2022年七大积分总结

1、七大积分总结 一 定积分1. 定积分的定义： 设函数 f(x) 在a,b上有界，在区间 a,b中任意插入n1 个分点： a=x0 x1x2 xi-1xixi+1 xn-1x n=b, 把区间 a,b分成 n 个小区间： x0,x1 xi-1,xi x n-1,xn，记 xi=xi xi-1(i=1,2,3, ,n)为第 i 个小区间的长度，在每个小区间上xi-1,xi上任取一点 i(xi-1i i) ，作乘积 : in1f(i)xif( i ) xi(i=1,2,3, ,n),并作合式：S记 =max x1, x2, x3 , xn,若不论对 a,b怎样分法， 也不论在小区间 xi-1,xi上

2、点i怎样取法，只要当 0 时，S的极限 I 总存在，这时我们称 I 为函数 f(x)在区间 a,b上定积分（简称积分），记做：bf(x)dxIlim 0in1f(i)xia其中 f(x) 称为被积函数， f(x)dx称为被积表达式， x 称为积分变量，a 称为积分下限， b 称为积分上限， a,b 称为积分区间，inf(i)xi称为积分和。0如果 f(x) 在a,b 上的定积分存在，则称 关于定积分的定义，作以下几点说明：f(x) 在a,b 上可积。（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母记法无关，即bf(x )dxbf(t)dtbf(u )du。aaa（2）定义中区间的分

3、法与 i 的取法是任意的。（3）定义中涉及的极限过程中要求 0，表示对区间 a,b 无限. 细分的过程，随 0 必有 n，反之 n并不能保证 0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：1f(x)dxlim nin1f(i)1（此特殊合式在计算中可以作为0nn公式使用）2. 定积分的存在定理定理一 若函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，则 f(x) 在a,b 上可积。定理二 若函数 f(x) 在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x) 在区间上可积。3. 定积分的几何意义对于定义在区间 a,b 上连续函数 f(x) ，当 f(x) 0 时，定积分ba f ( x ) dx 在

4、几何上表示由曲线 y=f(x),x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积；当 f(x) 小于 0 时，围成的曲边梯形位于 x 轴下方，定积b分 a f ( x ) dx 在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若 f(x) 在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于 x 轴，曲线 y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。4定积分的性质线性性质（性质一、性质二）性质一bf(x )g(x)dxbf(x)dxbg(x)dx和差的积分等于积分的aaa和差；性质二bkf(x)dxkbf(x)dx（k 是常数）2 aa性质三对区间的可加性不管 a,b,c相对位置如

5、何，总有等式WORD 文档交流. bf(x )dxcf(x)dxbf(x)dxaf(x )dx0aac性质四如果在区间 a,b 上，f(x) 1，则bf(x)dxba性质五（保号性）如果在区间 a,b 上，f(x) 0，则ba推论一设 f(x) g(x),x a,b ，则bf(x )dxbg(x)dxaa推论二bf(x)dxbf(x)dx (aa，如果极限lim bbf(x )dxa存在，则此极限为函数f(x) 在无穷区间 a,+ 上的广义积分，记做af(x )dx，这时也称广义积分af(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。同理也可得函数 f(x) 在无穷区间 - ,b 上的

6、广义积分。对于广义积分： 只有在收敛的条件下才可使用上述“ 定积分中的对称奇偶性” 。几条结论：（1）广义积分a1dx，当 p1时收敛，当 p1 是发散。xp（2）广义积分aepxdx当 p0 时收敛，当 pa ，如果极限lim t atbf(x ) dx存在，则称此极限为函数f(x) 在(a,b 上的广义积分，记做b af(x )dx，即bf(x)dx=lim t atbf(x )dx。aWORD 文档交流7 . 这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。同理，可得 f(x) 在区间 a,b ）上的瑕积分 , 即bf(x)dx= lim t btf(x )dx-aa对于无界

7、函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿莱布尼茨公式，如对于f(x) 在区间（ a,b 上的瑕积分有：bf(x)dx= lim t atbf(x )dx=F(b)-lim x aF(x)=F(x)-F(a+0) a小结论：广义积分11dx当 p1 时收敛，当 p1 时发散。0 xp对于无界函数的广义积分 （瑕积分） 的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或a,b),(a,ba,b)的内部一个点上。10. 定积分的应用 一、定积分在几何上的应用：（一）平面图形的面积 1. 直角坐标情形 : 对于有曲线 x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的 X 型的曲边梯形，其面积的计算

