随机过程在金融中的应用9基础资产价格的变动-随机积分ppt课件

1、 第九章 根底资产价钱的变动 -随机微分方程 第一节 引 言 第二节 随机微分方程的求解 第三节 随机微分方程的主要方式 第四节 股票价钱对数正态分布的特性. 第一节 引 言随机微分方程即将随机价钱的变动分解为可预测和不可预测两部分，且分解过程用到在时辰t的信息集。 对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信息集，那么随机微分方程的含义不同。如：假设一个市场参与者拥有“內幕信息，可事先获知影响价钱变动的一切随机事件，那么在这种非现实情况下上式中的扩展项等于零。首页.随机微分方程的详细方式以及误差项 的定义都要依赖于信息集即维纳过程 与信息集 相对应。 缘由参与者知道 将如何变化，他就能完全预测这一

2、变量，即对任一时辰而言都有因此这类参与者的随机微分方程可写作而其他参与者的随机微分方程那么是不变。阐明首页.随机微分方程可用于对衍生金融资产定价的缘由对于标的资产的价钱是如何随时间而发生变动，此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导过程与金融市场中的买卖者行为是一致的。实践上：在一个给定的买卖日中，随着时间的推移，买卖者总是不断地预测资产的价钱并随时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分也会被观测，此时这些事件均已成为知事件，并变为买卖者拥有的新信息集的一部分。首页.随机微分方程模型普通条件即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发生太大幅度地变动。前往首

3、页.第二节 随机微分方程的求解随机微分方程所含未知数是一个随机过程 ，因此求其解就是要找寻一个随机过程，使其运动轨迹及发生概率都与其它需准确丈量的轨迹相关联。一、解的含义首页.察看在很短的且不延续的时间间隔上的有限差假设此方程的解是一个随机过程 ，那么意味着1、如何找到一系列用来标识的随机变量，以满足上式中的增量2、能否知道满足方程的随机过程 的时态函数和分布函数。3、对任一给定的 和 ，能否找到一系列的随机数对于一切的而言都满足上面的等式。首先首页.再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解其次假设延续的时间过程 ，满足以下方程那么定义 是随机微分方程 的解。首页.那么随机过程 ：二、解的类型1强

4、解知主参数 ，扩展参数 以及随机变动项称为随机微分方程 的强解。强解与普通微分方程的解是类似的注首页.2弱解其中 是一维纳过程.求得过程知主参数 ，扩展参数使其满足下面随机微分方程那么称 是随机微分方程的弱解。首页. 与 的区别一样点都是均值为0，方差等于 的维纳过程；密度函数的表达式一样。从这个意义上来讲，这两个随机误差项之间不存在什么区别。不同点限定二者的一系列信息集不同。 虽然根本的密度函数是一样的，但假设被不同的信息集来衡量，那实践上这两个随机过程代表了现实生活中根本不同的两种景象。阐明1首页.其中的扩展项包含外生变量 ，它表示影响价钱进展完全不可预测变动的极其微小的事件。这一系列小事

5、件构成的“历史就是时辰的信息集 。计算强解是在给定 时，求满足方程的值 ，也就是说为得到强解，需求知道集合 ，强解 与 是相互对应的。计算弱解 时不需求思索生成信息集 的过程，但需思索与过程 的相关联。又过程 可生成另外的信息集 ， 且它是 的鞅。阐明2因此，弱解需求满足首页.强解和弱解具有一样的主项和扩展项，因此 和 具有类似的统计特性。给定均值和方差，两解虽然有所不同，但我们并不能把二者区别开来。假设误差项 知，那么金融分析家会选择强解。三、解的选择但是在运用解随机微分方程的方法来对衍生金融产品进展定价时，并不能准确得悉过程 的实践情况，我们可以运用的只需其动摇率和动摇趋势，因此，在这种情

6、况下给衍消费品定价，应运用弱解。首页.四、随机微分方程解的证明看一个特殊的随机微分方程： 即在对看涨期权定价之中运用的布莱克休斯模型。变形首先计算由于普通积分首页.而虽含有一个随机项，但 的系数是一个不随时间而改动的常数。因故即随机微分方程的任何解都必需满足这一积分方程 下面用伊藤定理来处理这一方程。调查备选项：首页.用伊藤定理来计算随机微分即假设那么这正是给定的随机微分方程。因此，求得随机微分方程的强解为：首页.要求随机微分方程的强解，应思索备选解法，即找出依赖于参数的函数，如然后运用伊藤定理来检验这一备选项能否满足随机微分方程或相应的积分方程。注五、资产现值的运用假设 是某资产的价钱，其价

