. 2D. 4.给出下面三个推导过程：%、b为正实数，2 + 之2、祖?=2； a b Nab4d;。，存0, 一 +”一q =4； a V a二”、yR, xyQ9 + = (-) + (-) QMB. MPQC. QMPD. MQP7.。0,Z?0,假设不等式2 +。2 z恒成立，那么机的最大值（）2 + C3 + V23 + 2V2D. 5.正数x、y满足x + =4,那么孙的最大值为.假设 q0, b0, Q

9、= a + b + 15,那么的最小值为.实数么b满足/+从=2,那么必的最大值为.4 TOC o 1-5 h z .假设X（1,4W）,那么=工+ 一；的最小值是.函数y=一-2：+12（%0）的最小值为.149.那么21 + ；一；的最小值为一.221.当x2时、函数5=.+ + 6的最小值为.x + 22.x0, y0,且2x+y = l,那么一 + 一的最小值是.x0, yo, M- + - = 2,那么x + 2y的最小值为 % y3y 11. x0,0, x+y = l,那么一+ 一 + 一的最小值为一.x x y4.。3,求证：+。27.4 319.为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABC。，如图）上设计三 个等高的宜传栏（栏面分别为一个