8、公式为： A=bf(x )g(x)dx（ab）a对于由曲线 y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的 Y型的曲边梯形的面积计算公式为：Adf(y)g(y)dy(cd)c2. 参数方程情形：当曲边梯形的曲边 f(x)(f(x)0,x a,b) 由参数方程x= (t ,y= (t 给出时，若 ( ) a , ( ) b，且在 a,b 上 (t 具有连续导数， y= (t 连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可WORD 文档交流 8 . 得曲边梯形的面积为： A=bf(x )dx=(t)( t)dta4. 极坐标情形：由曲线1(2)及射线，围成的曲边扇形的面积计算公式为( A=)

9、d2（二）立体的体积1. 旋转体的体积对于由连续曲线 y=f(x), 直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V= a b f ( x ) 2dx同理可得相似的绕 Y轴和 Z 轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。2. 平行截面面积已知的空间立体的体积若一个立体位于平面 x=a,x=b 之间，且知道过 x 且垂直于 x 轴的平面截此物体的截面面积为A(x) ，且 A(x) 为了连续函数，则此立体的体积计算公式是： V=bA (x )dx，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于 Ya（Z）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。（三）平面曲线的弧长 1. 参

10、数方程情形设曲线由参数方程x=(t ,y=(t 给出，且(t ，(t 在， 上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为： S=2(t)2(t)dt2. 直角坐标情形 设曲线由直角坐标方程 y=f(x) （axb）给出，其中 f(x) 在a,b 上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故WORD 文档交流 9 . 其弧长的计算公式为： s=b1y2dxa3. 极坐标情形设弧线由极坐标方程()()给出，其中()在,上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=()cos,y=()sin, 故弧长为 s=2()2()d二、定积分在物理上的应用b（一）变力沿直线所做的功

11、W= a F ( x ) dx（二）液体压力 这个就题论题；（三）引力 这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为 X轴和 Y 州两个方向上分别计算，就题论题；定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。WORD 文档交流 10 . 二 二重积分 这里二重积分的引入 （阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的 体积） 和定义及概念就不再总结，只声明：当被积函数为常数 1 的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区 域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意 义有很多，这与二重积分的应用有关。1

12、. 二重积分的性质 性质一 ( 线性性质 ) 和差的积分等于积分的和差；性质二（区域可加性）若区域 D由 n 个不重合的有界闭区域nDi(i=1,2,3, ,n) 组成，则 f ( x , y ) d f ( x , y ) dD i 1 Di性质四（单调性）若在区域 D上恒有 f(x,y)g(x,y), 则f ( x , y ) dg ( x , y ) d，特别的有 f ( x , y ) d f ( x , y ) dD D D D性质五（估值定理）设 M，m分别为 f(x,y) 在有界闭区域上 D上最大、最小值， A为区域 D的面积，则 mAf ( x , y ) dMA D性质六（积

13、分中值定理）设函数 f(x,y)在有界闭区域 D上连续，A为 D的面积，则在 D上至少存在一点(,，使f(x ,y )d=f(,)A D2. 二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）一、 在直角坐标系下计算二重积分（一） 先对 Y，后对 X的二次积分设二重积分f(x ,y )d的积分区域 D可以表示为Daxb,(x)1y2(x)的形式，其中1x，2x在a,b 上连续，11 WORD 文档交流. 这时程区域 D为 X 型区域，这时二重积分的计算公式为Df(x ,y )d=bdx2( x）fx )(x ,y )dya1(（二） 先对 X，后对 Y的二次积分类似上边，若二重积分f(x ,