7、值的添加带有不确定性，即那么此随机微分方程强解的备选答案是首页.且最有效的预测值是条件期望：那么资产的现价 为：即现值等于时辰的预期价值用折现率来进展折现。首页.要证明结论成立，需先计算由于故求 的方法：两种1其中表示维纳过程的条件密度函数利用维纳过程的密度函数直接求。很难首页.2 利用伊藤定理间接来求。简单首先，令其次，用伊藤定理再次，思索相应的积分方程最后，两边求均值而首页.故假设记那么有所以且故得即从而首页.即所以首页.特别即当时间t = 0时，资产价钱等于预期未来的价钱用折现率r来进展折现。前往首页.第三节 随机微分方程的主要方式本节引见几种特殊的随机微分方程，并阐明它们是代表何种资产

8、的价钱以及是如何运用的。一、常系数线性随机微分方程方式为：其中 是变量t的规范维纳过程随机微分方程中，主系数及扩展系数不随时间的变动而变化，即与信息集是不相关的。首页.方差适用条件在短暂的时间间隔h中，价钱变动的均值1资产价钱比较稳定；2价钱变化趋势是线性的；3动摇项不是无限大；4资产价钱不存在一种规律的“腾跃性。常系数的随机微分方程描画的是资产价钱围绕线性趋势进展的一种动摇。首页.二、几何随机微分方程布莱克和休斯模型方式为：即主参数和扩展参数都依赖于时辰t 所掌握的信息，且趋势变动和规范变动与 是成正比的。变形即阐明主项与扩展项对于 的相对变动仍是一个不变的常数。几何模型描画的是资产价钱价钱

9、在一种指数趋势上的随机动摇。对大多数资产价钱来说，这种指数趋势似乎更符合实践。首页.三、平方根过程方式为： 遵照指数变动趋势，但规范差那么是 的平方根的函数。方差即方差与 成正比的。在实践情况中，这会增大了相对于 的变动。误差项的方差与 是成比例的。因此，假设 随的增大，资产价钱的变动率不是迅速添加，运用此模型更为适宜。方差首页.四、均值调整过程方式为：假设 比均值 小，那么 ，这就使得 倾向于为正数，故 最终回复到均值 。阐明均值调整过程有一变动主趋势，但此趋势的偏向不是完全随机的。过程 可与长期趋势发生较小的偏离，但最终会回复到正常趋势，这种偏离的平均度是由参数 来控制的，但参数变小时，偏

10、离的时间会变长。这时资产的价钱会显示出一些可预见的周期性，使得模型与市场的有效性假设相违背。首页.五、奥伦斯坦乌伦贝克过程方式为：其中主项与 负相关，系数为 ；扩展项属于常参数类型。属于均值调整随机微分方程的一个特例。阐明这个模型表示资产价钱在0附近动摇，并且其偏离最终会回到长期的0均值形状，参数 控制这种偏离的时间， 越大， 回复均值的速度越快。首页.六、随机动摇率随机微分方程的主参数和扩展参数可经过随机性获得，这对于衍生金融产品而言，更具有运用价值。由于动摇率不仅随时间的变动而变动，而且在给定的价钱 下动摇也是随机的。如设资产价钱 的随机微分方程： 的变动遵照随机微分方程：其中维纳过程 ，

11、 是相关的首页.资产动摇率的长期均值为 ，但在任一时辰t，实践的动摇率能够会偏离这一长期均值，调整系数为 那么市场参与者可以根据这些要素，更好地计算预期的资产价钱及预期的价钱动摇率。运用这种渐进的随机微分方程，我们可获得愈来愈复杂的模型以反映现实生活中的金融景象。增量 对变动率有不可预测的冲击，它与对资产价钱 的冲击是不相关的。前往首页. 下面运用伊托定理来推导 变化所遵照的随机过程。第四节 股票价钱对数正态分布的特性 假设股票价钱S遵照几何布朗运动，即定义由于所以有伊托公式可得，函数G 所遵照的过程为首页.由于 和 是常数，所以上式阐明G遵照的是推行的维纳过程。它具有常数漂移率 和常数方差率

12、 。从而阐明，从时间t到T期间， 的变化呈正态分布特征，其均值为方差为假设令S表示如今时间t的股票价钱， 表示在未来某时T的股票价钱，那么在时间区间 中 的变化就是首页.即有其中 表示均值为m，规范差为n的正态分布。根据正态分布的特征，那么下式也成立：这阐明 服从正态分布，其规范差与 成比例，也就是说股票价钱对数变化的不确定性是以规范差来估算的，且与估算的时间长短的平方根成比例。首页.例6设有某种股票，其初始价钱为40美圆，年预期收益率为16%，年动摇性为20%。六个月后，该股票价钱的概率分布是什么？计算该分布的均值和规范差95%的置信区间。解在六个月后，股票价钱 的随机分布服从对数正态分布，即有故 由于一个正态变量，位于均值的规范差为1.96范围