2022年一高中数列知识点总结

1、学习必备 欢迎下载一 高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前 项和性质：是等差数列仍为等差数列，仍为（1）若，则（2）数列等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数， 是关于的常数项为 0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6) 项数为偶数的等差数列，有，. （7）项数为奇数学习必备欢迎下载的等差数列，有，. 2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或

2、前项和：（要注意！）性质：是等比数列仍为等比数列 ,公比为. （1）若，则（2）注意 ：由求时应注意什么？时，；时，. 二解题方法1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法解如：数列，求时，时，学习必备欢迎下载得：，练习数列满足，代入得又，求，是等比数列，注意到；时，（2）叠乘法如：数列中，求解，又，. （3）等差型递推公式由时，求，用迭加法两边相加得练习数列中，求（）（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，学习必备欢迎下载为公比的等比数是首项为列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，( 附：公式法、利用、累加法、累乘法 . 构造等差或等比或、待定系数法、对

3、数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 2 求数列前 n 项和的常用方法( 1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项 . 如：是公差为 的等差数列，求解：由学习必备 欢迎下载练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比 . 如：时，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 . 相加练习已知，则由学习必备 欢迎下载原式 ( 附： a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列 a n ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把 正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的

4、和， 这一求和方法称为倒 序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知 n 项和公式的推导，识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 用的就是 “倒序相加法 ”。b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和 确定公 公式进行求解。 运用公式求解的注意事项： 首先要注意公式的应用范围，式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限 项，从而求出数列的前 n 项和。n 项和 d.用错位相减法求数列的前 错

5、位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列 anbn 中，a n 成等差数列， b n 成等比数列，在和式的两边 同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列 an 满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数 列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所 有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f .用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将 这类

6、数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将 其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 ) n 项和。三方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 . 学习必备 欢迎下载等差数列求和公式：2、等比数列求和公式： 4、例 1（07 高考山东文18）设是公比大于1 的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列项和（1）求数列的等差数列求数列的

7、前（2）令解：（ 1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为又（2）由于，由（ 1）得是等差数列故学习必备欢迎下载练习：设 Sn 1+2+3+ +n ，nN* ,求 的最大值 .解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式） 当，即 n8 时，二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例 2（07 高考天津理21）在数列；中，其中，（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和（）解：由可得所以学习必备欢迎下载，所以数列为等差数列， 其公差为 1，首项为 0，故的通项公式为，（）解：设当时，式减去式，得这时数列的前项和当时

8、，这时数列的前项和例 3（ 07 高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前 n 项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以（）学习必备 欢迎下载，得，三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例 4（07 豫南五市二联理22.）设函数.的图象上有两点P1(x1, y1) 、P2(x2, y2) ，若,且点 P 的横坐标为（I）求证： P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若（III ）略（I）的中点，且,且点 P 的横坐标为. P 是学习必备 欢迎下载由（ I）知，（1）+（2）得

9、：四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）等。例 5 求数列 的前 n 项和 .解：设（裂项）则（裂项求和）学习必备 欢迎下载例 6（ 06 高考湖北卷理17 ）已知二次函数，点的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前 n 项和为均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；的前 n 项和，求使得对所有都成立的（）设，是数列最小正整数 m；解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a 0) ,则 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x

10、2,得a=3 , b=2, 所以 f(x) 3x22x. 又因为点 均在函数 的图像上，所以3n22n. 当 n2 时， anSnSn 1（ 3n22n） 6n5. 当 n1 时， a1S131226 15，所以， an6n5 （）（）由（）得知，故 Tn（1）. 因此，要使（1）an-a(n-1)=3(n-1) 同样 a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的 n 个等式的两边相加得到An -a1 =3+32+ +3(n-1)=3(1- 3n-1 )/(1-3 )=(3n-1)/2学习必备 欢迎下载1判断和证

11、明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法：对于n 2 的任意自然数 , 验证为同一常数。(2) 通项公式法：若 = +（n-1 ）d= +（ n-k ）d ，则为等差数列；若，则为等比数列。(3) 中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列 中 , 有关 的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当 0,d0 时，满足 的项数 m使得 取最大值 . (2) 当0 时，满足的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时 , 注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。2

12、在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“ 基本量法” 是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3 注 意与之 间 关 系 的 转 化 。 如 ：=，=4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题例 1.数列的前项和记为学习必备欢迎下载（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。解 ： （ ） 由可 得是首项为，

13、公比为， 两 式 相 减 得又故得等比数列（）设的公比为由得，可得，可得故可设列又，解得由题意可得的 各项为正等差 数例 2. 设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？ （2）设数列的前项和为, 对数列，从第几项起=？.解(1) an+ Sn=4096,a1+ S1=4096, a1 =2048. an 1 an当 n 2 时 , an= Sn Sn 1=(4096 an) (4096 an 1)=an=2048()n1. )n1=12 n, Tn=( n 2+23n). log 2an=log 22048( (2)由 Tn学习必备欢迎下载从第46 项起, 而 n 是正整数

14、 , 于是 ,n 46. Tn509. 【问题 2】等差、等比数列的判定问题例 3.已知有穷数列共有 2项（整数 2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2， ， 21），其中常数1满 足（ 1） 求 证 ： 数 列是 等 比 数 列 ； （ 2 ） 若 2， 数 列（1，2， ， 2），求数列的通项公式；|（3）若（ 2）中的数列满足不等式 | |4，求 的值(1) 证明 当 n=1 时 ,a2=2a,则 =a；2 n 2k1 时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列 a n 是等比数列 . (2) 解：由 (1) 得

15、 an=2a, a1a2 an=2a=2a=2, bn=(n=1,2, ,2k).；（3）设 bn ,解得 n k+ ,又 n 是正整数 ,于是当 nk时 , bn . 原式 =( b1)+(b2)+ +(bk)+(b k+1)+ +(b2k) =(b k+1+ +b2k)(b1+ +b k) =学习必备欢迎下载=. 当 4,得 k28k+40, 42k4+2,又 k2,当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立 . 例 4。已知数列中，是其前项和，并且，设数 列，求证： 数列， 求 证 ： 数 列是 等 比 数 列 ； 设 数 列是等差数列； 求数列的通项公式及前项和。分析：由于 b 和 c 中的项都和 a 中的项有关， a 中又有 S =4a +2，可由 S-S 作切入点探索解题的途径解：(1)由 S =4a，S =4a +2，两式相减， 得 S-S =4(a-a )，即 a =4a-4a(根据 b