14、y) d的积分区域 D可以表示为Dcyd,1(y)2(y)的形式，则称区域 D为 Y 型区域，这时二重积分的计算公式为 : Df(x ,y)d=ddy2( y）fy )(x ,y)dxc1(二、 在极坐标系下计算二重积分若积分区域 D与圆域有关或者被积函数为f(x2y2)，f(y)，f(xy) 等x形式，用极坐标计算更简便。极坐标下的面积微元可以表示为x：drdrdrsin()直角坐标与极坐标有如下变换：rcos,y, 而两个坐标系的积分区域的形状不变，因此有Df(x ,y )d=Df( rcos,rsin) rdrd=dr 2)rdrr 1(常用的计算技巧：1. 适当的拆分被积函数和积分区域

15、 2. 对称性质 若区域 D关于 X轴对称：（主要是利用分块积分和对称性）（1）若 f(x,y)是关于 Y的偶函数，则：Df(x ,y)d=2D1f(x,y)d（2）若 f(x,y)是关于 Y的奇函数，则f(x ,y)d=0；D3. 二重积分的一般换元法WORD 文档交流 12 . 设变量变换uu (x,y),v(x,y)，将 Oxy平面上的闭区域 D一一对应地变到 Ouv平面上的闭区域 D ，如果函数 u,v 在闭区域 D内有连续偏导数，且f(u ,v),uu 0 则，xyvv(x ,y)f(x ,y )d=xy( u,v)dudv(x (u,vy ( u ,v )(x ,y)DD三、三重积

16、分 三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于 小。1 时，三重积分表示的为被积空间的体积大1三重积分的计算（一） 直角坐标系下三重积分的计算方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）设三重积分 f ( x , y , z ) dxdydz 的积分区域 可表示为： ：z1(x,y) zz 2(x,y), (x,y)Dxy其中 Dxy 为 在 Oxy平面上的投影区域， 它是 Oxy平面上的有界闭区域， z 1(x,y) 和 z2(x,y) 都在 Oxy上连续，则计算三重积分时，先将 x,y 看做常数，然后可得：f

17、(x ,y,z )dxdydz=Dxyz 2(x,y)f(x ,y ,z )dzdxdy13 x,y)z 1(WORD 文档交流. =D xydxdyz2(x, y )x , y ) f(x,y,z)dz先对 Z 积分，转化成关于X,Y 的一z 1(个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z 的三次积分来计算了） ，然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。若区域 Dxy 可以再极坐标系下表示， 那么可以将上述公式化为 先对Z，再对 r ，后对 的三次积分。方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）设空间区域 ：c1zc2,(x,y)Dz,

18、 其中 Dz是过点（ 0,0 ，z）且平行于 Oxy平面的平面截 所得的平面区域，则f(x ,y,z )dxdydz=c 2dzDzf(x ,y,x)dxdy，然后可根据 Dzc 1是坐标系下的 X型或 Y型区域化 X,Y 的二重积分为二次积分，然后转化为 Z 的定积分。若 Dz 可以用极坐标系表示， 则还可以化为关于先计算 r, 的二重积分（化为二次积分计算） ，再计算 Z 的定积分。（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解）3. 三重积分的换元法设变量变换 x x ( u , v , w ), y y ( u , v , w ), z z ( u , v , w ), ( u , v ,

19、 w ) 将 Ouvw空间中的闭区域 一一对应地变换为 Oxyz 空间中的闭区域 ，若函数 x,y,z 在 内具有连续的偏导数，且WORD 文档交流 14 . J(x ,y,z )xxxuvwyyy 0，则三重积分的换元公式为(u ,v ,w )uvwf(x,y ,zzzuvwz )dxdydz =f(x(u ,v ,w ),y( u,v ,w ),z ( u ,v ,w )Jdudvdw4. 柱面坐标下三重积分的计算 柱面坐标与直角坐标的变换关系为：xrcos,yrsin,zz, 则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r 0, 所以f(x,y ,z )dxdydz =f(rcos,rsin

20、,z )rdrddz，然后计算三重积分。注：当被积函数含有zf(x2+y 2),zf(xy),z f(y)的形式，或者积分区域x由圆柱面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比 较简便。5. 球面坐标下三重积分的计算。直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：xrsincos,yrsinsin,zrcos,15 则代入上边的换元法的公式中可得J=r2sin 0 故f(x,y ,z )dxdydz =WORD 文档交流. f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有x2y2z2等形式时，用球面坐标系计算比较简便。三重

21、积分的对称奇偶性：若 关于 Oxy平面对称，则当 f 为关于 z 的奇函数时，f(x,y ,z )dxdydz =0；当 f 为关于 z 的偶函数时，f(x,y ,z )dxdydz =2f(x ,y ,z )dxdydz16. 重积分的应用一 计算立体体积 V= dv二 计算空间曲面面积设：z=f(x,y) 为空间可求面积的曲面， 在 Oxy平面的投影区域为Dxy, 任取 Dxy 上的小区域 d ，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）： dx=dS121zy2, 故zx2dS=1z2zyd=1zx2zy2dxdy, 故S=Dxy1z x2zy2dxdy，然后计算二重积分。三、 求质心这里

22、只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。设有一个有界闭区域 D，它的密度 ( x , y ) 在 D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中 Mx,My分别为质点系对对 X，Y轴的静距）。WORD 文档交流 16 . xMyDx(x ,y)d，yMxDy(x ,y)dMD(x ,y)dM(x ,y)dD特别的，当区域 D的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：xMyDxdDxd，yMxDydDydMDdS DdS DMD同理可得空间有界区域 的形心的坐标公式：xx(x,y,z )dv，yy(x,y,z)dv，zz(x,y,z )dv(x ,y,z)dv(x,y,z )dv(x,y ,z

23、) dv特别的，当空间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：xxdvxdvyydvVydvzzdvzdvdvVdvdvV补充：1. 若积分区域关于直线y=x 对称，则根据 轮换对称性 可得：Df(x ,y)d=Df(y,x )d2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。3. 利用质心、重心公式计算（形是均匀的 ）：当且仅当积分区域所代表的图例如：DxdxDdx S D（此公式是由质心公式变形得到17 WORD 文档交流. 的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）四、 计算转动惯量（公式推导过程略去）设一个平面区域 D，面密度为(x,y)，下面给出其相对于X,Y,Z 轴

24、的转动惯量的计算的公式：IxDd IxDy2(x,y)d，IyDd IyDx2(x ,y)d同理也可得到空间区域 所代表的例题相对于X,Y,Z 轴的转动惯量分别为：Ixd2x(x,y,z)dv(y2z2)(x ,y ,z )dvIyd2y(x,y,z)dv(x2z2)(x ,y ,z )dv(x2y2)(x ,y ,z )dvIzd2z(x,y,z)dv到 x,y,z轴的距离。其中 dx,d y,d z 分别为点 (x,y,z)五、 计算引力（推导过程略去，自个儿看书）某薄片在平面 Oxy上所占区域为 D，面密度为 ( x , y )，下面给出它对点（x 0,y 0,z 0）处单位质点（单位质

25、量的质点）的引力计算公式：（任取 D上的小区域 d，点 M（x,y,z ）为 d 上任意一点）F xD G ( x , y )(r x3 x 0 ) d，F yD G ( x , y )(r y3 y 0 ) dF zD G ( x , y )(r z3 z 0 ) dWORD 文档交流 18 . 四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。1. 对弧长的曲线积分的定义 设函数 f(x,y) 在 Oxy平面的光滑曲线弧 L 上有界，将 L 分成任意的 n 段， si 表示小狐段本身又表示它的长度，点 ( i , i ) 是

26、s i 上任取的 一点，令 =max si , 则定义第一类曲线积分：Lf(x ,y)dslim 0inf(i,i)s i，同时可定义在空间中0的第一类曲线积分：f(x ,y,z )dslim 0in0f(i,i,i)s i2. 对弧长的曲线积分的性质性质一Lsl，其中 l 为弧长。性质二（线性性质）对弧长和差的积分等于积分的和差。性质三（可加性）in将曲线弧分成 n 段补充和的小弧段，则)dsLf(x ,y)ds0Lif(x ,y)ds性质四（单调性）Lg (若在曲线弧 L 上，f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsx,y)ds，特别Lf(x,y )dsLf(x ,y3. 对弧长的曲

27、线积分的计算对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，WORD 文档交流 19 . 小值做下限 ）设函数 f(x,y) 在光滑曲线弧 L 上连续， L 的参数方程为x= (t ,y= (t ，( t )，则对弧长的曲线积分 L f ( x , y ) ds 存2 2在，且 L f ( x , y ) ds f ( ( t ), ( t ) ( t ) ( t ) dt（ ）特别的，当曲线弧 L 的方程为 y= ( x )，(a xb) 时，可以将 xb 2看做参数，故 L f ( x , y ) dsa f ( x , ( x ) 1 ( x ) dx同理也可写出将Y看做参数

28、的计算公式。当曲线弧 L 有极坐标方程rr()()时，由极坐标与直角坐标的)，将 看做参数，则变换关系xr()cos,yr()sin,(Lf(x,y)dsf(r()cos,r)sin)r2()r2()d以上公式都给可以推广到空间曲线弧：x(t),y(t),z(t),(t)上，此时对弧长的曲线积分公式为：f(x,y,z )dsf(t),( t),( t)2(t)2(t)2(t)dt五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）1. 第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似） 。向量函数 P(x,y) 在有向曲线弧 L 上对坐标

29、X的曲线积分，记做L P ( x , y ) dx，向量函数 Q(x,y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 Y的曲线积分，WORD 文档交流 20 . 记做：L Q ( x , y ) dy。若力 F=（P(x,y),Q(x,y)）, 则质点沿曲线弧从起点 A到终点 B 是变力 F 做功可表示为： W= L P ( x , y ) dx + L Q ( x , y ) dy，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故W=LP (x ,y ,z )dxLQ(x ,y,z )dyLR (x,y ,z ) dz2. 对坐标的曲线积分的性质性质一（线性性质）积分的和差）对坐标的曲线积分具有线性 （和差的积分等于性

30、质二（可加性）)对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。，性质三（有向性）设 L 为有向光滑曲线弧，记L为 L 的反向曲线弧，则LP(x ,ydxQ(x ,y )dyLP (x ,y)dxQ (x ,y )dy同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。3. 对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）与对弧长的曲线积分的计算方法一样，也是将其化为定积分。对坐标的曲线积分的计算方法设函数 P(x,y),Q(x,y)t在有向光滑曲线弧L 上连续， L 的参数方程为x=(t ,y=(t ，(，或(t)，其中(t ，(t 具有连续的一阶导数，又有当 t 由 变到 时，L 上的电从起点变到终点，则

31、对坐 标的曲线积分存在，且LP(x,y)dxQ(x ,y )dyP( t),(t)(t)Q (t),(t)(t)dt同理也可写出当 X 或 Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系 下时的公式（这里就不再叙述了） ，且以上公式都可以推广到空间曲 WORD 文档交流 21 . 线弧中。注：在计算的时候， 一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上 下限。3. 两类曲线积分之间的联系设 L：x=(t ,y=(t ，为从点 A 到点 B 的有向光滑曲线弧，其中点tA(t)dt处 t= 1, 点 B 处 t= 2, 又 P(x,y),Q(x,y)在 L 上连续，令cos2(t(t) 2( t)，co

32、s2(t( t)2(t)LP(x,y)dxQ(x ,y)dy2P(t),( t)(t)Q( t),(1=2P ( t),( t)2( t 2( t)2(t)Q (t),( t)2(t)2(t)2 (t)dt1)(t)2(t)dsLP(x ,y)cosQ(x ,y)cos同理可得：=LP (x ,y,z )dxLQ (x ,y,z )dyLR (x,y,z )dzdsL(PcosQcosRcos)4. 格林公式及其应用 格林公式的定义：若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L 围成，函数 P（x,y ）,Q(x,y)在 D上具有连续的一阶偏导数，则有WORD 文档交流 22 . LPdxQdyD(Q

33、P)dxdy。（证明略）xy5. 平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件设 D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在 D内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题 等价：（1）对 D中任一分段光滑闭曲线 C，有 C P dx Qdy 0；（2）对 D中任一有向分段光滑曲线 L，曲线积分 LP dx Qdy 与路径无关，只与起点、终点有关；（3）Pdx+Qdy 在 D 内是某一函数u(x,y)的全微分，即在D 内du(x,y)=Pdx+Qdy; （4）在 D内恒有PQ。（证明略）yx6. 第二类曲线积分小结：（1）对封闭的第二类线积分，应首先考虑格林公式 ： 若 D中无奇点 （P,Q 的骗到不存在的点），则：LP